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专题11.14 多边形的内角和（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题11.14 多边形的内角和（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共29页。试卷主要包含了多边形的内角和，正多边形内角问题，多算一个角的问题，多边形截取一个角后的问题，正多边形外角问题，多边形内角和外角综合问题，多边形相镶问题等内容，欢迎下载使用。
专题11.14 多边形的内角和（专项练习）
一、 单选题
知识点一、多边形的内角和
1．如图，将一副直角三角板按如图所示位置摆放，，，，点D在边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2的和的度数为（ ）
A．220° B．210° C．140° D．120°
3．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
知识点二、正多边形内角问题
5．游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）．
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要长
6．正十边形的每一个内角的度数为（ ）
A．120° B．135° C．140° D．144°
知识点三、多（少）算一个角的问题
7．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2016°，则n等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
知识点四、多边形截取一个角后的问题
8．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
9． 若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为( )
A．90° B．105° C．130° D．120°
10．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
11．如图，已知矩形一条直线将该矩形分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为和则不可能是（ ）.
A． B． C． D．
12．如图，在三角形纸片ABC中，∠B=∠C=35°，过边BC上的一点，沿与BC垂直的方向将它剪开，分成三角形和四边形两部分，则在四边形中，最大的内角的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
知识点五、正多边形外角问题
13．已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).
A．12 B．10 C．8 D．6
14．正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
15．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
知识点六、多边形内角和外角综合问题
16．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
17．若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（ ）
A． B． C． D．
18．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
知识点七、多边形相镶问题
19．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
20．小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可能是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
21．在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是
A．正三角形，正方形 B．正方形，正六边形
C．正五边形，正六边形 D．正六边形，正八边形
二、 填空题
知识点一、多边形的内角和
22．已知一个正多边形的一个外角为，则它的内角和为___________．
23．一个n边形的内角和为1080°，则n=________.
24．如图，五边形是正五边形，若，则__________．
知识点二、正多边形内角问题
25．如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则_____度．
26．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，____度．
27．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．
知识点三、多（少）算一个角的问题
28．已知一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2400°，那么这个多边形的边数是____，这个外角的度数是____．
29．小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________．
30．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为，则内角和是______．
知识点四、多边形截取一个角后的问题
31．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．
32．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______．
33． 一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为_____．
知识点五、正多边形外角问题
34．正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则_________．
35．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
36．如图，、、、是五边形的4个外角，若，则_______°．
知识点六、多边形内角和外角综合问题
37．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
38．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
39． 如果多边形的每个内角都等于，则它的边数为______.
知识点七、多边形相镶问题
40．用4个全等的正八边形拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为__________．
41．使用下列同一种正多边形不能铺满地面的是________（填序号）
①正三角形； ②正方形； ③正六边形； ④正八边形
42．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m块正三角形，n块正六边形，则m+n＝______．
三、 解答题
知识点一、多边形的内角和
43．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且AB＝BC，AC＝AD，求∠CAD的度数．
知识点二、正多边形内角问题
44．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
知识点三、多（少）算一个角的问题
45． 某同学在求多边形的内角和时，多算了一个内角的度数，求得内角和为1 560°，问这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？
知识点四、多边形截取一个角后的问题
46． 小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1380度，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角度数是多少？
知识点五、正多边形外角问题
47．已知一个多边形的边数，它的每一个内角都等于，求：
（1）边数；
（2）这个边形的内角和；
知识点六、多边形内角和外角综合问题
47． 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度，求这个多边形的边数.
知识点七、多边形相镶问题
49．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面.可能设计出几种不同的组合方案?
猜想1:是否可以同时用正方形.正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?
验证l:在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正方形和个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意,可得方程:
,整理得:
我们可以找到方程的正整数解为
结论1:镶嵌平面时.在一个顶点周围围绕着个正方形和个正八边形的内角可以拼成一个周角,所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想2:是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?若能,请按照上述方法进行验证,并写出所有可能的方案;若不能,请说明理由.
