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重庆市沙坪坝区南开中学2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份重庆市沙坪坝区南开中学2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共36页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市沙坪坝区南开中学2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．计算（﹣a）2的结果等于（ ）
A．﹣a2 B．a2 C．﹣2a2 D．2a2
2．如图，由5个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
3．12月17日凌晨1点59分，历经23天近8000000000千米的遥远路程，“嫦娥5号”返回器携带着近2千克月球土壤样本在预定区域安全着陆，其中8000000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×1010 B．8×109 C．0.8×1011 D．8×1010
4．如图，已知AB∥CD，射线DE平分∠BDC交AB于点E，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．80° B．85° C．70° D．75°
5．不等式2x﹣3≤1的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O为位似中心．已知OA：OA′＝1：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：9 D．1：3
7．下列图形都是由三角形按一定规律组成的，其中第①个图形共有3个顶点，第②个图形共有6个顶点，第③个图形共有10个顶点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形顶点的个数为（ ）
A．66个 B．55个 C．45个 D．36个
8．不透明的盒子里有3个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标记数字1、2、3，从中随机抽出一个小球，放回后再随机抽出1个小球，把第1次抽出的小球上的数字作为两位数a的十位数字，第2次抽出的小球上的数字作为两位数a的个位数字，则两位数a是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点D为圆心，DA为半径画弧，与矩形的边BC交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．6 C．8 D．6
10．高铁沙坪坝站双子塔为国内首例在高铁站上实施商业开发的综合体，如图，小南在与塔底B同一高度的地面A处测得塔顶C的仰角为35°，接下来，他沿一条坡比为1：2.4的斜坡AD行进了156米后，在D处测得塔顶C的仰角为45°，点A、B、C、D在同一平面内，则小南测得的双子塔BC的高度约为（ ）米．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
A．193 B．196 C．201 D．206
11．班长决定利用本学期剩余的全部班费为同学们筹备新年礼物，若选择1套数学习题和2盒笔芯为一份礼物，这笔钱恰好可以购买60份礼物；若选择1套数学习题和3盒笔芯为一份礼物，这笔钱恰好可购买50份礼物，如果将这笔钱全部用来购买这种数学习题，则可以买到的数量为（ ）
A．300套 B．200套 C．100套 D．50套
12．如图所示，平行四边形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，O为坐标原点，以OA为斜边构造等腰Rt△AOD，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交BC于点E，连接DE．若cos∠AOC＝，DE∥x轴，DE＝2，则k的值为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：（﹣2）0+＝ ．
14．已知a﹣2b＝1，则1+2a﹣4b＝ ．
15．如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线．若∠B＝31°，则∠DAC的度数为 ．
16．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
17．小开和小开爸爸一起参加健身跑比赛，小开爸爸参加全程比赛，开跑后他从A地匀速跑向B地，到达B地后休息了10分钟，然后掉头以原来一半的速度匀速跑回了终点A地，小开参加半程比赛，爸爸开跑10分钟后开跑，从A地匀速跑到终点B地即结束比赛，在此过程中，两人相距的路程y（单位：千米）与小开爸爸开跑后的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则小开到达B地时小开爸爸离A地的距离为 千米．
18．如图所示，在正方形ABCD中，点E为边CD上一点，CE＝2DE，AE交对角线BD于点G，过点G作FG⊥AE交BC于F，连接EF、AF，AF交对角线BD于点H，HG＝，将△FGH沿GF翻折得到△FGH′，连接EH′，则△EFH′的周长为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（2x+y）（2x﹣y）﹣x（4x﹣y）；
（2）（1+）．
20．（10分）如图所示，点A在∠MON的边OM上．
