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陕西省渭南市韩城市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份陕西省渭南市韩城市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省渭南市韩城市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.2cos45°的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
2.下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
3.请判断一元二次方程 x2−5x+254=0 的实数根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定
4.如图，四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 位似，点O为位似中心已知 OA:OA'=1:3 ，则四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 的周长比为（ ）
A. 1:4 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:9
5.若反比例函数y =k+2x 的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A. k＜﹣2 B. k＞﹣2 C. k＜2 D. k＞2
6.如图， ⊙O 的直径 AB⊥ 弦 CD 于点E，若 CD=8 ， BD=25 ，则 AB 的长为（ ）
A. 25 B. 12 C. 10 D. 5
7.一个盒子里装有除颜色外都相同的3个球，其中2个红球，1个白球.现从盒子里随意摸出1个不放回，再摸出1个，两次均摸到红球的概率是（ ）
A. 13 B. 12 C. 23 D. 56
8.若二次函数 y=x2+x+m−1 的图象经过第一、二、三象限，则m满足的条件是（ ）
A. m≥1 B. m>1 C. 0
9.路灯下行人的影子属于 投影.（填“平行”或“中心”）
10.正八边形的中心角等于 度
11.在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，则口袋中蓝色球的个数很可能是________．
12.如图，正比例函数 y=kx 的图象交反比例函数 y=−4x 的图象于A、B两点， AC∥y 轴， BC∥x 轴，则 △ABC 的面积为 .
13.如图，菱形 ABCD 中， AB=5 ， S菱形ABCD=24 ，E为 AD 上一点，且 AE=1 ，连接 BE 、 AC 交于点F，过点F作 FG⊥BC 于点G，则 FG 的长为 .
三、解答题（本大题共13小题，共81分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14.计算： 2tan45°−1sin30°−2sin260° .
15.解方程： 3x(x−1)=2x−2 .
16.如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， AC=12 ， BC=5 .求 sinA ， cosA 和 tanA .
17.如图，把一个以点O为圆心的圆的面积四等分，请用尺规作图画出一种分割方法.（不写作法，保留作图痕迹）
18.小明想用镜子测量校园内一棵松树的高度，如图所示，他把镜子放在水平地面上的C点，沿着直线 BC 后退到点F，这时恰好在镜子里看到树稍顶点A的像，量得 BC=10 米， CF=2 米.已知 EF 、 AB 均与地面 BF 垂直，小明的眼睛距离地面1.5米（即 EF=1.5 米），请你求出松树 AB 的高.
19.如图，将矩形 ABCD 绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形 FECG ，点B与点E对应，点E恰好落在 AD 边上， BH⊥CE 交于点H，求证： CG=BH .
20.我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治.某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当 x≤20 时，y与x是正比例函数关系；当 x≥20 时，y与x是反比例函数关系）.
（1）根据图象求当 x≥20 时，y与x之间的函数关系式；
（2）当 x≥20 时，体内抗体浓度不高于140微克/ml时是从注射药物第多少天开始?
21.2021年某社区投入64万元用于社区基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2023年当年用于社区基础设施维护与建设资金达到100万元，求从2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率？
22.某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D距离桥面的高度 CD ，他们在桥面上选取了一个测量点A测得点D的仰角为26.6°，然后他们沿 AC 方向移动40m到达测量点B（即 AB=40m ），在B点测得点D的仰角为37°，如图2所示.求外拱塔的最高点D距离桥面的高度 CD .[参考数据： sin37°≈0.60 ， cos37°≈0.80 ， tan37°≈0.75 ， sin26.6°≈0.45 ， cos26.6°≈0.89 ， tan26.6°≈0.50 ]
23.全国文明城市是指全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市，2021年是第七届创城周期第一年，为此我市各校积极参与创建活动，自发组织开展文明劝导活动，某中学九（1）班为此制作了大小、形状、质地等都相同的“文明劝导员”胸章和“文明监督员”胸章各2枚，现将4枚胸章放入不透明的盒中.
（1）该班级的一名“文明劝导员”要从盒中抽取一枚胸章，求该同学抽取的胸章与其相配的概率为 ；
（2）“文明劝导员”小新和“文明监督员”小华同时从盒中各抽取一枚胸章，试用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求出小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的概率.
24.如图，在 △ABC 中，以 AB 为直径的 ⊙O 交 BC 于点D，与 CA 的延长线交于点E， ⊙O 的切线 DF 与 AC 垂直，垂足为点F.
（1）求证： AB=AC ；
（2）若 AC=6 ， ∠BAE=60° ，求 AD 的长.