参考答案
1．C
【分析】
先根据平行的性质得到，再根据四边形的内角角和等于360°计算即可
【详解】
解：
∵EF∥BC
∴
∴
∴
∴
=75°
故选：C
【点拨】
本题考查平行的性质、四边形的内角和、平角，熟练进行角的和差关系是解题的关键
2．A
【分析】
根据三角形内角和与四边形内角即可算出来．
【详解】
∵∠A+∠B+∠C=180°
∵∠A=40°
∴∠B+∠C=180°−∠A=140°
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°
∴∠1+∠2 =360°−（∠B+∠C）=220°
故答案选A．
【点拨】
本题主要考察了三角形内角和与多边形内角和，属于基础题型．
3．B
【分析】
首先根据对顶角相等得到∠β=∠DGB，则∠α+∠β=∠α+∠DGB，在四边形DHBG中根据四边形内角和为360°，分别求出∠D、∠B的度数，最后进行计算即可得到答案．
【详解】
解：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D=30°
∴∠B=∠C-∠A=45°
在四边形DHBG中，∠D+∠α+∠B+∠BGD=360°
又∵∠β=∠DGB
∴∠D+∠α+∠B+ ∠β=360°
∴∠α+∠β=360°-∠D-∠B=285°
故选：B
【点拨】
本题主要考查了三角形的内角和，四边形的内角和，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点．
4．B
【解析】
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180=1080，
解得n=8，
∴这个多边形的边数是8，
故选B．
【点拨】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
5．A
【分析】
根据题意可知封闭的图形是正五边形，求出正五边形内角的度数即可解决问题．
【详解】
根据题意可知，从起点走五段相等直路之后回到起点的封闭图形是正五边形，
∵正五边形的每个内角的度数为：
∴它的邻补角的度数为：180°-108°=72°，
因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，
故选：A．
【点拨】
此题主要考查了求正多边形内角的度数，掌握并能运用多边形内角和公式是解题的关键．
6．D
【解析】
∵一个正十边形的每个外角都相等，∴正十边形的一个外角为360÷10=36°．
∴每个内角的度数为180°–36°=144°；故选D．
7．C
【详解】
解：根据多边形的内角和公式（n-2）×180°，可以求得n=13.2，由于多加的是内角，
所以多加的角为小于180°的角，所以去掉小数部分就是n边形的边数．故选C
8．D
【解析】
试题分析：根据内角和为720°可得：多边形的边数为六边形，则原多边形的边数为5或6或7.
考点：多边形的内角和
9．C
【分析】
本题主要考查了多边形的外角和内角. 先用2570°÷180°，看余数是多少，再把余数补成180°
【详解】
解：∵2570°÷180°=14…50°，
又130°+50°=180°
∴这个内角度数为130°
故选C
10．D
【详解】
试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．故选D．
考点：多边形内角与外角．
11．D
【解析】
如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种，
①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个五边形和三角形，
∴M+N=540°+180°=720°；
②当直线经过一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，
∴M+N=360°+180°=540°；
③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，
此时矩形分割为两个三角形，
∴M+N=180°+180°=360°．
故选D．
12．D
【解析】
分析：根据三角形的内角和，可得∠A，根据四边形的内角和，可得答案．
详解：由三角形的内角和，得
∠A=180°-35°-35°=110°，
由四边形的内角和，得
360°-90°-110°-35°=125°，
故选D．
点拨：本题考查了多边形的内角，利用多边形的内角和是解题关键．
13．B
【分析】
利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【详解】
解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选B．
【点拨】
本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
14．B
【分析】
根据多边的外角和定理进行选择．
【详解】
解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选B．
【点拨】
本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
15．B
【分析】
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．
【详解】
解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转，
∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，
∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．
故选：B．
【点拨】
本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的关键．
16．C
【分析】
根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和.
【详解】
由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选C.
【点拨】
考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.
17．C
【分析】
根据多边形的内角和公式求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的一个外角．
【详解】
正多边形的内角和是，
多边形的边数为
多边形的外角和都是，
多边形的每个外角
故选．
【点拨】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
18．C
【分析】
首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】
解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=540，
解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．
故选C．
【点拨】
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．
19．C
【分析】
由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．
【详解】
∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点，∴正三角形可以铺满地面；
∵正方形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正方形可以铺满地面一个点，∴正方形可以铺满地面；
∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3，∴正五边形不能铺满地面；
∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点，∴正六边形可以铺满地面．
故选C．
【点拨】
几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
20．C
【分析】
平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能.
