数学人教版28.2 解直角三角形及其应用完美版课件ppt

28.2.2 应用举例(仰角、俯角)

同步练习

类型1 一般应用

1．（2021·湖北十堰·中考真题）如图，小明利用一个锐角是的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为，为（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·黑龙江松北·三模）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（    ）

A．米 B．3米 C．米 D．米

3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，梯子的长为米，则梯子顶端离地面的高度是（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

类型2 仰角、俯角的应用

4．（2021·山西·九年级专题练习）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（    ）

A．(1.5＋150tan)米 B．(1.5＋)米

C．(1.5＋150sin)米 D．(1.5＋)米

5．（2021·重庆·中考真题）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为，坡顶D到BC的垂直距离米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：；；）

A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米

6．（吉林省长春市2018年中考数学试卷）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　）

A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米

7．（湖北省恩施市2021年中考数学真题）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶处观测乙居民楼楼底处的俯角是，观测乙居民楼楼顶处的仰角为，已知甲居民楼的高为，求乙居民楼的高．（参考数据：，，结果精确到）

素质提升

8．（2021·四川广元·中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，小区楼房的高度为米．

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）

9．（2021·江苏宿迁·中考真题）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， =1.732)．

10．（2021·湖南怀化·中考真题）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角，分别为和，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．其中，，，，，

11．（2021·河北·中考真题）下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方，2号机从原点处沿仰角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处．

（1）求的关于的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；

（2）求的关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；

（3）通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．

（注：（1）及（2）中不必写的取值范围）

28.2.2 应用举例(仰角、俯角)参考答案

类型1 一般应用

1．（2021·湖北十堰·中考真题）如图，小明利用一个锐角是的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为，为（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先根据题意得出AD的长，在Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出ED的长，由CE＝CD＋DE即可得出结论．

【详解】

解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，

∴四边形ABCD是矩形，

∵BC＝15m，AB＝1.5m，

∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，

在Rt△AED中，

∵∠EAD＝30°，AD＝15m，

∴ED＝AD•tan30°＝15×＝5，

∴CE＝CD＋DE＝．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键，属于基本知识的考查．

2．（2021·黑龙江松北·三模）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（    ）

A．米 B．3米 C．米 D．米

【答案】D

【分析】

根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、EB，根据正切的定义求出DE，结合图形计算得到答案．

【详解】

解：在中，，

（米，

在中，，

（米，

米，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，梯子的长为米，则梯子顶端离地面的高度是（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】C

【分析】

在Rt△ACD中，通过解直角三角形可求出AD的长．

【详解】

解：在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=2.8m，，

∴米，

故选：C．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，会解直角三角形是解题的关键．

类型2 仰角、俯角的应用

4．（2021·山西·九年级专题练习）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（    ）

A．(1.5＋150tan)米 B．(1.5＋)米

C．(1.5＋150sin)米 D．(1.5＋)米

【答案】A

【分析】

过点A作AE⊥BC于E，则BE可由仰角的正切值求得，再加上AD的长即为BC的长．

【详解】

解：如图，过点A作AE⊥BC于E，

可知AE=DC=150，EC=AD=1.5，

∵塔顶的仰角为，
∴，

∴，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

5．（2021·重庆·中考真题）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为，坡顶D到BC的垂直距离米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：；；）

A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米

【答案】D

【分析】

作DF⊥AB于F点，得到四边形DEBF为矩形，首先根据坡度的定义以及DE的长度，求出CE，BE的长度，从而得到DF=BE，再在Rt△ADF中利用三角函数求解即可得出结论．

【详解】

如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，

∴,

∵斜坡CD的坡度（或坡比）为，

∴在Rt△CED中，，

∵，

∴，

∴，

∴，

在Rt△ADF中，∠ADF=50°，

∴，

将代入解得：，

∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，

故选：D．

【点睛】

本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．

6．（吉林省长春市2018年中考数学试卷）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　）

A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米

【答案】D

【详解】

【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题.

【详解】在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，

∴tanα=，

∴AB=，

故选D．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

7．（湖北省恩施市2021年中考数学真题）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶处观测乙居民楼楼底处的俯角是，观测乙居民楼楼顶处的仰角为，已知甲居民楼的高为，求乙居民楼的高．（参考数据：，，结果精确到）

【答案】乙居民楼的高14.6m．

【分析】

如图：分别过C、D作CF⊥BD,DE⊥BC，垂足分别为E、F，先在Rt△BDE中求得BA=10，再在Rt△CFD中说明CF=DF，然后再在Rt△CFB中运用三角函数求得BF==，再利用BD=BF+DF求得CF，最后在Rt△CFB中解直角三角形求得BC即可解答．