25.如图，已知抛物线 L1 ： y1=34x2 ，将抛物线平移后经过点 A(−1,0),B(4,0) 得到抛物线 L2 ，与y轴交于点C.
（1）求抛物线 L2 的解析式；
（2）点P为抛物线 L2 上的动点，过点P作 PD⊥x 轴，与抛物线 L1 交于点D，是否存在 PD=2OC ，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.
26.如图，在等边 △ABC 中，点D是 AB 边上的一个动点（不与点A，B重合），以 CD 为边作等边 △EDC ， AC 与 DE 交于点F，连接 AE .
（1） 求证：
① △AEF∽△DCF ；
② △ADF∽△BCD ；
（2）若 AB=3BD=6 ，求 △ADF 的面积.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： 2cos45∘=2×22=2 .
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得cos45°=22 ， 据此计算.
2.【答案】 D
【考点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上方朝下看只有D选项为三角形.
故答案为：D.
【分析】根据俯视图的概念可得：圆锥的俯视图为圆，圆柱的俯视图为圆，正方体的俯视图为正方形，三棱柱的俯视图为三角形，据此判断.
3.【答案】 B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4× 254 ＝0，
∴方程有两个相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
4.【答案】 C
【考点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 位似，
∴ △OAB∽△OA'B' ，
∴ AB∶A'B'=OA∶OA'=1∶3 ，即：四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 的相似比为 1∶3 ，
∴四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 的周长比为 1∶3 .
故答案为：C.
【分析】由题意可得△OAB∽△OA′B′，AB:A′B′=OA:OA′=1:3，然后根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答.
5.【答案】 A
【考点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得： k+2<0 ，解得 k<−2
故答案为：A
【分析】y=kx（k≠0），当k>0时， 图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大；当k<0时， 图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，根据性质可得k+2<0 ， 再解不等式即可.
6.【答案】 C
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD，
设 OB=OD=r ，
∵AB⊥CD，CD=8，
∴CE=DE=4，∠BED=∠OED=90°，
∴ BE=BD2−DE2=2 ，
∴ OE=OB−BE=r−2 ，
∵ DE2+OE2=OD2 ，
∴ 42+(r−2)2=r2 ，
解得 r=5 ，
∴AB=2r=10.
故答案为：C.
【分析】连接OD，设OB=OD=r，根据垂径定理可得CE=DE=4，由勾股定理求出BE，然后表示出OE，在Rt△ODE中，应用勾股定理求解即可.
7.【答案】 A
【考点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，两次均摸到红球的结果有2个，
∴两次均摸到红球的概率为 26=13 ，
故答案为：A.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及两次均摸到红球的情况数，然后利用概率公式进行计算.
8.【答案】 D
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解： ∵ 抛物线 y=x2+x+m−1 经过第一、二、三象限，
∴Δ=12−4(m−1)>0 且 m−1⩾0 ，
解得 1⩽m<54 .
故答案为：D.
【分析】由题意可得△>0且m-1≥0，求解即可.
二、填空题
9.【答案】 中心
【考点】中心投影
【解析】【解答】解：路灯发出的光线可以看成是从一点发出的光线，像这样的光线所形成的投影叫做中心投影，故路灯下人的影子是中心投影.
故答案为：中心.
【分析】路灯发出的光线可以看成是从一点发出的光线，然后结合中心投影以及平行投影的特点进行判断.
10.【答案】 45
【考点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵该多边形为正八边形，故n=8
∴ 360°n=360°8=45°
故答案为：45.
【分析】利用360°除以正多边形的边数即可求出中心角的度数.
11.【答案】 11
【考点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，
∴摸到蓝色球的频率稳定在1-10%-35%=55%，
∴蓝色球的个数为：20×55%=11个，
故答案为：11．
【分析】球的总数乘以蓝色球所占球的总数的比例即为蓝色球的个数。
12.【答案】 8
【考点】反比例函数图象的对称性，三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可知 xAyA=k ， xByB=k
∵ AC∥y 轴， BC∥x 轴
∴∠ACB=90°， |xA|=|xB| ， |yA|=|yB| ， AC=|yA|+|yB| ， BC=|xA|+|xB|
∴ S△ABC=12⋅BC⋅AC
∴ S△ABC=12⋅(|yA||xB|+|yA||xA|+|xA||yB|+|yB||xB|)
∴ S△ABC=12⋅(|yB||xB|+|yA||xA|+|xB||yB|+|yB||xB|)
∴ S△ABC=12⋅(|k|+|k|+|k|+|k|)
∴ S△ABC=12⋅4⋅|k|=12⋅4⋅|−4|=8
故答案为：8.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得xAyA=xByB=k，由反比例函数图象的对称性可得|xA|=|xB|，|yA|=|yB|，AC=|yA+yB|，BC=|xA|+|xB|，然后根据三角形的面积公式进行解答.
