苏科版八年级上册3.1 勾股定理单元测试同步测试题

这是一份苏科版八年级上册3.1 勾股定理单元测试同步测试题，共20页。试卷主要包含了4第3章勾股定理单元测试，5，2，2，5°，等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题3.4第3章勾股定理单元测试（基础卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间60分钟，试题共26题，选择8道、填空10道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•江苏省滨海县期中）下列各组数中，为勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12
【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；
B、∵32+42＝52，∴这组数是勾股数；
C、∵1.52+22＝2.52，但这三个数不都是整数，∴这组数不是勾股数；
D、∵52+102≠122，∴这组数不是勾股数．
故选：B．
2．（2019秋•江苏省新吴区期中）在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】在直角三角形中，已知两直角边为6、8，则根据勾股定理即可计算斜边的长度．
【解答】解：在直角三角形中，
根据勾股定理：两直角边的平方和为斜边的平方，
∴斜边长=62+82=10，
故选：D．
3．（2019秋•江苏省镇江期中）如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（　　）厘米．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即62+82=10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即62+82=10（cm），
∴筷子露在杯子外面的长度至少为13﹣10＝3cm，
故选：C．
4．（2019秋•江苏省亭湖区校级期中）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝3，b＝4，c＝5
C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝7，b＝8，c＝9
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴能组成直角三角形的一组数是a＝3，b＝4，c＝5，
故选：B．
5．（2019秋•江苏省金台区校级期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（　　）
A．25 B．7 C．25或7 D．25或16
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，
∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三边长=32+42=5，或直角三角形的第三边长=42-32=7，
∴直角三角形的第三平方为25或7，
故选：C．
6．（2019秋•江苏省滨海县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　）

A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2+b2＝c2 D．a2﹣b2＝c2
【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
【解答】解：根据题意得：S=12（a+b）（a+b），S=12ab+12ab+12c2，
∴12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：C．
7．（2019秋•江苏省江阴市校级期中）如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，且AB＝13，BC＝15，AC＝14，则点O到边AB的距离为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】过B作BD⊥AC于D，则∠ADB＝∠CDB＝90°，依据勾股定理即可得到AD＝5，进而得出BD的长，再根据面积法即可得到点O到边AB的距离．
【解答】解：如图所示，过B作BD⊥AC于D，则∠ADB＝∠CDB＝90°，
设AD＝x，则CD＝14﹣x，
∵Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣x2，
Rt△BCD中，BD2＝CB2﹣CD2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得x＝5，
∴AD＝5，
∴BD=AB2-AD2=132-52=12，
∵点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，
∴点O到△ABC的三边的距离相等，
设点O到边AB的距离为h，则
12AC×BD=12（AB+BC+AC）×h，
∴12×14×12=12（13+15+14）×h，
解得h＝4，
∴点O到边AB的距离为4，
故选：C．

8．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（　　）

A．36 B．9 C．6 D．18
【分析】根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以及角平分线的定义证明得到EM＝CM＝MF然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求解．
【解答】解：∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，
∴∠1＝∠2=12∠ACB，∠3＝∠4=12∠ACD，
∴∠2+∠3=12（∠ACB+∠ACD）＝90°，
∴△CEF是直角三角形，
∵EF∥BC，
∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，
∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，
∴EM＝CM，CM＝MF，
∵EM＝3，
∴EF＝3+3＝6，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2＝62＝36．
故选：A．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在横线上）
9．（2019秋•江苏省沭阳县期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，BC＝　8　．
【分析】由勾股定理可得结论．
【解答】解：由勾股定理得：BC=AB2-AC2=102-62=8，
故答案为：8．
10．（2019秋•江苏省宿豫区期中）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝　5　．
【分析】在△ABC中，∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2，根据题目给出的BC＝12，AB＝13，根据勾股定理可以求AC的长．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，
∴AC=AB2-BC2=5．
故答案为：5．
11．（2019秋•江苏省睢宁县期中）在△ABC中，∠C＝90°，c＝2，则a2+b2+c2＝　8　．
【分析】由∠C＝90°，则c为斜边，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：
∵△ABC中，∠C＝90°，c＝2，
∴a2+b2＝c2＝4，
∴a2+b2+c2＝4+4＝8，
故答案为：8
12．（2019秋•江苏省滨海县期中）斜边上的中线长为5的等腰直角三角形的面积为　25　．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得斜边的长，再根据面积公式求得其面积．
【解答】解：根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边长为10，
由等腰直角三角形的性质得：斜边上的中线＝斜边上的高＝5，
则面积为 12×10×5＝25．
故答案为：25．
13．（2020春•兴化市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A＝32°，则∠BCD＝　32　°．