【详解】
解：因为用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
所以小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正五边形.
故选：C
【点拨】
用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案.
21．A
【解析】
【分析】
分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案.
【详解】
∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°
又∵60°×3+90°×2=360°
∴能够组合是正三角形，正方形
【点拨】
本题考查平面密铺的知识，注意掌握几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
22．540°
【分析】
根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出多边形的边数，n边形的内角和是(n-2)·180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和；
【详解】
∵多边形的边数为：360°÷72°=5，
∴正多边形的内角和的度数是：(5-2)·180°=540°，
故答案为：540°．
【点拨】
本题考查了正多边形的内角和外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
23．8
【分析】
直接根据内角和公式计算即可求解.
【详解】
（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8．
故答案为8．
【点拨】
主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：.
24．72
【详解】
分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
详解：延长AB交于点F，
∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为72°.
点拨：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.
25．66
【分析】
首先根据正五边形的性质得到度，然后根据角平分线的定义得到度，再利用三角形内角和定理得到的度数．
【详解】
解：∵五边形为正五边形，
∴度，
∵是的角平分线，
∴度，
∵，
∴．
故答案为66．
【点拨】
本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．
26．36°.
【分析】
利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】
，是等腰三角形，
度．
【点拨】
本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． 解题关键在于知道n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
27．36°
【分析】
由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B=108°，AB=CB，
∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；
故答案为36°．
28．15 60°
【分析】
设这个多边形边数是n，表示出一个外角的范围，求出不等式的解集确定出正整数n的值，即为多边形的边数，继而求出这个外角即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数是n，n为正整数，
根据题意得：0<2400°-（n-2）×180°<180°，
解得：14.3
故答案为：15；60°
【点拨】
本题考查了多边形内角与外角，熟练掌握内角和定理是解答此题的关键.
29．1980
【解析】
【详解】
解：设多边形的边数为n，多加的角度为α，则
（n-2）×180°=2005°-α，
当n=13时，α=25°，
此时（13-2）×180°=1980°，α=25°
故答案为1980．
30．
【分析】
设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，根据题意得
变形 为，由n是正整数，求出x的值即可得到答案．
【详解】
设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，由题意得
∴，
∵n是正整数，，
∴x=，
∴这个多边形的内角和为，
故答案为：．
【点拨】
此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
31．180°或360°或540°
【解析】
分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.
详解: n边形的内角和是（n-2）•180°，
边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，
所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，
所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，
因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．
故答案为540°或360°或180°.
点拨：本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.
32．：270°
【分析】
先根据三角形内角和定理算出∠3+∠4的度数，再根据四边形内角和为360°，计算出∠1+∠2的度数．
【详解】
∵在直角三角形中，
∴∠5=90°，
∴∠3+∠4=180°−90°=90°，
∵∠3+∠4+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°−90°=270°，
故答案是：270°．
【点拨】
本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和为360°，是解题的关键．
33．15或16或17
【解析】
试题分析：根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．设新多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°=2520°，解得n=16，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为17，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为15，故原多边形的边数可以为15，16或17．
故答案为15，16或17．
考点：多边形内角和与外角和．
34．12
【分析】
先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解．
【详解】
解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，
故正六边形的内角为180°-60°=120°，
又正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，
∴正n边形的外角为30°，
∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．
故答案为：12．
【点拨】
本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类题目的关键．
35．9
【详解】
解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9
36．
【详解】
解：由题意得，∠A的外角=180°－∠A=60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°－∠A的外角=300°．
故答案为：300．
【点拨】
本题考查多边形外角性质，补角定义．
37．8
【详解】
解：设边数为n，由题意得，
180（n-2）=3603
解得n=8.
所以这个多边形的边数是8.
38．360°．
【分析】
根据多边形的外角和等于360°解答即可．
【详解】
由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为360°．
【点拨】
本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
39．12
【分析】
先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以外角的度数即可得到边数．
【详解】
∵多边形的每一个内角都等于150°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣150°=30°，∴边数n=360°÷30°=12．
故答案为12．
【点拨】
本题考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．
40．6
【分析】
根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时中间的正多边形的内角，继而可求出n的值．
【详解】
解：两个正六边形拼接，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则中间需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，所以中间的多边形为正六边形，
故n=6.