（1）尺规作图：在射线ON上截线段OB，使得OB＝3OA，连接AB，作△AOB的中线AC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若OA＝5，sin∠AOB＝，求tan∠ACO的值．
21．（10分）水火箭是一个利用质量比和气压作用而设计的玩具，是初中物理中的一个著名案例，许多同学通过制作水火箭加深了学习物理的兴趣．近日，南开中学初二年级举办了首届水火箭制作与放飞比赛，每班各20支水火箭在操场上空“展翅高飞”，本次比赛以水火箭的飞行距离x（单位：m）作为比赛成绩，物理兴趣小组的同学们统计了一班和二班各20支水火箭的比赛成绩（比赛成绩均为整数），相关数据统计、整理如下：
一班（部分）87、87、87、87、88、89、105、105、105、106、106、106、107、108；
二班：61、62、65、67、76、76、77、79、79、80、80、80、80、105、105、108、110、110、110、132．
一班、二班水火箭比赛成绩统计表：
一班
二班
平均成绩
87.1
87.1
中位数
a
80
众数
87
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，a＝ ，b＝ ．
（2）根据以上数据，你认为该校一班和二班哪个班级的水火箭比赛整体成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）参加此次活动的初二年级一共有45个班，估计这次活动中比赛成绩超过105米的水火箭有多少支？
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们可以通过列表、描点、连线画函数图象，也可以利用平移、对称、旋转等图形变换的方法画出函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝．结合上面经历的学习过程，研究函数y＝|3+|的图象及其性质，并按要求完成下列各题．
（1）当x＝﹣2时，y的值为 ；当y＝0时，x的值为 ；函数y＝|3+|中，自变量x的取值范围是 ；
（2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数y＝x+3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|3+|≥x+3的解集 ．
23．（10分）江西赣南脐橙和重庆奉节脐橙是两种优质的脐橙品种，都是中国国家地理标志产品，享有“中华名果”之美誉．11月份，某水果经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙共7000千克，总销售额为62000元，已知赣南脐橙单价为每千克8元，奉节脐橙的单价为每千克10元．
（1）求11月份该经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙的销量各是多少千克？
（2）12月份，脐橙大量上市，这种时令水果越来越受到大家的喜爱，该经销商继续销售这两种脐橙，与11月份相比，赣南脐橙和奉节脐橙的单价分别下降了a%和a%，赣南脐橙和奉节脐橙的销量分别增加了a%和%，12月份的总销售额比11月份减少了600元，求a的值．
24．（10分）材料一：如果四位数n满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个数为“等差数”，例如：3423，因为3﹣4＝2﹣3，所以3423是一个“等差数”．
材料二：对于一个四位数n，将这个四位数n千位上的数字与百位上的数字对调、十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数m，记F（n）＝，例如n＝1425，对调千位上数字与百位上数字及十位上数字与个位上数字得到4152，所以F（n）＝＝﹣27．
（1）判断n＝6273是否是“等差数”，并求出F（n）的值；
（2）若s，t都是“等差数”，其中s＝100x+y+7381，t＝1000a+10b+524（0≤x≤6，0≤y≤7，1≤a≤9，0≤b≤7，x、y、a、b都是整数），规定：k＝，若2F（s）﹣F（t）＝27，求k的最大值．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（2，0）、B两点，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（4，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l：y＝x与抛物线交于E、F两点（点E在F的左侧），点G为线段EF上的一个动点，过G作y轴的平行线交抛物线于点H，求GH+GF的最大值及此时点G的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图2，若点G是OF的中点，将△OBG绕点O旋转，旋转过程中，点B的对应点为B'、点G的对应点为G′，将抛物线沿直线AF的方向平移（两侧均可），在平移过程中点D的对应点为D′，在运动过程中是否存在点B′和点D′关于△ABF的某一边所在直线对称（B′与D′不重合），若存在，请直接写出点B'的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，西画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图，在菱形ABCD中，分别过点B作BC的垂线，过点D作CD的垂线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝45°，连接AE，BD，求证：AE＝BD；
（2）如图2，若∠ABC＝60°，点F是DE延长线（包括点E）上的一点，点G为EB延长线上的一点，且EF＝BG．连接BF、DG，DG交FB的延长线于点H，连接AH．试猜想线段AH、BH、HD的数量关系并证明你的结论．