13.【答案】 4
【考点】菱形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作 AH⊥BC ，
∵四边形 ABCD 是菱形， AB=5 ， S菱形ABCD=24 ，
∴ AE//BC ， AH=245
∴ △AEF∽△CBF
∵AB=5 ， AE=1
∴AEBC=AFFC=15
∴FCAF=56
∵AH⊥BC,FG⊥BC
∴ AH//FG
∴△AHC∽△FGC
∴ FGAH=FCAC=56
∴ FG=56×245=4
故答案为：4.
【分析】过点A作AH⊥BC，根据菱形的性质可得AE∥BC，根据菱形的面积可得AH的值，易证△AEF∽△CBF，△AHC∽△FGC，然后根据相似三角形的性质求解即可.
三、解答题
14.【答案】 解：原式 =2×1−112−2×(32)2
=2−2−32=−32 .
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式=2×1-112-2×(32)2 ， 据此计算.
15.【答案】 解： 3x(x−1)=2x−2
∴3x(x−1)−2(x−1)=0,
∴(x−1)(3x−2)=0,
∴x−1=0 或 3x−2=0,
解得： x1=1,x2=23
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先将右边的式子因式分解，然后移至左边，发现含有公因式(x-1)，提取公因式可得(x-1)(3x-2)=0，据此求解.
16.【答案】 解：在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， AC=12 ， BC=5 ，
∴ AB=AC2+BC2=122+52=13
∴ sinA=BCAB=513 ， cosA=ACAB=1213 ， tanA=BCAC=512 .
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】首先由勾股定理求出AB，然后利用三角函数的概念进行求解.
17.【答案】 解：如图，直线 MN ，直线 EF 即为所求.
【考点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】首先画一条直径MN，然后作直径MN的垂直平分线EF，则MN、EF即为所求.
18.【答案】 解：由题意知 ∠ECF=∠ACB ， ∠CFE=∠CBA=90° ，
∴ △CFE∽△CBA
∴ EFAB=CFBC ，
∵ EF=1.5 米， CF=2 米， BC=10 米，
∴ 1.5AB=210
∴ AB=7.5 （米）.
答：松树 AB 的高为7.5米.
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意知∠ECF=∠ACB，∠CFE=∠CBA=90°，证明△CFE∽△CBA，然后利用相似三角形的性质进行求解.
19.【答案】 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD//BC ， AB=CD ，
∴∠DEC=∠BCH ，
∵∠D=90° ， BH⊥CE ，
∴∠D=∠BHC ，
由旋转得， CE=CB ， CD=CG ，
在 ΔEDC 和 ΔCHB 中，
{∠DEC=∠HCB∠D=∠BHCCE=CB ，
∴ΔEDC≅ΔCHB(AAS) ，
∴BH=CD=CG .
【考点】平行线的性质，矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，AB=CD，根据平行线的性质可得∠DEC=∠BCH，由旋转的性质可得：CE=CB，CD=CG，证明△EDC≌△CHB，据此可得结论.
20.【答案】 （1）解：设当 x⩾20 时，y与x之间的函数关系式是 y=kx ，
图象过 (20,280) 解得： k=5600 ，
y与x之间的函数关系式是 y=5600x ；
（2）解：当 x≥20 时， 140=5600x ，解得： x=40 ，
∴ 体内抗体浓度不高于140微克/ml是从注射药物第40天开始.
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设当x≥20时，y与x之间的函数关系式是y=kx ， 将（20，280）代入可得k，据此可得y与x之间的函数关系式；
（2）令y=140，求出x的值，据此解答.
21.【答案】 解：设2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，
由题意列方程可得： 64(1+x)2=100 ，解得： x=0.25 或 x=−2.25 （舍去），
所以年平均增长率为： 0.25=25 ％，
答：2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率是25%.
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】先求出 64(1+x)2=100 ， 再解方程求解即可。
22.【答案】 解：设 DC=xm ，
在 Rt△ADC 中， ∠A=26.6° ，
∴ tan26.6°≈0.50=CDAC
∴ AC=2CD
在 Rt△BDC 中， ∠DBC=37° ，
∴ tan37°≈0.75=CDBC
∴ BC=43CD
∵ AC−BC=40 ，
∴即 2CD−43CD=40 ，
解得 CD=60 ，
答：外拱塔的最高点D距离桥面的高度 CD 为60m.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 设DC=xm，根据正切函数的概念可得AC=2CD，BC=43CD，然后根据AC-BC=40就可求出CD的值.