故答案为6．
【点拨】
此题考查了平面密铺的知识，解答本题的关键是求出在密铺条件下中间需要的正多边形的一个内角的度数，进而得到n的值，难度不大．
41．④
【分析】
分别求出正三角形，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】
解：①正三角形的每个内角是60°，放在同一顶点处6个即能密铺；
②正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
③正六边形每个内角是120°，能整除360°，故能密铺；
④正八边形每个内角是135°，不能整除360°，不能密铺．
故答案为：④
【点拨】
本题考查一种多边形的镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°.镶嵌定义是解答此题的重要依据.
42．4或5
【分析】
先求出正三角形和正六边形的内角大小，然后列出关于m、n的二元一次方程，然后确定m、n的值，最后求m+n即可．
【详解】
解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°
∴60°m+120°n=360°，即m+2n=6
∴当n=1时，m=4；当n=2时，m=2；
∴m+n=5或m+n=4．
故答案为：4或5．
【点拨】
本主要考查了正多边形的组合能否进行平面镶嵌，掌握位于同一顶点处的几个角之和能否为360°成为解答本题的关键．
43．∠CAD＝36°．
【分析】
根据多边形的内角和公式先求出每个内角的度数，再根据已知和三角形内角和等于180º分别求出∠1、∠2的度数，从而得到∠ACD与∠ADC的度数，最后由三角形内角和定理求出∠CAD度数．
【详解】
解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠BAE＝∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠2＝72°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝72°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝36°．
故答案为：36°．
【点拨】
本题考查多边形的内角和计算公式，等边对等角的性质及三角形内角和定理，有一定的难度．
44．（1）小明一共走了120米（2）这个多边形的内角和是3960度
【解析】
【分析】
（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是15度的正多边形，求得边数，即可求解；
（2）多边形的边数已求，利用多边形的内角和公式即可解答．
【详解】
（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是15度的正多边形，
∴360÷15=24，24×5=120m
答：小明一共走了120米；
（2）（24﹣2）×180°=3960°，
答：这个多边形的内角和是3960度．
【点拨】
本题考查多边形外角和以及多边形的内角和公式，需结合正多边形的性质求解.
45．这个内角是120°，这个多边形的边数是10.
【解析】
试题分析：设这个多边形的边数为n，多算的这个内角为α，根据多边形的内角和公式可得(n-2)·180°+α=1 560°，然后根据多边形每个内角的取值范围0°＜α＜180°列不等式，即可求出多边形的边数，进而求出这个内角的度数．
解：设这个多边形的边数为n，多算的这个内角为α，则有：
(n-2)·180°+α=1 560°.
∴α=1 560°-(n-2)·180°.
显然：0°＜α＜180°，
∴0°＜1 560°-(n-2)·180°＜180°.解得9
∴α=1 560°-(10-2)·180°=120°.
答：这个内角是120°，这个多边形的边数是10.
46．这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角度数是120°．
【分析】
根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．
【详解】
解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则
（n﹣2）•180°＝1380°﹣α，
∵1380°＝7×180°+120°，内角和应是180°的倍数，
∴同学多加的一个外角为120°，
∴这是7+2＝9边形的内角和，
答：这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角度数是120°．
【点拨】
多边形内角和、边角的关系一定要熟悉.会应用即可.
47．(1)12;(2)1800o
【分析】
(1) 先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以一个外角的度数即可得到边数;
(2)根据内角和公式求解.
【详解】
(1)∵它的每一个内角都等于150o,
∴每个外角都等于30o,
∴n=;
(2)内角和为：
【点拨】
考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
48．这个多边形的边数是9
【分析】
设这个多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和定理列出方程，然后求解即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数是，则
（n-2）·180°-360°×3=180°，
解得.
答：这个多边形的边数是9.
【点拨】
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．
49．可以，验证与方案见解析.
