专题11.11 多边形（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题11.11  多边形（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解多边形的概念；
2. 能准确算出多边形的边数和三角形的个数
3. 会计算多边形的周长和面积

【知识点梳理】

1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．

2．相关概念：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：

特别说明：

 (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；

(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；

(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．

【典型例题】

类型一、多边形的概念及分类

1．如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的_______________．

【答案】灵活性．

【分析】根据四边形的灵活性，可得答案．

【详解】我们常见的晾衣服的伸缩晾衣架，是利用了四边形的灵活性，
故答案为灵活性．

【点睛】此题考查多边形，解题关键在于掌握四边形的灵活性.

举一反三：

【变式1】 一个多边形是正多边形的条件是________________________________________．

【答案】每条边相等，每个角都相等

【分析】根据正多边形的定义，可知一个正多边形的条件时：每条边都相等，每个角都相等.

【详解】故答案为每条边都相等，每个角都相等.

【变式2】以线段a=7，b=8，c=9，d=11为边作四边形，可作_________个.

【答案】无数

【解析】四边形具有不稳定性，可知四条边组成的四边形有无数种可能.故答案为无数.

类型二、多边形截角后的边数

1．一个四边形截去一个角后变成_______________．

【答案】三角形或四边形或五边形

【解析】试题解析：一个四边形截去一个角是指可以截去两条边，而新增一条边，得到三角形；也可以截去一条边，而新增一条边，得到四边形；也可以直接新增一条边，变为五边形．

如图：

举一反三：

【变式1】 将一个正方形截去一个角，则其边数___________．

【答案】3或4或5 

【解析】一个多边形截去一个角共有三种情况:

①当截去角的直线不经过多边形的顶点时,截去后多边形多一个角,多一条边;

②当截去角的直线经过多边形的一个顶点时,截去后多边形的边和角的数量都不变;

③当截去角的直线经过多边形的两顶点时,截去后多边形少一个角,少一条边.

故将一个正方形截去一个角,则其边数为3或4或5.   

点睛：本题考查了实际操作问题与分类讨论的思想.分类讨论是把一个复杂的问题分成若干个较简单的问题解决,分类时应注意“不重不漏”.

【变式2】对正方形剪一刀能得到_____边形．

【答案】3,4,5

【解析】试题解析：沿对角线剪一刀，得两个三角形，即三角形，
沿对边上的两点剪一刀，得两个梯形，或两个矩形，即四边形；
沿相邻两边上的点剪一刀，得一个三角形，一个五边形即五边形．

类型三、多边形周长

1．如图，将周长为的沿边向右平移个单位，得到则四边形的周长为_____．

【答案】18

【分析】先根据平移的性质可得，再根据三角形的周长公式可得，然后根据等量代换即可得．

解：由平移的性质得：，

的周长为10，

，

则四边形ABFD的周长为，

，

，

．

故答案为：18．

【点睛】本题考查了平移的性质，多边形的周长等知识点，掌握理解平移的性质是解题关键．

举一反三：

【变式1】 一个长方形的长为a+b，它的周长为 3a+2b，则它的宽为________．

【答案】

【分析】根据周长公式求解即可．

解：它的宽

故答案为：．

【点睛】本题考查了长方形的宽的问题，掌握周长公式是解题的关键．

【变式2】已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于__________．

【答案】5

【分析】由正六边形的周长和性质即可得出结果．

解：∵一个正六边形的周长是30cm，
∴正六边形的边长=30÷6=5（cm）；
故答案为：5．

【点睛】本题考查了正六边形的性质、正六边形的周长；熟练掌握正六边形的边长相等是解题的关键．

类型四、多边形面积

1．各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积________．

【答案】6

【分析】根据题目要求，数出五边形内部格点的数量，五边形边上格点的数量，代入计算即可．

解：由图可知：五边形内部格点有４个，故

五边形边上格点有６个，故

∴＝

故答案为：6．

【点睛】本题考查了网格中不规则多边形的计算，按题目要求尽心计算即可．

举一反三：

【变式1】 下列图形中，阴影部分的面积相等的是________．

A．    B．    C．    D．

【答案】CD

【分析】根据题意可知每个小方格的边长都相等，结合图形可以判断出每个图形的底和高，代入面积公式即可求解，再进行比较即可．

解：三角形的面积公式：底×高÷2；平行四边形的面积公式：底×高．

设小方格的边长为1，阴影部分的面积为S，

则：A.S=1×1=1，

B.S=2×2÷2=2，

C. S=1×1÷2=0.5，

D. S=1×1÷2=0.5

∴阴影部分的面积相等的是CD，

故答案为CD.