【详解】

解：如图：分别过C、D作CF⊥BD,DE⊥BC，垂足分别为E、F

∵在Rt△BDE中，∠BDE=30°，AD=10

∴BD=20,BA=10

∵在Rt△CFD中，∠CDF=∠CDE+∠BDE=45°，

∴CF=DF

∵在Rt△CFB中，∠CBF=60°，

∴tan∠CBF== tan60°= ，BF==

∴BD=BF+DF=+DF=20,即DF=CF=

∵在Rt△CFB中，∠CBF=60°，CF=

∴sin∠CBF=,即，解得BC=20-20≈14.6m

∴乙居民楼的高14.6m．

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造所需的直角三角形成为解答本题的关键．

素质提升

8．（2021·四川广元·中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，小区楼房的高度为米．

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）

【答案】（1）米；（2）秒

【分析】

（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE的值，进而得到DH的值；

（2）先利用特殊角的三角函数值求出∠BAC的度数，接着求出∠GFA的度数，作辅助线构造直角三角形求出DG和GF，进而得到DF的值，最后除以无人机速度即可．

【详解】

解：如图1，过D点作DH⊥AB，垂足为点H，过C点作CE⊥DH，垂足为点E，

可知四边形EHBC为矩形，

∴EH=CB，CE=HB，

∵无人机测得小区楼房顶端点C处的俯角为，测得操控者A的俯角为，DM∥AB，

∴∠ECD=45°，∠DAB=75°，

∴∠CDE=∠ECD=45°，

∴CE=DE，

设CE=DE=HB=x，

∴AH=45-x，DH=DE+EH=x+，

在Rt△DAH中，DH=tan75°×AH=，

即，

解得：x=30，

∴DH=

∴此时无人机的高度为米；

（2）如图2所示，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF刚好经过点C，

过A点作AG⊥DF，垂足为点G，此时，由（1）知，AG=（米），

∴；

∵，

∴

∵DF∥AB，

∴∠DFA=∠CAB=30°，

∴,

∴,

因为无人机速度为5米/秒，

所以所需时间为（秒）；

所以经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．

【点睛】

本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．

9．（2021·江苏宿迁·中考真题）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， =1.732)．

【答案】无人机飞行的高度约为14米．

【分析】

延长PQ，BA，相交于点E，根据∠BQE＝45°可设BE＝QE＝x，进而可分别表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根据sin∠APE＝，∠APE＝30°即可列出方程，由此求解即可．

【详解】

解：如图，延长PQ，BA，相交于点E，

由题意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°，

又∵∠BQE＝45°，

∴BE＝QE，

设BE＝QE＝x，

∵PQ＝5，AB＝3，

∴PE＝x＋5，AE＝x－3，

∵∠E＝90°，

∴sin∠APE＝，

∵∠APE＝30°，

∴sin30°＝，

解得：x＝≈14，

答：无人机飞行的高度约为14米．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．

10．（2021·湖南怀化·中考真题）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角，分别为和，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．其中，，，，，

【答案】41.7米

【分析】

根据AE∥DB,确定∠ABD=67°，∠ACD=22°，利用正切函数求得DB，DC的长度即可求解.

【详解】

如图，∵AE∥DB,

∴∠ABD=67°，∠ACD=22°，

∵tan∠ABD=，tan∠ACD=，

∴DB==，DC==50，

∴BC=DC-DB=50-≈41.7（米）.

【点睛】

本题考查了俯角的意义，解直角三角形，准确理解俯角的意义，熟练运用三角函数是解题的关键．

11．（2021·河北·中考真题）下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方，2号机从原点处沿仰角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处．

（1）求的关于的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；

（2）求的关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；

（3）通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．

（注：（1）及（2）中不必写的取值范围）

【答案】（1）， （km/min）（2），（3）min

【分析】

（1）根据图象分析得知，解析式为正比例函数，根据角度判断k值，即可求得．

（2）根据B、C两点坐标，待定系数法求表达式即可，着陆点令,求解即可．

（3）根据点Q的位置，观察图象，找到满足题意的范围，分类讨论计算即可．

【详解】

解：（1）设线段OA所在直线的函数解析式为:

∵2号机从原点处沿仰角爬升

∴

又∵1号机飞到A点正上方的时候，飞行时间（min）

∴2号机的飞行速度为：（km/min）

（2） 设线段BC所在直线的函数表达式为：

∵2号机水平飞行时间为1min,同时1号机的水平飞行为1min,

点B的横坐标为：；点B的纵坐标为：4，即,

将,代入中，得：

解得：

∴

令 ,解得：

∴2号机的着陆点坐标为

（3）当点Ｑ在时，要保证 ，则：；

当点Q在上时，,此时，满足题意,时长为（min）；

当点Q在上时，令 ，解得：，此时（min），

∴当时，时长为：（min）

【点睛】

本题考查变量之间的关系、待定系数法求一次函数解析式，根据实际问题，数形结合讨论是解题的关键.