【分析】
在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据平面镶嵌的体积可得方程：60x+120y=360．整理得：x+2y=6，求出正整数解即可．
【详解】
解：可以；
验证：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角，正三角形的每个内角的度数为，正六边形的每个内角的度数为
根据题意，可得方程：
整理得
方程的正整数解为或
所以可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌，在一个顶点周围围绕个正三角形和个正六边形或者围绕着个正三角形和个正六边形．
【点拨】本题考查了平面镶嵌，正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．也考查了二元一次方程的应用．
专题11.14 多边形的内角和（专项练习）
一、 单选题
知识点一、多边形的内角和
1．如图，将一副直角三角板按如图所示位置摆放，，，，点D在边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2的和的度数为（ ）
A．220° B．210° C．140° D．120°
3．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
知识点二、正多边形内角问题
5．游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）．
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要长
6．正十边形的每一个内角的度数为（ ）
A．120° B．135° C．140° D．144°
知识点三、多（少）算一个角的问题
7．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2016°，则n等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
知识点四、多边形截取一个角后的问题
8．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
9． 若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为( )
A．90° B．105° C．130° D．120°
10．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
11．如图，已知矩形一条直线将该矩形分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为和则不可能是（ ）.
A． B． C． D．
12．如图，在三角形纸片ABC中，∠B=∠C=35°，过边BC上的一点，沿与BC垂直的方向将它剪开，分成三角形和四边形两部分，则在四边形中，最大的内角的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
知识点五、正多边形外角问题
13．已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).
A．12 B．10 C．8 D．6
14．正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
15．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
知识点六、多边形内角和外角综合问题
16．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
17．若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（ ）
A． B． C． D．
18．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
知识点七、多边形相镶问题
19．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
20．小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可能是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
21．在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是
A．正三角形，正方形 B．正方形，正六边形
C．正五边形，正六边形 D．正六边形，正八边形
二、 填空题
知识点一、多边形的内角和
22．已知一个正多边形的一个外角为，则它的内角和为___________．
23．一个n边形的内角和为1080°，则n=________.
24．如图，五边形是正五边形，若，则__________．
知识点二、正多边形内角问题
25．如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则_____度．
26．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，____度．
27．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．
知识点三、多（少）算一个角的问题
28．已知一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2400°，那么这个多边形的边数是____，这个外角的度数是____．
29．小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________．
30．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为，则内角和是______．
知识点四、多边形截取一个角后的问题
31．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．
32．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______．
33． 一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为_____．
知识点五、正多边形外角问题
34．正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则_________．
35．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
36．如图，、、、是五边形的4个外角，若，则_______°．
知识点六、多边形内角和外角综合问题
37．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
38．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
39． 如果多边形的每个内角都等于，则它的边数为______.
知识点七、多边形相镶问题
40．用4个全等的正八边形拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为__________．
41．使用下列同一种正多边形不能铺满地面的是________（填序号）
①正三角形； ②正方形； ③正六边形； ④正八边形
42．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m块正三角形，n块正六边形，则m+n＝______．
三、 解答题
知识点一、多边形的内角和
43．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且AB＝BC，AC＝AD，求∠CAD的度数．
知识点二、正多边形内角问题
44．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
知识点三、多（少）算一个角的问题
45． 某同学在求多边形的内角和时，多算了一个内角的度数，求得内角和为1 560°，问这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？
知识点四、多边形截取一个角后的问题
46． 小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1380度，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角度数是多少？
知识点五、正多边形外角问题
47．已知一个多边形的边数，它的每一个内角都等于，求：
（1）边数；
（2）这个边形的内角和；
知识点六、多边形内角和外角综合问题
47． 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度，求这个多边形的边数.
知识点七、多边形相镶问题
49．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面.可能设计出几种不同的组合方案?
猜想1:是否可以同时用正方形.正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?
验证l:在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正方形和个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意,可得方程:
,整理得:
我们可以找到方程的正整数解为
结论1:镶嵌平面时.在一个顶点周围围绕着个正方形和个正八边形的内角可以拼成一个周角,所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想2:是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?若能,请按照上述方法进行验证,并写出所有可能的方案;若不能,请说明理由.