23.【答案】 （1）12
（2）解：把2枚“文明劝导员”胸章分别记为A、B，2枚“文明监督员”胸章分别记为C、D，画树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的结果有4种，
∴小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的概率为 412=13 .
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】【解答】解：（1）该班级的一名“文明劝导员”要从盒中抽取一枚胸章，该同学抽取的胸章与其相配的概率为 24=12 ；
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，找出总情况数以及小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的情况数，然后利用概率公式进行计算.
24.【答案】 （1）证明：如图，连接 OD ，
∵ DF 是 ⊙O 的切线，
∴ OD⊥DF ，
∵ DF⊥AC ，
∴ OD∥AC ，
∴ ∠ODB=∠ACB ，
∵ OB=OD ，
∴ ∠ODB=∠OBD ，
∴ ∠OBD=∠ACB ，
∴ AB=AC .
（2）解：∵ ∠BAE=60° ，
∴ ∠BAC=120° ，
∵ AB=AC=6 ，
∴ OA=3 ， ∠ABC=12(180°−∠BAC)=30° ，
∴ ∠AOD=2∠ABC=60° ，
∴ AD 的长 =60π×3180=π
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得OD⊥DF，推出OD∥AC，得到∠ODB=∠ACB，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠OBD，推出∠OBD=∠ACB，据此证明；
（2）由邻补角的性质可得∠BAC=120°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=30°，由圆周角定理可得∠AOD=2∠ABC=60°，然后利用弧长公式进行计算.
25.【答案】 （1）解：设抛物线 L2 的解析式为 y=34x2+bx+c ，经过点 A(−1,0),B(4,0) ，根据题意得 {34−b+c=012+4b+c=0 ，解得 {b=−94c=−3 .
所以抛物线 L2 的解析式为 y=34x2−94x−3 .
（2）解：存在 PD=2OC .理由：
设 P(a,34a2−94a−3),D(a,34a2) ，
根据题意，得 PD=|34a2−94a−3−34a2|=|94a+3|,OC=3 .
由 |94a+3|=2OC=6 ，解得 a1=43,a2=−4 .
∴ P1(43,−143) ， P2(−4,18) .
【考点】待定系数法求二次函数解析式，直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）设抛物线L2的解析式为y=34x2+bx+c，将A、B的坐标代入可得b、c，据此可得抛物线L2的解析式；
（2）设P（a，34a2-94a-3），D（a，34a2），表示出PD，然后根据PD=2OC可求出a的值，进而可得点P的坐标.
26.【答案】 （1）证明：①∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AC=BC ， ∠ABC=∠ACB=60° ，
∵ △EDC 是等边三角形，∴ CD=EC ， ∠DCE=60° ，
∴ ∠BCD=∠ACE ，
∴ △ACE≌△BCD(SAS) ，
∴ ∠EAC=∠DBC=60° ，
∴ ∠EAC=∠CDE=60° ，
又∵ ∠AFE=∠DFC ，
∴ △AEF∽△DCF .
②∵ △ABC 和 △EDC 为等边三角形，
∴ ∠EDC=∠ABC=∠BAC=60° ，
∴ ∠ADF+∠BDC=120° ，
∵ ∠ABC=60° ，
∴ ∠BDC+∠BCD=120° ，
∴ ∠ADF=∠BCD ，
又 ∠DAF=∠CBD =60°，
∴ △ADF∽△BCD
（2）解：过点C作 CH⊥AB ，垂足为H，如图.
∵ △ABC 是等边三角形， AB=3BD=6 ，
∴ BD=2 ， AC=BC=AB=6 ，
∴ AD=4 ，
在 Rt△BCH 中， ∠B=60° ， ∠BCH=30° ，
∴ BH=12BC=3
∴ CH=BC2−BH2=62−32=33
∴ S△BDC=12×BD×CH=12×2×33=33
由②知 △ADF∽△BCD
∴ S△ADFS△DBC=(ADBC)2=(46)2 ，即 S△DFF33=49
∴ S△ADF=433 .
【考点】三角形内角和定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）①由等边三角形的性质可得AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°，CD=CE，∠DCE=60°，然后证明△ACE≌△BCD，得到∠EAC=∠DBC=60°，根据对顶角的性质可得∠AFE=∠DFC，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
②由等边三角形的性质可得∠EDC=∠ABC=∠BAC=60°，根据平角的概念可得∠ADF+∠BDC=120°，由内角和定理可得∠BDC+∠BCD=120°，推出∠ADF=∠BCD，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）过点C作CH⊥AB，垂足为H，易得BD=2，AC=BC=AB=6，AD=4，BH=3，根据勾股定理求出CH，由三角形的面积公式可得△BDC的面积，然后利用相似三角形的性质就可得到△ADF的面积.