（3）如图3，在（2）的条件下，在AH上取一点P，使得HP＝2AP，已知Q为直线ED上一点，连接BQ，连接QP，当BQ+QP最小时，直接写出的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．计算（﹣a）2的结果等于（ ）
A．﹣a2 B．a2 C．﹣2a2 D．2a2
【分析】直接利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣a）2＝a2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．如图，由5个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图为正面所看到的图形，进而得出答案．
【解答】解：如图，由5个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的主视图为：．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，注意主视图即为从正面所看到的图形．
3．12月17日凌晨1点59分，历经23天近8000000000千米的遥远路程，“嫦娥5号”返回器携带着近2千克月球土壤样本在预定区域安全着陆，其中8000000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×1010 B．8×109 C．0.8×1011 D．8×1010
【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式的方法进行求解，即可得出答案．
【解答】解：8000000000＝8×109．
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法表示的方法进行求解是解决本题的关键．
4．如图，已知AB∥CD，射线DE平分∠BDC交AB于点E，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．80° B．85° C．70° D．75°
【分析】由两直线平行，同位角相等得到∠EDC＝50°，由角平分线的定义得到∠BDC＝100°，再由两直线平行，同旁内角互补即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝50°，
∴∠EDC＝∠1＝50°，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDC＝2∠EDC＝100°，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠BDC＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠BDC＝180°﹣100°＝80°，
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
5．不等式2x﹣3≤1的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．
【解答】解：移项，得：2x≤1+3，
合并，得：2x≤4，
系数化为1，得：x≤2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
6．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O为位似中心．已知OA：OA′＝1：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：9 D．1：3
【分析】根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，根据相似三角形的性质、相似多边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴＝＝，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为1：9，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键．
7．下列图形都是由三角形按一定规律组成的，其中第①个图形共有3个顶点，第②个图形共有6个顶点，第③个图形共有10个顶点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形顶点的个数为（ ）
A．66个 B．55个 C．45个 D．36个
【分析】观察图形并找到图形变化的规律，利用规律求解即可．
【解答】解：第①个图形共有1+2＝3个顶点；
第②个图形共有1+2+3＝6个顶点；
第③个图形共有1+2+3+4＝10个顶点；
…，
按此规律排列下去，
第⑦个图形顶点的个数为1+2+3+4+5+6+7+8＝36个顶点，
故选：D．
【点评】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律，难度不大．
8．不透明的盒子里有3个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标记数字1、2、3，从中随机抽出一个小球，放回后再随机抽出1个小球，把第1次抽出的小球上的数字作为两位数a的十位数字，第2次抽出的小球上的数字作为两位数a的个位数字，则两位数a是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图，利用概率公式求解．
【解答】解：画树状图得：
共有9种等可能的情况，其中能被3整除的有12，21，33共3种情况，
所以两位数a是3的倍数的概率为＝，
故选：A．