参考答案
1．C
【分析】
先根据平行的性质得到，再根据四边形的内角角和等于360°计算即可
【详解】
解：
∵EF∥BC
∴
∴
∴
∴
=75°
故选：C
【点拨】
本题考查平行的性质、四边形的内角和、平角，熟练进行角的和差关系是解题的关键
2．A
【分析】
根据三角形内角和与四边形内角即可算出来．
【详解】
∵∠A+∠B+∠C=180°
∵∠A=40°
∴∠B+∠C=180°−∠A=140°
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°
∴∠1+∠2 =360°−（∠B+∠C）=220°
故答案选A．
【点拨】
本题主要考察了三角形内角和与多边形内角和，属于基础题型．
3．B
【分析】
首先根据对顶角相等得到∠β=∠DGB，则∠α+∠β=∠α+∠DGB，在四边形DHBG中根据四边形内角和为360°，分别求出∠D、∠B的度数，最后进行计算即可得到答案．
【详解】
解：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D=30°
∴∠B=∠C-∠A=45°
在四边形DHBG中，∠D+∠α+∠B+∠BGD=360°
又∵∠β=∠DGB
∴∠D+∠α+∠B+ ∠β=360°
∴∠α+∠β=360°-∠D-∠B=285°
故选：B
【点拨】
本题主要考查了三角形的内角和，四边形的内角和，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点．
4．B
【解析】
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180=1080，
解得n=8，
∴这个多边形的边数是8，
故选B．
【点拨】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
5．A
【分析】
根据题意可知封闭的图形是正五边形，求出正五边形内角的度数即可解决问题．
【详解】
根据题意可知，从起点走五段相等直路之后回到起点的封闭图形是正五边形，
∵正五边形的每个内角的度数为：
∴它的邻补角的度数为：180°-108°=72°，
因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，
故选：A．
【点拨】
此题主要考查了求正多边形内角的度数，掌握并能运用多边形内角和公式是解题的关键．
6．D
【解析】
∵一个正十边形的每个外角都相等，∴正十边形的一个外角为360÷10=36°．
∴每个内角的度数为180°–36°=144°；故选D．
7．C
【详解】
解：根据多边形的内角和公式（n-2）×180°，可以求得n=13.2，由于多加的是内角，
所以多加的角为小于180°的角，所以去掉小数部分就是n边形的边数．故选C
8．D
【解析】
试题分析：根据内角和为720°可得：多边形的边数为六边形，则原多边形的边数为5或6或7.
考点：多边形的内角和
9．C
【分析】
本题主要考查了多边形的外角和内角. 先用2570°÷180°，看余数是多少，再把余数补成180°
【详解】
解：∵2570°÷180°=14…50°，
又130°+50°=180°
∴这个内角度数为130°
故选C
10．D
【详解】
试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．故选D．
考点：多边形内角与外角．
11．D
【解析】
如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种，
①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个五边形和三角形，
∴M+N=540°+180°=720°；
②当直线经过一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，
∴M+N=360°+180°=540°；
③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，
此时矩形分割为两个三角形，
∴M+N=180°+180°=360°．
故选D．
12．D
【解析】
分析：根据三角形的内角和，可得∠A，根据四边形的内角和，可得答案．
详解：由三角形的内角和，得
∠A=180°-35°-35°=110°，
由四边形的内角和，得
360°-90°-110°-35°=125°，
故选D．
点拨：本题考查了多边形的内角，利用多边形的内角和是解题关键．
13．B
【分析】
利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【详解】
解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选B．
【点拨】
本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
14．B
【分析】
根据多边的外角和定理进行选择．
【详解】
解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选B．
【点拨】
本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
15．B
【分析】
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．
【详解】
解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转，
∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，
∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．
故选：B．
【点拨】
本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的关键．
16．C
【分析】
根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和.
【详解】
由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选C.
【点拨】
考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.
17．C
【分析】
根据多边形的内角和公式求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的一个外角．
【详解】
正多边形的内角和是，
多边形的边数为
多边形的外角和都是，
多边形的每个外角
故选．
【点拨】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
18．C
【分析】
首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】
解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=540，
解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．
故选C．
【点拨】
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．
19．C
【分析】
由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．
【详解】
∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点，∴正三角形可以铺满地面；
∵正方形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正方形可以铺满地面一个点，∴正方形可以铺满地面；
∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3，∴正五边形不能铺满地面；
∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点，∴正六边形可以铺满地面．
故选C．
【点拨】
几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
20．C
【分析】
平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能.
【详解】
解：因为用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
所以小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正五边形.
故选：C
【点拨】
用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案.
21．A
【解析】
【分析】
分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案.