陕西省渭南市韩城市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.2cos45°的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
2.下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
3.请判断一元二次方程 x2−5x+254=0 的实数根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定
4.如图，四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 位似，点O为位似中心已知 OA:OA'=1:3 ，则四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 的周长比为（ ）
A. 1:4 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:9
5.若反比例函数y =k+2x 的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A. k＜﹣2 B. k＞﹣2 C. k＜2 D. k＞2
6.如图， ⊙O 的直径 AB⊥ 弦 CD 于点E，若 CD=8 ， BD=25 ，则 AB 的长为（ ）
A. 25 B. 12 C. 10 D. 5
7.一个盒子里装有除颜色外都相同的3个球，其中2个红球，1个白球.现从盒子里随意摸出1个不放回，再摸出1个，两次均摸到红球的概率是（ ）
A. 13 B. 12 C. 23 D. 56
8.若二次函数 y=x2+x+m−1 的图象经过第一、二、三象限，则m满足的条件是（ ）
A. m≥1 B. m>1 C. 0
9.路灯下行人的影子属于 投影.（填“平行”或“中心”）
10.正八边形的中心角等于 度
11.在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，则口袋中蓝色球的个数很可能是________．
12.如图，正比例函数 y=kx 的图象交反比例函数 y=−4x 的图象于A、B两点， AC∥y 轴， BC∥x 轴，则 △ABC 的面积为 .
13.如图，菱形 ABCD 中， AB=5 ， S菱形ABCD=24 ，E为 AD 上一点，且 AE=1 ，连接 BE 、 AC 交于点F，过点F作 FG⊥BC 于点G，则 FG 的长为 .
三、解答题（本大题共13小题，共81分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14.计算： 2tan45°−1sin30°−2sin260° .
15.解方程： 3x(x−1)=2x−2 .
16.如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， AC=12 ， BC=5 .求 sinA ， cosA 和 tanA .
17.如图，把一个以点O为圆心的圆的面积四等分，请用尺规作图画出一种分割方法.（不写作法，保留作图痕迹）
18.小明想用镜子测量校园内一棵松树的高度，如图所示，他把镜子放在水平地面上的C点，沿着直线 BC 后退到点F，这时恰好在镜子里看到树稍顶点A的像，量得 BC=10 米， CF=2 米.已知 EF 、 AB 均与地面 BF 垂直，小明的眼睛距离地面1.5米（即 EF=1.5 米），请你求出松树 AB 的高.
19.如图，将矩形 ABCD 绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形 FECG ，点B与点E对应，点E恰好落在 AD 边上， BH⊥CE 交于点H，求证： CG=BH .
20.我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治.某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当 x≤20 时，y与x是正比例函数关系；当 x≥20 时，y与x是反比例函数关系）.
（1）根据图象求当 x≥20 时，y与x之间的函数关系式；
（2）当 x≥20 时，体内抗体浓度不高于140微克/ml时是从注射药物第多少天开始?
21.2021年某社区投入64万元用于社区基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2023年当年用于社区基础设施维护与建设资金达到100万元，求从2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率？
22.某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D距离桥面的高度 CD ，他们在桥面上选取了一个测量点A测得点D的仰角为26.6°，然后他们沿 AC 方向移动40m到达测量点B（即 AB=40m ），在B点测得点D的仰角为37°，如图2所示.求外拱塔的最高点D距离桥面的高度 CD .[参考数据： sin37°≈0.60 ， cos37°≈0.80 ， tan37°≈0.75 ， sin26.6°≈0.45 ， cos26.6°≈0.89 ， tan26.6°≈0.50 ]
23.全国文明城市是指全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市，2021年是第七届创城周期第一年，为此我市各校积极参与创建活动，自发组织开展文明劝导活动，某中学九（1）班为此制作了大小、形状、质地等都相同的“文明劝导员”胸章和“文明监督员”胸章各2枚，现将4枚胸章放入不透明的盒中.
（1）该班级的一名“文明劝导员”要从盒中抽取一枚胸章，求该同学抽取的胸章与其相配的概率为 ；
（2）“文明劝导员”小新和“文明监督员”小华同时从盒中各抽取一枚胸章，试用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求出小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的概率.
24.如图，在 △ABC 中，以 AB 为直径的 ⊙O 交 BC 于点D，与 CA 的延长线交于点E， ⊙O 的切线 DF 与 AC 垂直，垂足为点F.
（1）求证： AB=AC ；
（2）若 AC=6 ， ∠BAE=60° ，求 AD 的长.
25.如图，已知抛物线 L1 ： y1=34x2 ，将抛物线平移后经过点 A(−1,0),B(4,0) 得到抛物线 L2 ，与y轴交于点C.
