专题14.1 同底数幂的乘法（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.1 同底数幂的乘法（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握正整数幂的同底数幂的乘法法则；

2. 能用代数式和文字语言正确地表述同底数幂的乘法法则，并能运用它们熟练地进行运算.
3. 能用同底数幂的运算法则的逆运算的运算法测，并能运用它们熟练地进行运算.

【要点梳理】

知识要点一、同底数幂的乘法性质

(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）.

知识要点二、同底数幂的逆运算法则

逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.

【典型例题】

类型一、同底数幂相乘 

1．．计算。   

（1）25×22                       （2）a3•a7   

（3）5m×5n                      （4）x2•x6

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

  【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即计算即可.

解：（1）；           （2）；

（3）；             （4）.

【点拨】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键.

举一反三：

【变式1】计算：

（1）                       （2） 

（3）                  （4）

【答案】（1）；（2）；（3）0；（4）

【分析】根据同底数幂的乘法性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,逐一计算即可.

解：（1）

（2）

（3）

（4）.

【点拨】此题主要考查同底数幂的乘法性质，熟练掌握，即可解题.

【变式2】 计算

（1）               （2）

（3）

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】根据同底数幂的乘法性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,逐一计算即可.

解：（1）

（2）

（3）

.

【点拨】此题主要考查同底数幂的乘法性质，熟练掌握，即可解题.

【变式3】计算：（1）；     （2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；

（2）先根据同底数幂的乘法法则计算出各数，再合并同类项即可；

（3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．

解：（1）原式；

（2）原式；

（3）原式．

【点拨】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键．

类型二、同底数幂相乘的逆运算 

2．已知ax＝－2，ay＝3．求：

(1)  ax＋y的值；   (2)  a3x的值；   (3) a3x＋2y的值．

【答案】(1)－6；(2)－8；(3)－72

 试题分析：（1）逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加解答；

（3）逆运用幂的乘方，底数不变指数相乘解答；

（3）逆运用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可得解．

解：(1) ax＋y=ax•ay=－2×3=－6；

(2)a3x=(ax)3=(－2)3=－8；

(3) a3x＋2y=(a3x)•(a2y)

=(ax)3•(ay)2

=(－2)3×32

=－8×9

=－72．

举一反三：

【变式1】 已知2x=3，2y=5， 求2的值．

【答案】120.

  【分析】根据同底数幂乘法的逆用求解即可．

解：∵2x=3，2y=5，

∴2=2x·2y ·2=3×5×8=120.

【点拨】此题考查同底数幂乘法的逆用，解题关键在于掌握运算法则.

【变式2】 已知2a＝5，2b＝1，求2a+b+3的值．

【答案】40．

【分析】逆用同底数幂的运算法则，把2a+b+3写成2a×2b×23的形式，再代入计算即可.

解：解：∵2a＝5，2b＝1，

∴2a+b+3＝2a×2b×23＝5×1×8＝40．

【点拨】此题考查的是同底数幂的运算法则，属于基础题目，解题的关键是熟练掌握同底数幂的运算法则.

【变式3】已知满足．

（1）求的值；    （2）求的值．

【答案】（1）；（2）13

【分析】

先根据绝对值和平方的非负性可得a+2b=3，ab=-1，

（1）先根据幂的性质进行化简，整体代入可解决问题；

（2）配方后整体代入可解决问题．

解：由题得：

（1）

（2）

【点拨】本题考查了绝对值和平方的非负性、完全平方公式及幂的性质，利用整体代入的思想解决问题是本题的关键．

类型三、用科学记数法表示数的乘法 

3．废旧电池是危险的固体废弃物之一，如果处理不当，不但会严重污染土壤和水源，还将直接危害人体健康. 一粒纽扣电池可使6×105kg水受到污染，相当于一个人一生的饮水量！我国每年约有8000万粒纽扣电池报废，如果处理不当，每年将会有多少水受到污染(请用科学记数法表示)？

【答案】4.8×1013kg.

  【分析】先列式计算，再用科学记数法表示.

   解：由题意，得

6×105×80000000

=6×105×8×107

=48×1012

=4.8×1013(kg).

答案为：4.8×1013kg.

【点拨】本题考查用科学记数法表示大数．用科学记数法表示数的关键是确定a与10的指数n，确定a时，要注意范围，n等于原数的整数位数减1.

举一反三：

【变式1】1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤完全燃烧放出的热量，据估计地壳里含9.2×109千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤完全燃烧放出的热量？

【答案】3.45×1015

【解析】试题分析：根据题意可得：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×105×9.2×109千克煤放出的热量，利用同底数幂的乘法计算即可求得答案．

解：3.75×105×9.2×109

=34.5×1014

=3.45×1015（千克）.

答：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.45×1015千克煤完全燃烧放出的热量.

点拨：本题考查了同底数幂的乘法的应用，解决本题时要掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

【变式2】 已知光的传播速度大约是3×105千米/秒，太阳光照射到地球上约需5×102秒，那么地球距离太阳大约有多远？

【答案】1.5×108千米

  【分析】学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解：3×105×5×102

＝1.5×108

答：地球距离太阳大约有1.5×108千米

【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

【变式3】某户居民家的水龙头有漏水现象，据观察，1分钟漏水40滴，若一年（按365天计算）由于这种现象而浪费的水的质量为千克，则1滴水的质量为多少克？（结果用科学记数法表示）

【答案】5×10－2克．

  【分析】根据每天的时间进而得出每年的时间，求出水滴的总数进而得出1滴水的质量．

解：∵1分钟漏水40滴，若一年（按365天计算）由于这种现象而浪费的水的质量为1.0512×103千克，

∴1滴水的质量为：1.0512×103×1000÷(24×60×40×365)=0.05=5×10-2（克），

答：1滴水的质量为5×10-2克．

【点拨】此题主要考查了科学记数法以及有理数的计算，得出每年的水滴数是解题关键．