【点评】考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是能够将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点D为圆心，DA为半径画弧，与矩形的边BC交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．6 C．8 D．6
【分析】如图，连接DE．解直角三角形求出CE、∠CDE的度数，再根据S阴＝S矩形﹣（S扇形DAE+S△DCE）计算即可；
【解答】解：如图，连接DE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝2，AD＝DE＝BC＝4，
∴CE＝＝＝2，
∴tan∠EDC＝＝＝，
∴∠EDC＝30°，∠ADE＝60°
∴S阴＝S矩形﹣（S扇形DAE+S△DCE）
＝4×2﹣（+）
＝6﹣π，
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用分割法求阴影部分的面积．
10．高铁沙坪坝站双子塔为国内首例在高铁站上实施商业开发的综合体，如图，小南在与塔底B同一高度的地面A处测得塔顶C的仰角为35°，接下来，他沿一条坡比为1：2.4的斜坡AD行进了156米后，在D处测得塔顶C的仰角为45°，点A、B、C、D在同一平面内，则小南测得的双子塔BC的高度约为（ ）米．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
A．193 B．196 C．201 D．206
【分析】过点D作DE⊥CB，垂足为点E．过点D作DF⊥AB，垂足为点F．可得四边形DEBF是矩形，斜坡AD的坡度为1：2.4，得＝，设DF＝5k，则AF＝12k，由勾股定理，得AD＝13k．根据13k＝156，可得k＝12，然后利用锐角三角函数列式计算即可得结果．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
过点D作DF⊥AB，垂足为点F．
∴四边形DEBF是矩形，
∴DE＝FB，DF＝EB，
∵斜坡AD的坡度为1：2.4，
∴＝，
设DF＝5k，则AF＝12k，
由勾股定理，得AD＝13k．
∴13k＝156，
解得：k＝12，
∴DF＝EB＝15k＝60（米），AF＝12k＝144（米），
∵∠CDE＝45°，
∴CE＝DE．
∴CB﹣BE＝AB﹣AF，
∴CB﹣60＝AB﹣144，
∴AB＝BC+84，
在Rt△ABC中，∠CAB＝35°，
∵CB＝AB×tan35°，
∴CB≈（CB+84）×0.70，
解得BC＝196（米）．
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角等，关键是作出辅助线，构造直角三角形．
11．班长决定利用本学期剩余的全部班费为同学们筹备新年礼物，若选择1套数学习题和2盒笔芯为一份礼物，这笔钱恰好可以购买60份礼物；若选择1套数学习题和3盒笔芯为一份礼物，这笔钱恰好可购买50份礼物，如果将这笔钱全部用来购买这种数学习题，则可以买到的数量为（ ）
A．300套 B．200套 C．100套 D．50套
【分析】设数学习题的单价为x元/套，笔芯的单价为y元/盒，根据这笔钱的数量不变，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之可得出x＝3y，再将其代入中即可求出结论．
【解答】解：设数学习题的单价为x元/套，笔芯的单价为y元/盒，
依题意得：60（x+2y）＝50（x+3y），
解得：x＝3y，
∴＝＝100（套）．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
12．如图所示，平行四边形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，O为坐标原点，以OA为斜边构造等腰Rt△AOD，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交BC于点E，连接DE．若cos∠AOC＝，DE∥x轴，DE＝2，则k的值为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
【分析】过点A作AH⊥OC于H，过点D作DF⊥AH于F，作DG⊥OC于G，过点E作ET⊥OC于T，设A（a，），则OH＝a，AH＝，根据三角函数定义，可求得OA＝a，再运用勾股定理求得AH＝3a，由反比例函数图象上的点的坐标特征可得k＝3a2，再证明四边形DFHG是矩形，由△AOD是以OA为斜边的等腰直角三角形，可证明△ADF≌△ODG，从而可得DG＝a，OG＝2a，再证明四边形DETG是矩形，可得E（2a+2，a），进而可得k＝3a2＝（2a+2）a，解方程即可．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥OC于H，过点D作DF⊥AH于F，作DG⊥OC于G，过点E作ET⊥OC于T，
设A（a，），则OH＝a，AH＝，
∵cos∠AOC＝，
∴＝，即：＝，
∴OA＝a，
由勾股定理，得：AH＝＝＝3a，
∴＝3a，
∴k＝3a2，
∵DF⊥AH，DG⊥OC，AH⊥OC，
∴∠AFE＝∠DFH＝∠OGD＝∠AHG＝90°，
∴四边形DFHG是矩形，
∴∠FDG＝90°，DF＝HG，FH＝DG，
∴∠ODF+∠ODG＝90°，
∵△AOD是以OA为斜边的等腰直角三角形，
∴AD＝OD，∠ADO＝90°，
∴∠ADF+∠ODF＝90°，
∴∠ADF＝∠ODG，
∴△ADF≌△ODG（AAS），
∴DF＝DG，AF＝OG，
∴DF＝DG＝FH＝GH，
设DG＝x，则AF＝OG＝a+x，
∴AH＝a+2x，
∴a+2x＝3a，
∴x＝a，
∴DG＝a，OG＝2a，
∵DE∥x轴，ET⊥OC，DG⊥OC，DE＝2，
∴四边形DETG是矩形，
∴GT＝DE＝2，ET＝DG＝a，
∴OT＝2a+2，