【点睛】本题主要考查了平行四边形和三角形的面积计算，比较基础．

【变式2】各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克(G.Pick，1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S＝a＋b－1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是___.

【答案】6

【分析】观察图像，得出a,b的值即可.

解：由图可知，a=4,b=6,

∴ S＝a＋b－1=6

【点睛】本题考查的是·多边形，仔细观察图像是解题的关键.

类型五、多边形对角线条数

1．（1） 从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成_______个三角形.若是一个六边形，可以分割成_______个三角形.n边形可以分割成______个三角形.

（2）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成多少个三角形？

（3）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点）,再将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成多少个三角形？

【答案】（1）3，4，(n-2)；（2）n个；（3）(n-1)个.

【解析】【分析】（1）由四边形，五边形，六边形可得出规律，从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n-2）个三角形，依此作答；
（2）多边形内一点，可与多边形顶点连接n条线段，构造出n个三角形；
（3）若P点取在一边上，则可以与其他顶点连接出n-2条线段，可以分n边形为（n-1）个三角形．

解：(1)从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，

可以把这个五边形分成5-2=3个三角形；

若是一个六边形,可以分割成6-2=4个三角形；

……，依次类推，

n边形可以分割成(n-2)个三角形.

故答案为：3，4，(n-2)；

(2) n边形共有n条边，n个顶点，将n边形任意一条边的两顶点与点P相连，得到的三角形是唯一的，故可知此多边形被分割为n个三角形；

 (3) 若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），再将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成（n-1）个三角形.

【点睛】

本题考查对角线分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键.

举一反三：

【变式1】 正n边形的每个内角为120°，这个正n边形的对角线条数为______条．

【答案】9

【分析】根据题意利用多边形内角和公式先判断该多边形为正六边形，再由等量关系“多边形对角线条数= ”求解即可．

解：由多边形内角和公式列方程，
180°（n-2）=120°n
解得，n=6．
∴该正多边形为正六边形．
所以该六边形对角线条数==9．
故答案为9．

【点睛】此题考查多边形的对角线，多边形的内角与外角，解题关键在于掌握计算公式．

【变式2】从一个多边形的一个顶点出发一共有7条对角线，则这个多边形的边数为_____．

【答案】10

解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，

∴n﹣3=7，

解得n=10．

故答案为10．

3．过五边形的一个顶点可作_____条对角线,可将五边形分成_____个三角形.

【答案】  2  3

【解析】分析：过n边形的一个顶点可作(n－3)条对角线，可将n边形分成(n－2)个三角形．

详解：过五边形的一个顶点可作2条对角线，可将五边形分成3个三角形．

点睛：本题主要考查的是多边形对角线和分割三角形的个数问题，属于基础题型．理解一般性是解题的关键．

类型六、多边形对角线分得三角形个数

1．．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是_____边形．

【答案】九．

【详解】设这个多边形是n边形，

由题意得，n﹣2=7，

解得：n=9，

即这个多边形是九边形，

故答案是：九．

举一反三：

【变式1】 从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是_____边形．

【答案】12

【分析】从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n边形分为（n-2）个三角形．

解：由题意可知，n−2=10，

解得n=12.

所以这个多边形的边数为12.

故答案为：12.

【点睛】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握运算法则.

【变式2】如图，从多边形一个顶点出发作多边形的对角线，试根据下面几种多边形的顶点数、线段数及三角形个数统计结果，推断f,e,v三个量之间的数量关系是:______________

多边形：   

顶点个数f1:        4              5                  6           …

线段条数e:        5              7                  9            …

三角形个数v1:    2             3                  4           …

【答案】f+v-e=1

【分析】三角形个数等于顶点数减2，线段条数等于对角线条数加边数，即可求解；

解：三角形个数v＝f−2，

线段条数e＝f−3＋f＝2f−3，

∴f+v-e=1，

故答案为f+v-e=1；

【点睛】本题考查多边形的边，顶点，三角形个数，熟练掌握多边形对角线的求法，多边形分割三角形的方法是解题的关键．