初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理单元测试当堂检测题

这是一份初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理单元测试当堂检测题，共24页。试卷主要包含了5第3章勾股定理单元测试，55　尺高．等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题3.5第3章勾股定理单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间60分钟，试题共27题，选择8道、填空10道、解答9道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•江苏省滨海县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6，则BC的长度为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．16
【分析】先根据等腰三角形的性质得出BC＝2BD，再由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．
【解析】∵在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6，
∴BC＝2BD，AD⊥BC．
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+62＝102，解得BD＝8，
∴BC＝16．
故选：D．
2．（2019秋•江苏省常熟市校级月考）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【分析】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2＝c2＝100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．
【解析】∵a+b＝14
∴（a+b）2＝196
∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96
∴12ab＝24．
故选：A．
3．（2019秋•江苏省铜山区期末）如图，正方形ABCD的面积是（　　）

A．5 B．25 C．7 D．1
【分析】根据勾股定理以及正方形的面积公式即可求出答案．
【解析】设正方形的边长为c，
由勾股定理可知：c2＝32+42，
∴c2＝25，
故选：B．
4．（2019秋•江苏省苏州期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a：b：c=2：3：5
C．∠A+∠B＝2∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C
【分析】直角三角形的判定方法，大约有以下几种：
①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；
②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根
据两种情况进行判断即可．
【解析】A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、（2）2+（3）2＝（5）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
C、∠A+∠B＝2∠C，此时∠C＝60°，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∠A＝2∠B＝3∠C，那么∠A＝（108011）°、∠B＝（54011）°、∠C＝（36011）°，△ABC不是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
5．（2019秋•江苏省崇川区校级期末）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则（　　）
A．﹣3m2+2mn+n2＝0 B．m2+2mn﹣n2＝0
C．2m2﹣2mn+n2＝0 D．3m2﹣mn﹣n2＝0
【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2＝（n﹣m）2，整理即可求解
【解析】如图，
m2+m2＝（n﹣m）2，
2m2＝n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2＝0．
故选：B．

6．（2020•海门市一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
故选：D．
7．（2020春•怀宁县期末）如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．169 B．25 C．19 D．13
【分析】先求出四个直角三角形的面积，再根据再根据直角三角形的边长求解即可．
【解析】∵大正方形的面积13，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形的面积和是13﹣1＝12，即4×12ab＝12，
即2ab＝12，a2+b2＝13，
∴（a+b）2＝13+12＝25．
故选：B．
8．（2019秋•江苏省秦淮区期中）如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果．
【解析】第一个正方形的面积是64；
第二个正方形的面积是32；
第三个正方形的面积是16；
…
第n个正方形的面积是642n-1，
∴正方形⑤的面积是4．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在横线上）
9．（2019秋•江苏省兴化市校级月考）5、12、m是一组勾股数，则m＝　13　．
【分析】分类讨论：12是最长边；m是最长边．
【解析】当12是最长边时，52+m2＝122，m=119（舍去）
当m是最长边时，m2＝52+122，m＝13．
故答案是：13．
10．（2019秋•江苏省建湖县期末）若△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的是　　（填序号）．
【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解析】∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；
∵a2＝（b+c）（b﹣c）
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意；
∵a：b：c＝5：12：13，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故④符合题意；
故答案为：①②④．
11．（2019秋•江苏省江阴市期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为　7或25　．
【分析】任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知中两个非负数的和是0，则两个一定同时是0；另外已知直角三角形两边a、b的长，具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边，应分类讨论．
【解析】∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，
∴（a﹣3）2，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三边长=32+42=5，或直角三角形的第三边长=42-32=7
∴直角三角形的第三平方为25或7，
故答案为：7或25．
12．（2019秋•江苏省邗江区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A、点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为　52　．

【分析】先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，由作图可知O是AB的中点，最后根据直角三角形斜边中线可得结论．
【解析】∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
由作图可知：MN是AB的垂直平分线，
∴O是AB的中点，
∴CO=12AB=52，
故答案为：52．
13．（2019•靖江市校级）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝　100　．

【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2．
【解析】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．
14．（2020•扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面　4.55　尺高．