（1）求抛物线 L2 的解析式；
（2）点P为抛物线 L2 上的动点，过点P作 PD⊥x 轴，与抛物线 L1 交于点D，是否存在 PD=2OC ，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.
26.如图，在等边 △ABC 中，点D是 AB 边上的一个动点（不与点A，B重合），以 CD 为边作等边 △EDC ， AC 与 DE 交于点F，连接 AE .
（1） 求证：
① △AEF∽△DCF ；
② △ADF∽△BCD ；
（2）若 AB=3BD=6 ，求 △ADF 的面积.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： 2cos45∘=2×22=2 .
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得cos45°=22 ， 据此计算.
2.【答案】 D
【考点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上方朝下看只有D选项为三角形.
故答案为：D.
【分析】根据俯视图的概念可得：圆锥的俯视图为圆，圆柱的俯视图为圆，正方体的俯视图为正方形，三棱柱的俯视图为三角形，据此判断.
3.【答案】 B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4× 254 ＝0，
∴方程有两个相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
4.【答案】 C
【考点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 位似，
∴ △OAB∽△OA'B' ，
∴ AB∶A'B'=OA∶OA'=1∶3 ，即：四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 的相似比为 1∶3 ，
∴四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 的周长比为 1∶3 .
故答案为：C.
【分析】由题意可得△OAB∽△OA′B′，AB:A′B′=OA:OA′=1:3，然后根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答.
5.【答案】 A
【考点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得： k+2<0 ，解得 k<−2
故答案为：A
【分析】y=kx（k≠0），当k>0时， 图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大；当k<0时， 图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，根据性质可得k+2<0 ， 再解不等式即可.
6.【答案】 C
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD，
设 OB=OD=r ，
∵AB⊥CD，CD=8，
∴CE=DE=4，∠BED=∠OED=90°，
∴ BE=BD2−DE2=2 ，
∴ OE=OB−BE=r−2 ，
∵ DE2+OE2=OD2 ，
∴ 42+(r−2)2=r2 ，
解得 r=5 ，
∴AB=2r=10.
故答案为：C.
【分析】连接OD，设OB=OD=r，根据垂径定理可得CE=DE=4，由勾股定理求出BE，然后表示出OE，在Rt△ODE中，应用勾股定理求解即可.
7.【答案】 A
【考点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，两次均摸到红球的结果有2个，
∴两次均摸到红球的概率为 26=13 ，
故答案为：A.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及两次均摸到红球的情况数，然后利用概率公式进行计算.
8.【答案】 D
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解： ∵ 抛物线 y=x2+x+m−1 经过第一、二、三象限，
∴Δ=12−4(m−1)>0 且 m−1⩾0 ，
解得 1⩽m<54 .
故答案为：D.
【分析】由题意可得△>0且m-1≥0，求解即可.
二、填空题
9.【答案】 中心
【考点】中心投影
【解析】【解答】解：路灯发出的光线可以看成是从一点发出的光线，像这样的光线所形成的投影叫做中心投影，故路灯下人的影子是中心投影.
故答案为：中心.
【分析】路灯发出的光线可以看成是从一点发出的光线，然后结合中心投影以及平行投影的特点进行判断.
10.【答案】 45
【考点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵该多边形为正八边形，故n=8
∴ 360°n=360°8=45°
故答案为：45.
【分析】利用360°除以正多边形的边数即可求出中心角的度数.
11.【答案】 11
【考点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，
∴摸到蓝色球的频率稳定在1-10%-35%=55%，
∴蓝色球的个数为：20×55%=11个，
故答案为：11．
【分析】球的总数乘以蓝色球所占球的总数的比例即为蓝色球的个数。
12.【答案】 8
【考点】反比例函数图象的对称性，三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可知 xAyA=k ， xByB=k
∵ AC∥y 轴， BC∥x 轴
∴∠ACB=90°， |xA|=|xB| ， |yA|=|yB| ， AC=|yA|+|yB| ， BC=|xA|+|xB|
∴ S△ABC=12⋅BC⋅AC
∴ S△ABC=12⋅(|yA||xB|+|yA||xA|+|xA||yB|+|yB||xB|)
∴ S△ABC=12⋅(|yB||xB|+|yA||xA|+|xB||yB|+|yB||xB|)
∴ S△ABC=12⋅(|k|+|k|+|k|+|k|)
∴ S△ABC=12⋅4⋅|k|=12⋅4⋅|−4|=8
故答案为：8.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得xAyA=xByB=k，由反比例函数图象的对称性可得|xA|=|xB|，|yA|=|yB|，AC=|yA+yB|，BC=|xA|+|xB|，然后根据三角形的面积公式进行解答.
