专题14.3 幂的乘方（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.3 幂的乘方（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握幂的乘方运算法则；

2. 能用代数式和文字语言正确地表述幂的乘方运算法则，并能运用它们熟练地进行运算；
3. 能用幂的乘方运算法则进行逆运算，并能运用它们熟练地进行运算；
4. 能用同底数幂相乘和幂的乘方法则熟练地进行混合运算。

【要点梳理】

知识要点一、幂的乘方法则

(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.

公式的推广： (，均为正整数)

知识要点二、同底数幂的逆运算法则

逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.

【典型例题】

类型一、幂的乘方运算 

1．计算题（结果用幂的形式表示）：

（1）      

（2）      

（3）

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）（2）（3）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则计算即可．

解：（1）      

=

=；

（2）      

=

=；

（3）

=

=

=

=

【点拨】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则．

举一反三：

【变式1】计算：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）由幂的乘方：底数不变，指数相乘，从而可得答案；

（2）先计算 再利用同底数幂的乘法计算即可得到答案．

解：（1）；

（2）．

【点拨】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．

【变式2】已知为正整数，且．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1） ；（2）368

【分析】

（1）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简，再将代入进行计算即可；

（2）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简，再将代入进行计算即可；

解：（1）∵

∴

；

（2）∵

∴

【点拨】本题考查幂的乘方与同底数幂的乘法法则，解题的关键是熟练掌握幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

【变式3】已知：an=2, am=3,ak=4,试求a2n+m-2k的值.

【答案】

【分析】

根据幂的乘方，同底数幂的除法、乘法运算的逆用，即可得到答案.

解：

=

=

=

=；

【点拨】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法、乘法，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，同底数幂的除法、乘法的运算法则.

类型二、幂的乘方的逆运算 

2．根据已知求值：

（1）已知，，求的值；

（2）已知，求的值.

【答案】（1）10；（2）

【分析】

（1）根据同底数幂的乘法公式的逆运算即可求解；（2）把等式左边全部化为以3为底的数即可求解.

解：（1）

（2）

【点拨】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式的逆用.

举一反三：

【变式1】已知：，，求值：

（1）          （2）

【答案】（1）25；（2）50

【分析】

（1）根据幂的乘方法则求解即可；

（2）根据同底数幂的乘法法则求解即可．

解：（1）原式＝＝＝25；

（2）原式＝＝＝50．

【点拨】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方法则的逆运用，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则．

【变式2】已知：3x=2，3y=5，求3x+y+32x+3y的值．

【答案】510

【解析】分析：逆用幂的乘方、同底数幂的乘法法则求解即可.

解：3x+y+32x+3y=3x·3y+32x·33y

=10+（3x）2·（3y）3

=10+4×125

=510． 

点睛：本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法的乘方,解答本题的关键是掌握幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则.

【变式3】若， 求的值．

【答案】162

【分析】根据同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可．

解：∵

∴

=

=

=

=162

【点拨】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用是解题关键．

类型二、幂的混合运算 

2．计算：

（1）；                   （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）先进行幂的运算再合并同类项；

（2）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘除运算．

解：（1）原式；

（2）原式．

【点拨】本题考查整式的运算和幂的运算，解题的关键是掌握这两个运算方法．

举一反三：

【变式1】计算题．

（1）．         （2）．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）先计算积得乘方，再按单项式的乘法法则运算即可；

（2）先计算积得乘方，再按单项式的乘除法则运算即可．

解：（1）原式

．

（2）原式

．

【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

【变式2】计算：

（1）                 （2）(－x2y3)4

（3）(－8)2017×(－0.125)2017         （4）(－xy2)3

【答案】(1)y10 ；(2) x8y12； (3) 1； (4) -x3y6.

【分析】

根据同底数幂的乘法、积的乘方公式及幂的乘方公式进行计算即可.

解：（1）==y10

（2）(－x2y3)4= x2×4y3×4= x8y12

（3）(－8)2017×(－0.125)2017 =[(－8)×(－0.125)] 2017=12017=1,

（4）(－xy2)3= -x3y2×3= -x3y6.

【点拨】此题主要考查幂的计算，解题的关键是熟知同底数幂的乘法公式、积的乘方公式及幂的乘方公式.

【变式3】（1）若的值；（2）若求的值；

【答案】（1）144；（2）27；

【解析】

分析：（1）根据积的乘方和幂的乘方法则的逆运算，即可解答；

（2）根据同底数幂乘法、除法公式的逆运用，即可解答．

详解：（1）（x2y）2n

=x4ny2n

=（xn）4（yn）2

=24×32

=16×9

=144；

（2）32a﹣4b+1

=（3a）2÷（32b）2×3

=36÷4×3

=27．

点睛：本题考查的是幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法，掌握它们的运算法则及其逆运算是解题的关键．