∴E（2a+2，a），
∴k＝3a2＝（2a+2）a，
解得：a＝2，
∴k＝3×（2）2＝24．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上的点与系数的关系，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，正方形、矩形的判定和性质，平行四边形性质等知识点，综合性较强，有一定难度，熟练掌握和灵活运用相关性质定理、判定定理，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：（﹣2）0+＝ 3 ．
【分析】任何非零数的0次幂都等于1．
【解答】解：原式＝1+2
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查零指数幂，牢记零指数幂的值是解题的关键．
14．已知a﹣2b＝1，则1+2a﹣4b＝ 3 ．
【分析】把1+2a﹣4b变形为2（a﹣2b）+1进而求解．把a﹣2b＝1整体代入即可．
【解答】解：∵a﹣2b＝1，
∴1+2a﹣4b＝2（a﹣2b）+1＝2×1+1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了代数式求值，代数式中的字母的值未知，利用“整体代入法”求代数式的值．
15．如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线．若∠B＝31°，则∠DAC的度数为 31° ．
【分析】由圆周角定理得出∠ADB＝90°，由切线的性质得出∠BAC＝90°，根据余角的性质则可得出答案．
【解答】解：∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝90°，
∵AC是圆O的切线
∴BA⊥BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠B＝31°，
故答案为31°．
【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ﹣14 ．
【分析】由一元一次不等式组有解，可求出a的范围，根据分式方程＝1有非负整数解，可得a的值，即可得答案．
【解答】解：由一元一次不等式组得x＜5且x≥2a+1，
∵一元一次不等式组有解，
∴2a+1＜5，
∴a＜2，
解分式方程＝1得y＝，
∵y﹣1≠0，即y≠1，
∴≠1，
∴a≠﹣6，
∵分式方程＝1有非负整数解，
∴是非负整数，
∴a的值为0或﹣2或﹣4或﹣8，
∴符合条件的所有整数a的和为0+（﹣2）+（﹣4）+（﹣8）＝﹣14．
故答案为：﹣14．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解及分式方程的非负整数解等知识，解题的关键是求出a的范围，容易忽略a≠﹣6．
17．小开和小开爸爸一起参加健身跑比赛，小开爸爸参加全程比赛，开跑后他从A地匀速跑向B地，到达B地后休息了10分钟，然后掉头以原来一半的速度匀速跑回了终点A地，小开参加半程比赛，爸爸开跑10分钟后开跑，从A地匀速跑到终点B地即结束比赛，在此过程中，两人相距的路程y（单位：千米）与小开爸爸开跑后的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则小开到达B地时小开爸爸离A地的距离为 5 千米．
【分析】设爸爸的速度为v1千米/分钟，小开的速度为v2千米/分钟，根据图像信息，得到A、B两地距离为10千米，根据题意，列方程组求解可得速度，求出从相遇到小开到达B地的时间为15分钟，此时小开爸爸跑回B地共用时30分钟，返回需要的总时间为10÷＝60（分钟），故还需要行驶60﹣30＝30（分钟），求出路程即可．
【解答】解：设爸爸的速度为v1千米/分钟，小开的速度为v2千米/分钟，根据图像信息，得到A、B两地距离为10千米，
根据题意，列方程组，得，
解得：，
从相遇到小开到达B地，用时间为（55﹣30﹣10）÷v2＝（55﹣30﹣10）×÷＝15（分钟），
此时小开爸爸跑回B地共用时30分钟，
返回需要的总时间为10÷＝60（分钟），
故还需要行驶60﹣30＝30（分钟），
所以30×＝5（千米）．
故答案为：5．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
18．如图所示，在正方形ABCD中，点E为边CD上一点，CE＝2DE，AE交对角线BD于点G，过点G作FG⊥AE交BC于F，连接EF、AF，AF交对角线BD于点H，HG＝，将△FGH沿GF翻折得到△FGH′，连接EH′，则△EFH′的周长为 ++5 ．
【分析】由正方形ABCD，FG⊥AE可知，四边形ABFG四点共圆，找到角度之间的等量关系，得到∠FAG＝45°；利用45°以及折叠的性质，可得到线段之间的数量关系；利用相似三角形性质和勾股定理，分别求出三条边长，即可得到答案．
【解答】解：∵FG⊥AE，
∴∠AGF＝90°，
∵正方形ABCD，
∴∠B＝90°，
∴∠AGF+∠ABF＝180°，
∴点A，B，F，G四点共圆，
∴∠FAG＝∠FBG＝45°，∠AFB＝∠AGB，
∴∠EAD+∠BAF＝45°，△AGF是等腰直角三角形，
延长CB，使得BM＝DE，连结AM，如图1所示：
（图1）
在△ABM和△ADE中，
，
∴△ABM≌△ADE（SAS），
∴AM＝AE，∠MAB＝∠EAD，
∴∠MAF＝∠MAB+∠BAF＝∠EAD+∠BAF＝45°，
∴∠MAF＝∠EAF＝45°，
在△MAF和△EAF中，
，
∴△MAF≌△EAF（SAS）
∴EF＝MF，
又∵MB＝DE，
∴EF＝DE+BF，∠AFM＝∠AFE，
又∵∠AFB＝∠AGB，
∴∠AGB＝∠AFE，
又∵∠GAH＝∠FAE，
∴△GAH∽△FAE
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