13.【答案】 4
【考点】菱形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作 AH⊥BC ，
∵四边形 ABCD 是菱形， AB=5 ， S菱形ABCD=24 ，
∴ AE//BC ， AH=245
∴ △AEF∽△CBF
∵AB=5 ， AE=1
∴AEBC=AFFC=15
∴FCAF=56
∵AH⊥BC,FG⊥BC
∴ AH//FG
∴△AHC∽△FGC
∴ FGAH=FCAC=56
∴ FG=56×245=4
故答案为：4.
【分析】过点A作AH⊥BC，根据菱形的性质可得AE∥BC，根据菱形的面积可得AH的值，易证△AEF∽△CBF，△AHC∽△FGC，然后根据相似三角形的性质求解即可.
三、解答题
14.【答案】 解：原式 =2×1−112−2×(32)2
=2−2−32=−32 .
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式=2×1-112-2×(32)2 ， 据此计算.
15.【答案】 解： 3x(x−1)=2x−2
∴3x(x−1)−2(x−1)=0,
∴(x−1)(3x−2)=0,
∴x−1=0 或 3x−2=0,
解得： x1=1,x2=23
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先将右边的式子因式分解，然后移至左边，发现含有公因式(x-1)，提取公因式可得(x-1)(3x-2)=0，据此求解.
16.【答案】 解：在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， AC=12 ， BC=5 ，
∴ AB=AC2+BC2=122+52=13
∴ sinA=BCAB=513 ， cosA=ACAB=1213 ， tanA=BCAC=512 .
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】首先由勾股定理求出AB，然后利用三角函数的概念进行求解.
17.【答案】 解：如图，直线 MN ，直线 EF 即为所求.
【考点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】首先画一条直径MN，然后作直径MN的垂直平分线EF，则MN、EF即为所求.
18.【答案】 解：由题意知 ∠ECF=∠ACB ， ∠CFE=∠CBA=90° ，
∴ △CFE∽△CBA
∴ EFAB=CFBC ，
∵ EF=1.5 米， CF=2 米， BC=10 米，
∴ 1.5AB=210
∴ AB=7.5 （米）.
答：松树 AB 的高为7.5米.
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意知∠ECF=∠ACB，∠CFE=∠CBA=90°，证明△CFE∽△CBA，然后利用相似三角形的性质进行求解.
19.【答案】 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD//BC ， AB=CD ，
∴∠DEC=∠BCH ，
∵∠D=90° ， BH⊥CE ，
∴∠D=∠BHC ，
由旋转得， CE=CB ， CD=CG ，
在 ΔEDC 和 ΔCHB 中，
{∠DEC=∠HCB∠D=∠BHCCE=CB ，
∴ΔEDC≅ΔCHB(AAS) ，
∴BH=CD=CG .
【考点】平行线的性质，矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，AB=CD，根据平行线的性质可得∠DEC=∠BCH，由旋转的性质可得：CE=CB，CD=CG，证明△EDC≌△CHB，据此可得结论.
20.【答案】 （1）解：设当 x⩾20 时，y与x之间的函数关系式是 y=kx ，
图象过 (20,280) 解得： k=5600 ，
y与x之间的函数关系式是 y=5600x ；
（2）解：当 x≥20 时， 140=5600x ，解得： x=40 ，
∴ 体内抗体浓度不高于140微克/ml是从注射药物第40天开始.
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设当x≥20时，y与x之间的函数关系式是y=kx ， 将（20，280）代入可得k，据此可得y与x之间的函数关系式；
（2）令y=140，求出x的值，据此解答.
21.【答案】 解：设2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，
由题意列方程可得： 64(1+x)2=100 ，解得： x=0.25 或 x=−2.25 （舍去），
所以年平均增长率为： 0.25=25 ％，
答：2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率是25%.
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】先求出 64(1+x)2=100 ， 再解方程求解即可。
22.【答案】 解：设 DC=xm ，
在 Rt△ADC 中， ∠A=26.6° ，
∴ tan26.6°≈0.50=CDAC
∴ AC=2CD
在 Rt△BDC 中， ∠DBC=37° ，
∴ tan37°≈0.75=CDBC
∴ BC=43CD
∵ AC−BC=40 ，
∴即 2CD−43CD=40 ，
解得 CD=60 ，
答：外拱塔的最高点D距离桥面的高度 CD 为60m.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 设DC=xm，根据正切函数的概念可得AC=2CD，BC=43CD，然后根据AC-BC=40就可求出CD的值.
