浙江省诸暨海亮高级中学2021-2022学年高三上学期选考模拟最后一测数学试题

高三数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合则（    ）

2. 已知（为虚数单位），则复数的模为（   ）

3. 已知，则是“为锐角三角形”的（   ）

充分不必要条件                          必要不充分条件       

充分必要条件                            不充分也不必要条件

4. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的外接球的体积（单位：）是（   ）

5. 若实数满足约束条件，则的最大值是（   ）

6. 在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为棱上一点，且，则点到平面的距离为（   ）

7. 已知函数，，则如图所示的函数为（   ）

8. 已知函数，则函数在区间上的最小值的取值范围是（   ）

9. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限， . 现将直线绕点逆时针旋转30°，得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（   ）

10. 已知正项数列满足，，则（   ）

对任意的，都有           对任意的，都有       

存在，使得             对任意的，都有

二、填空题（本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分）

11. 下面这道题来自于《张丘建算经》，张丘建是南北宋时期的著名数学家，最早提出三元一次不定方程的人，这题也是他买鸡偶然提出的. 题：用100文购买了100只鸡，公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡则一文钱3只，则公鸡至少有                   只 .

12. 已知，函数，若，则          .

13. 已知，则            .

   则            .

14. 如图，在中，是边上一点，满足，.

则            .                     .

15. 袋中有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有个，其余均为黑球. 每次从袋中有放回地抽取一个球，抽取3次，记取到红球的次数为随机变量. 若，则            ，

                      .

16. 已知双曲线，焦点，左顶点，若过左顶点的直线和圆相切，与双曲线在第一象限交于点，且轴，则直线的斜率是                  . 双曲线的离心率是                    .

17. 已知平面向量满足： ，则的最小值为                    .

三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. （14分）设函数.

   求的最小值和对称轴方程 .

   为的导函数，若，求的值 .

19. （15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形 .平面，，当分别为的中点 .

   求证：平面 .   若且，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值 .

20. （15分）已知数列满足 .

   求数列的通项公式 .

   设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围 .

21. （15分）椭圆：的离心率为，且椭圆经过点 . 直线与椭圆交于两点，且线段的中点恰好在抛物线上 .

   求椭圆的标准方程 .

   求（为坐标原点）面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程 .

22. （15分）已知函数

   当时，试讨论函数的单调增区间 .

   设，在上不单调，且恒成立，求的取值范围（为自然对数的底数） .

   设，若存在两个极值点，且，求证： .

高三数学试卷答案

一、选择题（4分*10=40分）.

1. D  2. C  3. B  4. A  5. A  6. C  7. D  8. D  9. C  10. D

二、填空题（单空题4分，多空题3分，共36分）.

11.  4             12.   -1  ；            13.  80  ； 405    

14.     ；                      15.     ；            

16.     ；                      17.              

三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

18. （14分）解：.

  .

    当 时，时，

    令时，∴对称轴方程

，   ，

.

19. （15分）.

   .

20. （15分） .

21. （15分）.

22. （15分） .