浙江大学附属中学2022届高三上学期12月月考暨首考模拟数学试题含答案

这是一份浙江大学附属中学2022届高三上学期12月月考暨首考模拟数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 浙江大学附属中学2021学年第一学期高三12月月考数学试卷考试时间：120分钟；试卷总分：150分选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（   ）A．   B．    C．   D． 2．已知为虚数单位，复数，则（   ）A．   B． C．           D．3．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（   ）A． B． C．D． 4．已知为单位向量，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数，的图象大致为（    ） 6．若，则（    ）A． B．       C．    D． 7．在的展开式中常数项为（    ）A．    B．    C．    D． 8．已知随机变量的分布列如下表：X-101Pabc其中.若的方差对所有都成立，则（   ）A.          B.             C.           D. 9．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 （   ）                                                                    A．           B．               C.             D.                10．已知等差数列满足，，公差为d，数列满足，若对任意的都有，则公差d的取值范围是  （    ）A．      B．          C.          D.  非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11．若，则           ，           ．12．在中，，，，则           ，若是的中点，则           ． 13．安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行毕业生实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有       种；其中学生甲被单独安排去杭州的概率是         .14．已知且，数列的通项满足，则       ，记的前项和为，则       .15．若实数满足，则的最小值为         .16．已知， ，则的取值范围为         .17．如图，已知正四面体的棱长为2，是棱上一动点，若于，则线段的长度的最小值是         .  三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．（本题满分14分）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）设△ABC中的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的最大值．  19．（本题满分15分）已知函数（1）若，解不等式：；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．   20．（本题满分15分）如图，将矩形沿折成二面角，其中为的中点，已知.，为的中点.（1）求证平面；（2）求与平面所成角的正弦值.      21．（本题满分15分）已知数列的前n项和为，，数列为等差数列，其前n项和为，，.（1）求；（2）证明：对，有.   22．（本题满分15分）已知函数为的导函数，求证：（1）在上存在唯一零点；（2）有且仅有两个不同的零点．   
浙江大学附属中学2021学年第一学期高三12月月考参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）12345678910DDACABADDB  二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）      12.          13. 150，         14. 84， -2  15.          16.      17.  三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（本题满分14分）18．解：（Ⅰ）.           ………………………………………3分所以，解得，Z.所以函数的单调递增区间为，Z.     ……………7分（Ⅱ）因为，所以.所以.                                               ……………10分又因为，所以，即. 而，所以，即.                 ………………14分          19．（本题满分15分）19.解：（1）由，得.              ……………2分，                       .……………4分.                                    ……………6分（2）                                           ……………8分     法一：即：对任意恒成立.               ①                                    ……………10分 ②，此时无解；                         ……………12分 ③，此时无解；                         ……………14分 综上，                                                ……………15分 法二：即：对任意恒成立.①时，左式右式；                                      ……………10分 ②时，，对任意恒成立，时，；                               ……………12分           ②时，，对任意恒成立，时，；                                  ……………14分 综上，                                                 ……………15分 20.（本题满分15分）20.（I）取的中点，连结,易得所以四边形是  平行四边形，因此…………4分又平面，所以//平面 …………6分（II）取的中点中点，连结,由，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，所以平面平面…………8分又，所以平面…………9分所以，又，所以平面…………10分所以是与平面所成角………12分又，所以…………14分所以…………15分另解：如图建立空间直角坐标系，则设由即…………9分得，…………10分所以,,，,，设平面的法向量，由，得，所以取…………12分设与平面所成角为，则…………14分…………15分21.（本题满分15分） 解：（1）由，得，上述两式相减得，，即，．故为等比数列，公比为．又，得，得． 设的公差为d，，得，即，故．     （2）证明：由（1），，故，又，得，     从而，．   22.（本题满分15分）(1)∵f(x)＝lnx－x＋2sinx，定义域(0，＋∞)，∴f′(x)＝，f″(x)＝－－2sinx，当x∈(0，π)时，sinx＞0，所以f″(x)＝－－2sinx＜0，f′(x)在x∈(0，π)上单调递减，……………………………………………3分又由f′(π)＝－－3＜0，f′(1)＝2cos1＞0，由零点存在定理知f′(x)在(0，π)上存在唯一零点．……………………6分(2)先证lnx≤x－1(x＞0)，记g(x)＝lnx－x＋1，g′(x)＝，所以当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；所以g(x)max＝g(1)＝0，所以g(x)≤0成立，即lnx≤x－1(x＞0)结论成立．…………8分①由(1)知f′(x)在(0，π)上存在唯一零点，记为，则，由f′(x)在x∈(0，π)上单调递减知时f′(x)＞0，f(x)单调递增，时f′(x)＜0， f(x)单调递减，因＜0(因为lnx≤x－1)，f(π)＝lnπ－π＜0，＞0，所以f(x)在和(1，π)上各有一个零点．故f(x)在(0，π)上有两个不同的零点．……………………………………………10分②当x∈[π，2π]时，sinx≤0，因为lnx≤x－1，所以f(x)＝lnx－x＋2sinx≤－1＜0；…10分③当x∈(2π，＋∞)时，sinx≤1，lnx≤x－1，∴f(x)＝lnx－x＋2sinx＜lnx－x＋2，令t(x)＝lnx－x＋2，x∈(2π，＋∞)，t′(x)＝，所以t(x)＝lnx－x＋2在(2π，＋∞)上单调递减，∴f(x)＝lnx－x＋2sinx＜lnx－x＋2＜ln2π－2π＋2＜0，综上可知f(x)有且仅有两个不同的零点．…………………………………………15分