浙江大学附属中学2022届高三上学期12月月考暨首考模拟数学试题含答案

浙江大学附属中学2021学年第一学期高三12月月考

数学试卷

考试时间：120分钟；试卷总分：150分

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（   ）

A．   B．    C．   D． 

2．已知为虚数单位，复数，则（   ）

A．   B． C．           D．

3．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（   ）

A．

B．

C．

D．

4．已知为单位向量，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．函数，的图象大致为（    ）

6．若，则（    ）

A． B．       C．    D．

7．在的展开式中常数项为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．已知随机变量的分布列如下表：

其中.若的方差对所有都成立，则（   ）

A.          B.             C.           D.

9．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 （   ）                                                                   

A．           B．               C.             D.               

10．已知等差数列满足，，公差为d，数列满足，若对任意的都有，则公差d的取值范围是  （    ）

A．      B．          C.          D.

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．若，则           ，           ．

12．在中，，，，则           ，若是的中点，则           ．

13．安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行毕业生实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有       种；其中学生甲被单独安排去杭州的概率是         .

14．已知且，数列的通项满足，则       ，记的前项和为，则       .

15．若实数满足，则的最小值为         .

16．已知， ，则的取值范围为         .

17．如图，已知正四面体的棱长为2，是棱上一动点，

若于，则线段的长度的最小值是         .

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）设△ABC中的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的最大值．

19．（本题满分15分）已知函数

（1）若，解不等式：；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

20．（本题满分15分）如图，将矩形沿折成二面角，其中为的中点，已知.，为的中点.

（1）求证平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

21．（本题满分15分）已知数列的前n项和为，，数列为等差数列，其前n项和为，，.

（1）求；

（2）证明：对，有.

22．（本题满分15分）已知函数为的导函数，求证：

（1）在上存在唯一零点；

（2）有且仅有两个不同的零点．

浙江大学附属中学2021学年第一学期高三12月月考

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）

11.       12.          13. 150，         14. 84， -2 

15.          16.      17.

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

18．（本题满分14分）

18．解：（Ⅰ）

.           ………………………………………3分

所以，解得，Z.

所以函数的单调递增区间为，Z.     ……………7分

（Ⅱ）因为，所以.

所以.                                               ……………10分

又因为，所以，即.

而，所以，即.                 ………………14分

19．（本题满分15分）

19.解：（1）由，得.              ……………2分

，                       .……………4分

.                                    ……………6分

（2）

                                           ……………8分    

法一：

即：对任意恒成立.              

①                                    ……………10分

②，此时无解；                         ……………12分

③，此时无解；                         ……………14分

综上，                                                ……………15分

法二：

即：对任意恒成立.

①时，左式右式；                                      ……………10分

②时，，对任意恒成立，

时，；                               ……………12分          

②时，，对任意恒成立，

时，；                                  ……………14分

综上，                                                 ……………15分

20.（本题满分15分）

20.（I）取的中点，连结,易得所以四边形是 

平行四边形，因此…………4分

又平面，所以//平面 …………6分

（II）取的中点中点，连结,由，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，所以平面平面…………8分

又，所以平面…………9分

所以，又，所以平面…………10分

所以是与平面所成角………12分

又，所以…………14分

所以…………15分

另解：如图建立空间直角坐标系，则

设由

即…………9分

得，…………10分

所以,,，

,，

设平面的法向量，由，得，所以取…………12分

设与平面所成角为，则…………14分

…………15分

21.（本题满分15分）

 解：（1）由，得，上述两式相减得，，即，．故为等比数列，公比为．又，得，得．

设的公差为d，，得，即，故．    

（2）证明：由（1），，故，

又，得，    

从而，

．

22.（本题满分15分）

(1)∵f(x)＝lnx－x＋2sinx，定义域(0，＋∞)，

∴f′(x)＝，f″(x)＝－－2sinx，

当x∈(0，π)时，sinx＞0，所以f″(x)＝－－2sinx＜0，

f′(x)在x∈(0，π)上单调递减，……………………………………………3分

又由f′(π)＝－－3＜0，f′(1)＝2cos1＞0，

由零点存在定理知f′(x)在(0，π)上存在唯一零点．……………………6分

(2)先证lnx≤x－1(x＞0)，记g(x)＝lnx－x＋1，g′(x)＝，

所以当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；

所以g(x)max＝g(1)＝0，所以g(x)≤0成立，即lnx≤x－1(x＞0)结论成立．…………8分

①由(1)知f′(x)在(0，π)上存在唯一零点，记为，则，

由f′(x)在x∈(0，π)上单调递减知时f′(x)＞0，f(x)单调递增，

时f′(x)＜0， f(x)单调递减，

因＜0(因为lnx≤x－1)，f(π)＝lnπ－π＜0，

＞0，所以f(x)在和(1，π)上各有一个零点．

故f(x)在(0，π)上有两个不同的零点．……………………………………………10分

②当x∈[π，2π]时，sinx≤0，因为lnx≤x－1，所以f(x)＝lnx－x＋2sinx≤－1＜0；…10分

③当x∈(2π，＋∞)时，sinx≤1，lnx≤x－1，∴f(x)＝lnx－x＋2sinx＜lnx－x＋2，

令t(x)＝lnx－x＋2，x∈(2π，＋∞)，t′(x)＝，

所以t(x)＝lnx－x＋2在(2π，＋∞)上单调递减，∴f(x)＝lnx－x＋2sinx＜lnx－x＋2＜ln2π－2π＋2＜0，

综上可知f(x)有且仅有两个不同的零点．…………………………………………15分