【分析】根据直角三角形的两锐角互余得到∠BCD＝∠A，得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝32°，
故答案为：32．
14．（2019秋•江苏省苏州期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，则△ABD的面积为　36　．

【分析】作DE⊥DB交AB于E，则∠DEB＝90°﹣∠ABD＝45°，证出AE＝DE＝DB，设AE＝DE＝DB＝x，则BE=2x，AB＝（2+1）x，证明△BCD∽△ACB，得出BCCD=ACBC=ABBD=2+1，设BC＝y，则AC＝（2+1）y，CD＝（2-1）y，由AD＝AC﹣CD＝12，得出（2+1）y﹣（2-1）y＝12，解得y＝6，得出BC＝6，由三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：作DE⊥DB交AB于E，如图所示：
则∠DEB＝90°﹣∠ABD＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DB＝DE，
∵∠ABD＝2∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝22.5°，
∴∠ADE＝∠DEB﹣∠BAC＝22.5°＝∠BAC，
∴AE＝DE＝DB，
设AE＝DE＝DB＝x，则BE=2x，AB＝（2+1）x，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝22.5°＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴BCCD=ACBC=ABBD=2+1，
设BC＝y，则AC＝（2+1）y，CD＝（2-1）y，
∵AD＝AC﹣CD＝12，
∴（2+1）y﹣（2-1）y＝12，
解得：y＝6，
∴BC＝6，
∴△ABD的面积=12AD×BC=12×12×6＝36；
故答案为：36．

15．（2019秋•江苏省大丰区期中）△ABC为直角三角形，分别以三边向形外作三个正方形，且S1＝7，S2＝2，则S3＝　5　．

【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据正方形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
由题意得：S1＝AB2＝7，S2＝BC2＝2，
∴S3＝AC2＝AB2﹣BC2＝7﹣2＝5，
故答案为：5．
16．（2019秋•江苏省镇江期中）如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，若S1＝5，S2＝3，则S3＝　2　．

【分析】利用直角△ABC的边长就可以表示出S1、S2、S3的大小．三角形的边满足勾股定理．
【解答】解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2＝a2+b2
可得：S1＝S2+S3；
∵S1＝5，S2＝3，
则S3＝5﹣3＝2，
故答案为：2
17．（2019秋•江苏省常州期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的边AB、BC、AC向外作等腰Rt△ABF，等腰Rt△BEC和等腰Rt△ADC，记△ABF、△BEC，△ADC的面积分别是S1，S2，S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是　12S1＝S2+S3　

【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∵△ABF、△BEC、△ADC都是等腰直角三角形，
∴S1=12AB2，S2=12EC2=14BC2，S3=12AD2=14AC2，
S2+S3=14BC2+14AC2=14AB2，
∴S2+S3=12S1，
故答案为：12S1＝S2+S3．
18．（2020春•泉山区校级期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是　17　cm2．

【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积．
【解答】解：根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49，
S正方形C+S正方形D＝S正方形2，
S正方形A+S正方形B＝S正方形1，
∴S大正方形＝S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝49．
∴正方形D的面积＝49﹣8﹣10﹣14＝17（cm2）；
故答案为：17．

三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•江苏省姜堰区县期中）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC，试说明：AC⊥CD．

【分析】在△ABC中，根据勾股定理求出AC2的值，再在△ACD中根据勾股定理的逆定理，判断出AC⊥CD．
【解答】证明：在△ABC中AB⊥BC，根据勾股定理：AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5，
∵在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴根据勾股定理的逆定理，△ACD为直角三角形，
∴AC⊥CD．
20．（2019秋•江苏省沭阳县期中）某中学有一块四边形空地ABCD，如图现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝16m，BC＝25m，CD＝15m，AD＝12m．若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？