【详解】
∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°
又∵60°×3+90°×2=360°
∴能够组合是正三角形，正方形
【点拨】
本题考查平面密铺的知识，注意掌握几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
22．540°
【分析】
根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出多边形的边数，n边形的内角和是(n-2)·180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和；
【详解】
∵多边形的边数为：360°÷72°=5，
∴正多边形的内角和的度数是：(5-2)·180°=540°，
故答案为：540°．
【点拨】
本题考查了正多边形的内角和外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
23．8
【分析】
直接根据内角和公式计算即可求解.
【详解】
（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8．
故答案为8．
【点拨】
主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：.
24．72
【详解】
分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
详解：延长AB交于点F，
∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为72°.
点拨：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.
25．66
【分析】
首先根据正五边形的性质得到度，然后根据角平分线的定义得到度，再利用三角形内角和定理得到的度数．
【详解】
解：∵五边形为正五边形，
∴度，
∵是的角平分线，
∴度，
∵，
∴．
故答案为66．
【点拨】
本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．
26．36°.
【分析】
利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】
，是等腰三角形，
度．
【点拨】
本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． 解题关键在于知道n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
27．36°
【分析】
由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B=108°，AB=CB，
∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；
故答案为36°．
28．15 60°
【分析】
设这个多边形边数是n，表示出一个外角的范围，求出不等式的解集确定出正整数n的值，即为多边形的边数，继而求出这个外角即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数是n，n为正整数，
根据题意得：0<2400°-（n-2）×180°<180°，
解得：14.3
故答案为：15；60°
【点拨】
本题考查了多边形内角与外角，熟练掌握内角和定理是解答此题的关键.
29．1980
【解析】
【详解】
解：设多边形的边数为n，多加的角度为α，则
（n-2）×180°=2005°-α，
当n=13时，α=25°，
此时（13-2）×180°=1980°，α=25°
故答案为1980．
30．
【分析】
设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，根据题意得
变形 为，由n是正整数，求出x的值即可得到答案．
【详解】
设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，由题意得
∴，
∵n是正整数，，
∴x=，
∴这个多边形的内角和为，
故答案为：．
【点拨】
此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
31．180°或360°或540°
【解析】
分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.
详解: n边形的内角和是（n-2）•180°，
边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，
所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，
所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，
因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．
故答案为540°或360°或180°.
点拨：本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.
32．：270°
【分析】
先根据三角形内角和定理算出∠3+∠4的度数，再根据四边形内角和为360°，计算出∠1+∠2的度数．
【详解】
∵在直角三角形中，
∴∠5=90°，
∴∠3+∠4=180°−90°=90°，
∵∠3+∠4+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°−90°=270°，
故答案是：270°．
【点拨】
本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和为360°，是解题的关键．
33．15或16或17
【解析】
试题分析：根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．设新多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°=2520°，解得n=16，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为17，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为15，故原多边形的边数可以为15，16或17．
故答案为15，16或17．
考点：多边形内角和与外角和．
34．12
【分析】
先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解．
【详解】
解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，
故正六边形的内角为180°-60°=120°，
又正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，
∴正n边形的外角为30°，
∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．
故答案为：12．
【点拨】
本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类题目的关键．
35．9
【详解】
解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9
36．
【详解】
解：由题意得，∠A的外角=180°－∠A=60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°－∠A的外角=300°．
故答案为：300．
【点拨】
本题考查多边形外角性质，补角定义．
37．8
【详解】
解：设边数为n，由题意得，
180（n-2）=3603
解得n=8.
所以这个多边形的边数是8.
38．360°．
【分析】
根据多边形的外角和等于360°解答即可．
【详解】
由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为360°．
【点拨】
本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
39．12
【分析】
先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以外角的度数即可得到边数．
【详解】
∵多边形的每一个内角都等于150°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣150°=30°，∴边数n=360°÷30°=12．
故答案为12．
【点拨】
本题考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．
40．6
【分析】
根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时中间的正多边形的内角，继而可求出n的值．
【详解】
解：两个正六边形拼接，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则中间需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，所以中间的多边形为正六边形，
故n=6.
