浙江省诸暨市海亮高级中学2022届高三上学期12月份选考模拟数学试题含答案

高三数学模拟卷

参考公式：

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，则集合

A． B.    C.   D.

2.已知复数是虚数单位），则的虚部是

A．       B.           C.           D.

3．已知直线和两个不同的平面，若，则“”是“”的  

A．充分不必要条件              B. 必要不充分条件 

C. 充要条件                     D. 既不充分也不必要条件

4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 

A．       B．       

C．      D．

5．若实数满足约束条件，则的最大值为    

A．         B．5          C．        D．

6．已知双曲线在第一象限上存在一点，与中心、右焦点构成一个正三角形，则双曲线的离心率 

A．         B．          C．        D．

7.如图，已知在中，，点在边上，

且满足，则

A．    B．      C．     D．

8．已知当时，函数取到最大值，则是

A．奇函数，在时取到最小值；       B．偶函数，在时取到最小值；        

C．奇函数，在时取到最小值；       D．偶函数，在时取到最小值；

9．已知点在正方体表面运动，且 ，则直线与所成角的余弦值范围是 

A．         B．          C．        D．

10．已知数列，，下列说法正确的是

A．对任意的，存在，使数列是递增数列；

B．对任意的，存在，使数列不单调；     

C．对任意的，存在，使数列具有周期性；      

D．对任意的，当时，存在.

第II卷(非选择题共110分)

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）

11．函数，则   ▲   ，   ▲    .

12．二项式的展开式中第三项的二项式系数为，则    ▲    ，展开式中含项的系数为    ▲    .     

13．某校高一高二各有三名同学参加志愿者选拔，若每位同学的入选概率都是，则入选人数的期望值是    ▲    ；若高二同学的入选概率是，高一同学保持不变，高一高二的入选人数相等时的概率为    ▲    .     

14．若，且，则的最大值为   ▲    ，的最小值是 ▲  .

15．已知数列的前项和为，，则   ▲     .

16.已知平面向量，其中是是单位向量且夹角为，向量满足，则的最大值与最小值之差为     ▲     .

17．已知函数 ，则对任意的，存在(其中且)，能使以下式子恒成立的是      ▲     .

①；        ②；        

③；        ④.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18. （本题满分14分）已知函数．

(Ⅰ)求函数的最小正周期，并求函数在时的值域；

(Ⅱ)设的内角是，所对边长分别是，当，时，求边长的最小值．

19．（本题满分15分）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形是一个筝形，，，，沿对角线将折起到点，形成四棱锥．

(Ⅰ)点为线段中点，求证：平面；

(Ⅱ)当时，求直线与平面所成角的正弦值．

第19题图

20．（本题满分15分）已知等比数列的前项和是，公比，，，

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)数列满足，，，若对任意的正整数，

恒成立，求实数的取值范围．

21．（本题满分15分）已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为．

(Ⅰ)求抛物线的标准方程；

(Ⅱ)求证：直线轴；

(Ⅲ)以线段为直径作圆，交直线于，求 的取值范围．                            

第21题图

22．（本题满分15分）已知函数．

(Ⅰ)讨论函数的单调性；

(Ⅱ)当时，方程有四个根，求实数的取值范围．

参考答案

1-5．CBDCA     6-10．DDBCC

11．，      12．5，40        13．3，      14．，    

15．        16．        17．①②③

18．(Ⅰ)，

，，；

(Ⅱ)，，

，，，．

19．(Ⅰ)证明：延长交于点，

因为，所以点是线段中点，

又因为点为线段中点，所以，

因为，，

所以平面．

(Ⅱ)作于，连，

因为，所以，

所以，如图建立空间直角坐标系，

，，

，，

，，

设平面的法向量是，

则有，即，，，

，

直线与平面所成角的正弦值为．

20．(Ⅰ) ，，；

(Ⅱ)     （1）

        （2）

（2）—（1），得，

由累差叠加法，得，代入（1）式，得，

且单调递减，且单调递增，

要使得对任意的，原题不等式成立，只要成立，．

21．(Ⅰ)；

(Ⅱ)，设，

直线的方程为，直线的方程为，

联立上述两直线方程，得点坐标，

又因为点为线段的中点，所以点坐标，

因为，所以直线轴：

(Ⅲ)因为点，所以，则，圆心，

直线的斜率为，直线方程为，

，得，，，

圆心到直线的距离为，半径，

，令，

在时单调递减，．

22．(Ⅰ)，

当时，的单调递减区间，，单调递增区间；

当时，在上递减；

当时，的单调递减区间，，单调递增区间；

 (Ⅱ) ，令，则，

令，，则，的图像分别如下所示，

要使方程有四个根，则方程的两根有以下情况：

①，因为的对称轴，若，

则，，舍去；

②，，得；

③，，无解；

④，因为的对称轴，若，

则，因为，所以符合题意，则；

综合以上情况，或．