【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可．
【解析】设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55．
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
15．（2019秋•江苏省高港区月考）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了　9　米．（假设绳子是直的）

【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
【解析】在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB=BC2-AC2=172-82=15（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣1×7＝10（米），
∴AD=CD2-AC2=102-82=6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米．
故答案为：9．
16．（2019秋•江苏省海州区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD＝AB，则∠DCB＝　15　°．

【分析】根据等边三角形的性质可得出BA＝BC、∠ABC＝60°，由BD⊥AB、BD＝AB可得出△ABD为等腰直角三角形，进而可得出∠ABD＝90°及BD＝BC，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠DCB的度数．
【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°．
∵BD⊥AB，BD＝AB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝90°，BD＝BC，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝150°，
∴∠DCB＝∠BDC=12（180°﹣∠CBD）＝15°．
故答案为：15．
17．（2019秋•江苏省江宁区期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，高BD＝8，AE平分∠BAC，则△ABE的面积为　15　．

【分析】连接CE，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到BE＝CE，S△ABE＝S△ACE，在Rt△ADB中，根据勾股定理得到AD=AB2-BD2=6，求得CD＝AC﹣AD＝4，得到S△ADES△CDE=12AD⋅DE12CD⋅DE=64=32，设S△ADE＝3k，S△CDE＝2k，得到S△ABE＝S△ACE＝10k，S△ABD＝16k=12AD•BD=12×6×8＝24，求得k=32，于是得到结论．
【解析】连接CE，∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AB＝AC，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE，S△ABE＝S△ACE，
∵在△ABC中，AB＝AC＝10，高BD＝8，
∴在Rt△ADB中，AD=AB2-BD2=6，
∴CD＝AC﹣AD＝4，
∴S△ADES△CDE=12AD⋅DE12CD⋅DE=64=32，
设S△ADE＝3k，S△CDE＝2k，
∴S△ABE＝S△ACE＝5k，S△ABD＝8k=12AD•BD=12×6×8＝24，
∴k＝3，
∴△ABE的面积为5k＝15，
故答案为：15．

18．（2019秋•江苏省连云港期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝　32或125　s时，△PBQ为直角三角形．

【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ．
∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，
∴6﹣2x＝2x，
解得x=32；
当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，
∴BQ＝2PB，
∴x＝2（6﹣2x），
解得x=125．
答：32或125秒时，△BPQ是直角三角形．
故答案为32或125．

三、解答题（本大题共9小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•江苏省广陵区校级期中）如图在四边形ABCD中，AD＝1，AB＝BC＝2，DC＝3，AD⊥AB，求S四边形ABCD．

【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出∠BC＝90°，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解析】连接BD，
∵AD⊥AB，
∴∠A＝90°，
由勾股定理得：BD=AD2+AB2=12+22=5，
∵在△DBC中，BC＝2，DB=5，DC＝3，
∴BD2+BC2＝DC2，
∴∠DBC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△DAB+S△DBC=12×1×2+12×5×2＝1+5．
20．（2019秋•江苏省盐都区期中）如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长．

【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再利用三角形面积求法得出答案．
【解析】过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD为新建公路．
∵AC＝6km，BC＝8km，AB＝10km
∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
∵S△ABC=12•AC•BC=12AB•CD，
∴12×6×8=12×10×CD，∴CD＝4.8km
∴新建路的长为4.8km．

21．（2019秋•江苏省扬州期中）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16，
（1）若E是边AB的中点，求线段DE的长；
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．

【分析】（1）在△BCD中，由CD2+BD2＝BC2可得出∠BDC＝90°，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出当点E是边AB的中点时线段DE的长；
（2）由点到直线之间垂直线段最短可得出当DE⊥AB时，DE长度最小，再利用面积法可求出线段DE的最小值．
【解析】（1）在△BCD中，BC＝13，BD＝12，CD＝AC﹣AD＝5，
∵52+122＝169＝132，即CD2+BD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°．
在Rt△ABD中，AD＝16，BD＝12，∠ADB＝90°，
∴AB=AD2+BD2=20．
又∵点E是边AB的中点，
∴DE=12AB＝10．
（2）当DE⊥AB时，DE长度最小．
此时：S△ABD=12AD•BD=12AB•DE，
∴DE=AD⋅BDAB=485．
∴线段DE的最小值为485．
22．（2019秋•江苏省仪征市月考）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺送行，二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此塔板离地五尽（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．