23.【答案】 （1）12
（2）解：把2枚“文明劝导员”胸章分别记为A、B，2枚“文明监督员”胸章分别记为C、D，画树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的结果有4种，
∴小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的概率为 412=13 .
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】【解答】解：（1）该班级的一名“文明劝导员”要从盒中抽取一枚胸章，该同学抽取的胸章与其相配的概率为 24=12 ；
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，找出总情况数以及小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的情况数，然后利用概率公式进行计算.
24.【答案】 （1）证明：如图，连接 OD ，
∵ DF 是 ⊙O 的切线，
∴ OD⊥DF ，
∵ DF⊥AC ，
∴ OD∥AC ，
∴ ∠ODB=∠ACB ，
∵ OB=OD ，
∴ ∠ODB=∠OBD ，
∴ ∠OBD=∠ACB ，
∴ AB=AC .
（2）解：∵ ∠BAE=60° ，
∴ ∠BAC=120° ，
∵ AB=AC=6 ，
∴ OA=3 ， ∠ABC=12(180°−∠BAC)=30° ，
∴ ∠AOD=2∠ABC=60° ，
∴ AD 的长 =60π×3180=π
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得OD⊥DF，推出OD∥AC，得到∠ODB=∠ACB，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠OBD，推出∠OBD=∠ACB，据此证明；
（2）由邻补角的性质可得∠BAC=120°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=30°，由圆周角定理可得∠AOD=2∠ABC=60°，然后利用弧长公式进行计算.
25.【答案】 （1）解：设抛物线 L2 的解析式为 y=34x2+bx+c ，经过点 A(−1,0),B(4,0) ，根据题意得 {34−b+c=012+4b+c=0 ，解得 {b=−94c=−3 .
所以抛物线 L2 的解析式为 y=34x2−94x−3 .
（2）解：存在 PD=2OC .理由：
设 P(a,34a2−94a−3),D(a,34a2) ，
根据题意，得 PD=|34a2−94a−3−34a2|=|94a+3|,OC=3 .
由 |94a+3|=2OC=6 ，解得 a1=43,a2=−4 .
∴ P1(43,−143) ， P2(−4,18) .
【考点】待定系数法求二次函数解析式，直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）设抛物线L2的解析式为y=34x2+bx+c，将A、B的坐标代入可得b、c，据此可得抛物线L2的解析式；
（2）设P（a，34a2-94a-3），D（a，34a2），表示出PD，然后根据PD=2OC可求出a的值，进而可得点P的坐标.
26.【答案】 （1）证明：①∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AC=BC ， ∠ABC=∠ACB=60° ，
∵ △EDC 是等边三角形，∴ CD=EC ， ∠DCE=60° ，
∴ ∠BCD=∠ACE ，
∴ △ACE≌△BCD(SAS) ，
∴ ∠EAC=∠DBC=60° ，
∴ ∠EAC=∠CDE=60° ，
又∵ ∠AFE=∠DFC ，
∴ △AEF∽△DCF .
②∵ △ABC 和 △EDC 为等边三角形，
∴ ∠EDC=∠ABC=∠BAC=60° ，
∴ ∠ADF+∠BDC=120° ，
∵ ∠ABC=60° ，
∴ ∠BDC+∠BCD=120° ，
∴ ∠ADF=∠BCD ，
又 ∠DAF=∠CBD =60°，
∴ △ADF∽△BCD
（2）解：过点C作 CH⊥AB ，垂足为H，如图.
∵ △ABC 是等边三角形， AB=3BD=6 ，
∴ BD=2 ， AC=BC=AB=6 ，
∴ AD=4 ，
在 Rt△BCH 中， ∠B=60° ， ∠BCH=30° ，
∴ BH=12BC=3
∴ CH=BC2−BH2=62−32=33
∴ S△BDC=12×BD×CH=12×2×33=33
由②知 △ADF∽△BCD
∴ S△ADFS△DBC=(ADBC)2=(46)2 ，即 S△DFF33=49
∴ S△ADF=433 .
【考点】三角形内角和定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）①由等边三角形的性质可得AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°，CD=CE，∠DCE=60°，然后证明△ACE≌△BCD，得到∠EAC=∠DBC=60°，根据对顶角的性质可得∠AFE=∠DFC，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
②由等边三角形的性质可得∠EDC=∠ABC=∠BAC=60°，根据平角的概念可得∠ADF+∠BDC=120°，由内角和定理可得∠BDC+∠BCD=120°，推出∠ADF=∠BCD，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）过点C作CH⊥AB，垂足为H，易得BD=2，AC=BC=AB=6，AD=4，BH=3，根据勾股定理求出CH，由三角形的面积公式可得△BDC的面积，然后利用相似三角形的性质就可得到△ADF的面积.
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