故答案为6．
【点拨】
此题考查了平面密铺的知识，解答本题的关键是求出在密铺条件下中间需要的正多边形的一个内角的度数，进而得到n的值，难度不大．
41．④
【分析】
分别求出正三角形，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】
解：①正三角形的每个内角是60°，放在同一顶点处6个即能密铺；
②正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
③正六边形每个内角是120°，能整除360°，故能密铺；
④正八边形每个内角是135°，不能整除360°，不能密铺．
故答案为：④
【点拨】
本题考查一种多边形的镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°.镶嵌定义是解答此题的重要依据.
42．4或5
【分析】
先求出正三角形和正六边形的内角大小，然后列出关于m、n的二元一次方程，然后确定m、n的值，最后求m+n即可．
【详解】
解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°
∴60°m+120°n=360°，即m+2n=6
∴当n=1时，m=4；当n=2时，m=2；
∴m+n=5或m+n=4．
故答案为：4或5．
【点拨】
本主要考查了正多边形的组合能否进行平面镶嵌，掌握位于同一顶点处的几个角之和能否为360°成为解答本题的关键．
43．∠CAD＝36°．
【分析】
根据多边形的内角和公式先求出每个内角的度数，再根据已知和三角形内角和等于180º分别求出∠1、∠2的度数，从而得到∠ACD与∠ADC的度数，最后由三角形内角和定理求出∠CAD度数．
【详解】
解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠BAE＝∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠2＝72°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝72°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝36°．
故答案为：36°．
【点拨】
本题考查多边形的内角和计算公式，等边对等角的性质及三角形内角和定理，有一定的难度．
44．（1）小明一共走了120米（2）这个多边形的内角和是3960度
【解析】
【分析】
（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是15度的正多边形，求得边数，即可求解；
（2）多边形的边数已求，利用多边形的内角和公式即可解答．
【详解】
（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是15度的正多边形，
∴360÷15=24，24×5=120m
答：小明一共走了120米；
（2）（24﹣2）×180°=3960°，
答：这个多边形的内角和是3960度．
【点拨】
本题考查多边形外角和以及多边形的内角和公式，需结合正多边形的性质求解.
45．这个内角是120°，这个多边形的边数是10.
【解析】
试题分析：设这个多边形的边数为n，多算的这个内角为α，根据多边形的内角和公式可得(n-2)·180°+α=1 560°，然后根据多边形每个内角的取值范围0°＜α＜180°列不等式，即可求出多边形的边数，进而求出这个内角的度数．
解：设这个多边形的边数为n，多算的这个内角为α，则有：
(n-2)·180°+α=1 560°.
∴α=1 560°-(n-2)·180°.
显然：0°＜α＜180°，
∴0°＜1 560°-(n-2)·180°＜180°.解得9
∴α=1 560°-(10-2)·180°=120°.
答：这个内角是120°，这个多边形的边数是10.
46．这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角度数是120°．
【分析】
根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．
【详解】
解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则
（n﹣2）•180°＝1380°﹣α，
∵1380°＝7×180°+120°，内角和应是180°的倍数，
∴同学多加的一个外角为120°，
∴这是7+2＝9边形的内角和，
答：这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角度数是120°．
【点拨】
多边形内角和、边角的关系一定要熟悉.会应用即可.
47．(1)12;(2)1800o
【分析】
(1) 先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以一个外角的度数即可得到边数;
(2)根据内角和公式求解.
【详解】
(1)∵它的每一个内角都等于150o,
∴每个外角都等于30o,
∴n=;
(2)内角和为：
【点拨】
考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
48．这个多边形的边数是9
【分析】
设这个多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和定理列出方程，然后求解即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数是，则
（n-2）·180°-360°×3=180°，
解得.
答：这个多边形的边数是9.
【点拨】
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．
49．可以，验证与方案见解析.
【分析】
在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据平面镶嵌的体积可得方程：60x+120y=360．整理得：x+2y=6，求出正整数解即可．
【详解】
解：可以；
验证：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角，正三角形的每个内角的度数为，正六边形的每个内角的度数为
根据题意，可得方程：
整理得
方程的正整数解为或
所以可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌，在一个顶点周围围绕个正三角形和个正六边形或者围绕着个正三角形和个正六边形．
【点拨】本题考查了平面镶嵌，正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．也考查了二元一次方程的应用．
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