【分析】设OB＝OA＝x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解析】设OB＝OA＝x（尺），
∵四边形BECD是矩形，
∴BD＝EC＝5（尺），
在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝x﹣4，BE＝10，
∴x2＝102+（x﹣4）2，
∴x=292．
∴OA的长度为292（尺）．
23．（2019春•东台市月考）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连结BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．

【分析】（1）利用“8字型”证明∠AFE＝∠ECD＝90°即可．
（2）利用S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，即可得出结论．
【解析】（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，
∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DEC中，
AC=DCAB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴∠BAC＝∠EDC，
∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，
∴∠AEF+∠BAC＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴DF⊥AB．
（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，
∴12a2+12b2=12•c•DF-12•c•EF=12•c•（DF﹣EF）=12•c•DE=12c2，
∴a2+b2＝c2．
24．（2019秋•江苏省新北区期中）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数，如（3，4，5）就是一组勾股数．
（1）在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明；
（2）探索规律：观察下列各组数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，直接写出第6个数组．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案．
（2）先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．
【解答】（1）证明：x2+y2
＝（2n）2+（n2﹣1）2
＝4n2+n4﹣2n2+1
＝n4+2n2+1
＝（n2+1）2
＝z2，
即x，y，z为勾股数．

（2）∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；
②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；
③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；
④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；
⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，
则⑥13＝2×6+1，2×62+2×6＝84，2×62+2×6+1＝85，
∴第6组勾股数是：（13，84，85）．
25．（2019秋•江苏省镇江期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；
（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．

【分析】（1）分0＜t≤3和3＜t≤5两种情况，表示出BQ的长度，根据三角形的面积公式可得；
（2）根据线段的垂直平分线的性质求出CP＝CQ，列出方程42+t2＝（5﹣t）2，求出即可；
【解析】（1）如图1，当0＜t≤3时，

BQ＝t，BC＝4，
∴S=12×4×t＝2t；
如图2，当3＜t≤5时，
，
AQ＝t﹣3，
则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
∴S=12×4×（6﹣t）＝12﹣2t；
（2）连接CQ，如图3，

∵QP的垂直平分线过点C，
∴CP＝CQ，∵AB＝3，BC＝4，∴AC=AB2+BC2=32+42=5，
∴42+t2＝（5﹣t）2，解得t=910；
或42+（6﹣t）2＝（5﹣t）2，显然不成立；
∴AQ＝3-910=2110．
26．（2019春•宝应县期中）[阅读理解]
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦“边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为12（a+b）2或者是2×12ab+12c2，因此得到12（a+b）2＝2×12ab+12c2，运用乘法公式展开整理得到a2+b2＝c2．
[尝试探究]
（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边分别为a、b，斜边长为c，请你根据古人的拼图完成证明．
（2）图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a、b，斜边长为c，请你帮助完成．
[实践应用]
已知a、b、c为Rt△ABC的三边（c＞b＞a），试比较代数式a2c2+a2b2与c4﹣b4的大小关系．

【分析】[尝试探究]（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论；
（2）根据图形面积的不同求法即可得到结论；
[实践应用]分解因式，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】[尝试探究]（1）图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4（12ab），即（a+b）2＝c2+4（12ab），
∴a2+b2＝c2；
（2）图中大正方形的面积可表示为c2，也可表示为（b﹣a）2+4（12ab），即（b﹣a）2+4（12ab）＝c2，
∴a2+b2＝c2；
[实践应用]∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，
∴代数式a2c2+a2b2与c4﹣b4的大小关系是相等．
27．（2019秋•江苏省大丰区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值．

【分析】（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解析】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
则由勾股定理得到：AC=AB2-BC2=102-62=8（cm）
设存在点P，使得PA＝PB，
此时PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
即：（8﹣t）2+62＝t2，
解得：t=254，
∴当t=254时，PA＝PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2，
解得：t=323，
∴当t=323时，P在△ABC的角平分线上．