浙江省宁波市2022届高三上学期11月高考模拟考试数学试题含答案

浙江省宁波市2021年11月高三上学期高考模拟考试数学试题

第I卷（选择题部分，共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合，，那么（    ）

A.    B.    C.    D.

2.若实数x，y满足约束条件则的最小值是（    ）

A.     B.     C.     D.

3.如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐•金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，是唐代金银细工的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，则双曲线C的渐近线方程是（    ）

A.    B.    C.   D.

4.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（    ）

A. 2     B. 3     C. 4     D. 6

5.已知空间中两条直线l，m和一个平面α，若，，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件       B.必要不充分条件

C.充分必要条件       D.既不充分也不必要条件

6.若，则函数的图象不可能是（    ）

A.   B.  C.  D.

7.如图，椭圆的左，右焦点分别是，，正六边形的一边的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知，函数在处的切线与直线平行，则的最小值是（    ）

A. 2     B. 3     C. 4     D. 5

9.设，函数，若在区间内恰有4个零点，则a的取值范围是（    ）

A.      B.

C.      D.

10.已知数列满足，.记为数列的前n项和，则（    ）

A.   B.   C.   D.

第II卷（非选择题部分，共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11.已知复数（i为虚数单位），则z的实部是（    ），（    ）

12.已知直线与圆相交于A，B两点，则实数k的取值范围是（    ）；若，则实数k=（    ）

13.已知函数是定义在上的奇函数，则实数a=（    ），又若函数的图象恒在直线的下方，则实数b的取值范围是（    ）

14.如图，在锐角中，，，的面积为，则（    ）；若D是CB延长线上一点，，则（    ）.

15.若，则（    ）

16.在正方体中，E为线段AB上任意一点（不含端点），F为的中点，G为的四等分点（靠近点），直线交平面EFG于点H，则直线EH与直线所成角的余弦值是（    ）

17.已知平面向量，，满足，，.若，则的取值范围是（    ）

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（本题满分14分）设函数.

（I）若，求函数的值域；

（II）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围.

19.（本题满分15分）如图，在四棱雉P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，是正三角形，平面平面ABCD，，.

（I）求证：；

（II）若M是PB的中点，求直线MD与平面ACP所成角的正弦值.

20．（本题满分15分）已知等差数列的前n项和为，，且.

（I）求数列的通项公式；

（II）记数列的前n项和为，求数列中最大项的值.

21.（本题满分15分）已知抛物线的焦点为F，点P是以为圆心，半径为1的圆上的动点，且的最大值为5.

（I）求抛物线C的标准方程；

（II）过点M的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，直线OA，OB分别交直线于S，T两点（O为坐标原点）.记直线l，直线FS，直线FT的斜率分别为，，，若是，的等比中项，求k的值.

22.（本题满分15分）已知函数.

（I）当时，求函数的单调区间；

（II）若函数有两个不同零点，，

（i）求实数a的取值范围；

（ii）求证：.

宁波市2021学年第一学期高考模拟考试

高三数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

9.答案：A

解析：由题意在上有零点.

而的对称轴为，

故有，解得.

注意到.

（1）当时，即时，在上有两个零点.

（事实上，在上有两个零点）

此时，，且在上有两个零点.

又，，

故在上有两个零点.

所以，当时，在区间内恰有4个零点

（2）当时，即时，在上有一个零点.

要是在区间内恰有4个零点，则必在区间上.

从而，解得.

又区间的长度大于6，得.此时，.

（注：当时，在，，上各有一个零点）

故当时，在区间内恰有4个零点.

而，

解得.

所以，当时，在区间内恰有4个零点.

（3）当时，即时，易知在内仅有2个零点，不符.

综上，.

10.答案：B

解析：的前几项依次为1，1，2，3，5，8，13…，易知数列从第二项起为递增数列，

从而，即得，

由，得，

从而，

所以

又，

因此，.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11.     12.    13. ，

14. ，    15.     16.    17.

16.答案：

解析：由于平面平面，故，

从而直线EH与直线所成角等于直线FG与直线所成角.

取CD的中点I，连，BI，易知，

从而就是直线FG与直线所成角（或其补角）.

不妨设正方体的棱长为2，则

，，，

从而是以为底边的等腰三角形，

所以.

因此，直线EH与直线所成角的余弦值为.

17.答案：

解法1：记，，，则，，。

由题意，，可得（显然）

又由，得，消去n得，

化简得，即.

结合，可解得或.

因此，.

解法2：由，得

作，，，有点A的轨迹为以O为圆心，半径为1的圆.

由②得，即，从而，

所以点C在过点O且垂直于AB的直线l上.

又由①得，即，从而.

所以点C是过点A垂直于OB的直线与直线l的交点.

由题意，可知点C不在圆内.

（1）当AB与圆相切时，，此时点C与点A重合，符合.

情形（1）                      情形（2）                      情形（3）

（2）当时，点C在圆内，舍.

（3）当时，点C在圆外，符合.

（3）当时，随着增大，OE增大，且增大，所以OC增大.

情形（4）-1                      

下面考虑使得的的大小.

此时，设，有，

从而，得.

由得，.

又，得.

即，得，解得（舍负）.

可知此时，.

（5）当时，显然不合题意.

由（1），（2），（3），（4），（5）可知，.

因此，.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.解：（I），

即.

因为，

所以，

即，

即，

所求函数的值域为.

（II），

，

即

令，，

得，，

即函数在区间，上单调递增

要使函数在区间上单调递增，

只需，

即，

所求实数m的取值范围是.

19.略

20.解：（I）设等差数列的公差为d，因为，且，

所以，

化简得，

所以，

，

即

（II）方法1

因为，

所以，

，

所以，

即

设，

则，

当时，，

当时，，

即

所以为最大项，

即数列的最大项的值是4.

（II）方法2

因为，

所以，

，

.

（以下同方法1，略）

21.解：（I）因为，，圆的半径，

所以，

易知，

即，

得，

所以抛物线C的标准方程为.

（II）由题意，直线l的方程为，

联立

化简得（显然）.

所以

由，即，得，

结合，知.

记，，直线OA方程为（显然）.

由

解得，

而.

同理可得.

因为3k是，的等比中项，所以，

代入得，

即

化简得，

结合，解得.

所以k的值为或.

22.解：对函数求导，得.

（I）当时，，

因为函数的定义域，

由，得，

由，得，

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（II）由，得，

（i）函数有两个不同零点，

等价于方程有两个不同的实根.

设，即方程有两个不同的实根.

设，

，

再设，

所以函数在上单调递增，

注意到，

所以当时，，当时，.

所以在（0，1）上单调递减，在上单调递增.

当时，，

当时，，

当时，，

只需，

即所求.

（ii）注意到，，要证，只需证.

由（i）知，，故有，即.

下面证明：.

设，

有，

所以函数在上单调递增，

所以，

所以，故有.

又，，且在上单调递减，所以，即得.

因此，结论得证.