【分析】根据勾股定理得出BD的长，再利用勾股定理的逆定理得出△DBC是直角三角形，进而求出总的面积求出答案即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝16m，DA＝12m，
∴DB=162+122=20（m），
∵BC＝25m，CD＝15m，
∴BD2+BC2＝DC2，
∴△DBC是直角三角形，
∴S△ABD+S△DBC=12×12×16+12×15×20＝246（m2），
∴需投入总资金为：100×246＝24600（元）．

21．（2019秋•江苏省阜宁县期中）在四边形ABCD中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．

【分析】利用勾股定理求出AC的长度，在△ABC中根据勾股定理逆定理可以得出是直角三角形，根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可求解．
【解答】解：在Rt△ACD中，
AC=AD2-CD2=132-122=5cm，
在△ABC中，
∵AB2+BC2＝9+16＝25，
AC2＝52＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=12AB•BC+12AC•CD=12×3×4+12×5×12＝36cm2．
22．（2019秋•江苏省邳州市期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AC+AD＝32，BD＝5，CD＝16，试确定AB的长．

【分析】设AD＝x，则AC＝32﹣x，根据勾股定理可求出x的值，在直角三角形ABD中，再利用勾股定理即可求出AB的长．
【解答】解：设AD＝x，则AC＝32﹣x，
∵AD⊥BC于点D，
∴△ADC和△ADB是直角三角形，
∵CD＝16，
∴x2+162＝（32﹣x）2，
解得：x＝12，
∴AD＝12，
在直角三角形ABD中，AB=52+122=13．
23．（2019秋•江苏省灌云县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，AC＝24，AM＝AC，BN＝BC，求MN的长．

【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据MN＝AM+BN﹣AB即可得出结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，
∴BC=252-242=7．
又∵AC＝24，BC＝7，AM＝AC，BN＝BC，
∴AM＝24，BN＝7，
∴MN＝AM+BN﹣AB＝24+7﹣25＝6．
24．（2019秋•江苏省沭阳县期中）△ABC的三边长分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．
（1）判断三角形的形状；
（2）若以边b为直径的半圆面积为2π，求△ABC的面积；
（3）若以边a、b为直径的半圆面积分别为p、q，求以边c为直径的半圆面积．（用p、q表示）
【分析】（1）先求出a2+b2及c2的值，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可；
（2）先求出b＝4，得出n＝2，a＝3，即可得出答案；
（3）由圆面积公式得出p=πa28，q=πb28，由勾股定理和圆面积公式是即可得出答案．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵在△ABC中，三条边长分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1），
∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝（n2+1）2，c2＝（n2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形．
（2）∵以边b为直径的半圆的半径为r，则12π（b2）2＝2π，
解得：b＝4，
∴2n＝4，
∴n＝2，
∴a＝3，
∴△ABC的面积=12ab=12×3×4＝6；
（3）∵以边a、b为直径的半圆面积分别为p、q，
∴p=12π（a2）2=πa28，q=12π（b2）2=πb28，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴以边c为直径的半圆面积=12π（c2）2=πc28=π8（a2+b2）=πa28+πb28=p+q．
25．（2019秋•江苏省苏州期中）如图，在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到池塘A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬至C再沿CA走到离树24m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2m，设BD为xm．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为　27﹣x　m；
（2）求这棵树高有多少米？

【分析】已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA＝BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解．
【解答】解：（1）设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA﹣2，
即BD+DA＝27，DA＝27﹣x，
故答案为：27﹣x；
（2）∵∠C＝90°
∴AD2＝AC2+DC2
∴（27﹣x）2＝（x+5）2+242
∴x＝2
∴CD＝5+2＝7，
答：树高7米
26．（2019秋•江苏省鼓楼区期中）如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）

【分析】（1）此题要由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为a+b；此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；
（2）此题的方法很多，这里只举一种例子，即把四个直角三角形组成一个正方形．
【解答】解解：（1）如图所示，是梯形；

由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=12（a+b）（a+b）．
从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即 12ab+12ab+12c2．
两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；
（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．