而HG＝，
∴AE＝AH，EF＝5
设DE＝a，则CE＝2a，AD＝BC＝3a，
∵EF＝DE+BF，EF＝5，
∴BF＝5﹣a，CF＝BC﹣BF＝4a﹣5，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，
∴（2a）2+（4a﹣5）2＝25，
解得a＝2，
∴BF＝3，AD＝6＝AB，
∴AF＝＝3，
∵AD∥BC，
∴△ADH∽△FBH，
∴＝＝，
∴HF＝AF＝，
由折叠可知H'F＝HF＝，
连结H，H’，交GF于点N，如图2所示：
（图2）
由折叠可知：∠HNF＝＝90°，
∴AE∥HH'，
∴△HNF∽△AGF，
∴＝＝，
∴HN＝AG，
又∵AB∥DE，
∴△DEG∽△BAG，
∴＝＝，
∴GE＝AG，
∴HN＝GE，
∴H'N＝GE，
∴四边形GEH’N为矩形，
∴GN＝EH'，
∵∠AFG＝45°，由折叠∠HFG＝∠H'FG，
∴△HFH'是等腰直角三角形，
∵HF＝，
∴HH'＝，
∴NF＝，
∵AF＝3，
∴GF＝AG＝，
∴CN＝CF﹣NF＝，
∴EH'＝GN＝，
∴△EFH′的周长为++5，
故答案为：++5．
【点评】此题主要考查学生对正方形的性质，折叠性质的理解和掌握，计算过程中要求学生熟练应用全等三角形、相似三角形的性质，总体难度比较大．
三、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（2x+y）（2x﹣y）﹣x（4x﹣y）；
（2）（1+）．
【分析】（1）先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可；
（2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，再根据乘法法则求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝4x2﹣y2﹣4x2+xy
＝﹣y2+xy；
（2）原式＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，能正确根据整式、分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（10分）如图所示，点A在∠MON的边OM上．
（1）尺规作图：在射线ON上截线段OB，使得OB＝3OA，连接AB，作△AOB的中线AC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若OA＝5，sin∠AOB＝，求tan∠ACO的值．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）过点A作AH⊥OC于H．解直角三角形求出AH，CH，可得结论．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）过点A作AH⊥OC于H．
在Rt△AOH中，sin∠AOH＝＝，OA＝5，
∴AH＝4，OH＝＝＝3，
∵OB＝3OA＝15，
∴OC＝OB＝，
∴CH＝OC﹣0H＝﹣3＝，
∴tan∠ACO＝＝＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（10分）水火箭是一个利用质量比和气压作用而设计的玩具，是初中物理中的一个著名案例，许多同学通过制作水火箭加深了学习物理的兴趣．近日，南开中学初二年级举办了首届水火箭制作与放飞比赛，每班各20支水火箭在操场上空“展翅高飞”，本次比赛以水火箭的飞行距离x（单位：m）作为比赛成绩，物理兴趣小组的同学们统计了一班和二班各20支水火箭的比赛成绩（比赛成绩均为整数），相关数据统计、整理如下：
一班（部分）87、87、87、87、88、89、105、105、105、106、106、106、107、108；
二班：61、62、65、67、76、76、77、79、79、80、80、80、80、105、105、108、110、110、110、132．
一班、二班水火箭比赛成绩统计表：
一班
二班
平均成绩
87.1
87.1
中位数
a
80
众数
87
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 135 ，a＝ 87.5 ，b＝ 80 ．
（2）根据以上数据，你认为该校一班和二班哪个班级的水火箭比赛整体成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）参加此次活动的初二年级一共有45个班，估计这次活动中比赛成绩超过105米的水火箭有多少支？
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可以计算一班和二班x≤70的总人数，减去出二班x≤70的人数可得一班x≤70的人数，然后根据中位数的定义求出a的值，根据整理的数据可得二班水火箭比赛成绩的众数b的值，根据一班和二班70＜x≤90的人数可得m的值；
（2）根据统计图中的数据一班、二班水火箭比赛成绩的平均数相等，利用中位数和众数可以解答本题；
（3）根据统计图中的数据可知一班和二班成绩超过105米的水火箭有10支，求出所占比例从而可以解答本题．
【解答】解：（1）一班和二班x≤70的总人数：（20+20）×+（20+20）×5%＝10（人），
∵二班x≤70的人数有4人，
∴一班x≤70的人数：10﹣4＝6（人），
∴一班水火箭比赛成绩的中位数a＝（87+88）÷2＝87.5，
根据整理的数据可得二班水火箭比赛成绩的众数b＝80，
∵一班和二班70＜x≤90的人数有15人，所对应圆心角的度数为：×360°＝135°，
∴m＝135，
故答案为：135，87.5，80；
（2）一班的水火箭比赛整体成绩更好，
理由：一班、二班水火箭比赛成绩的平均数相等，但是一班水火箭比赛成绩的中位数高于二班，众数高于二班，故一班的水火箭比赛整体成绩更好；
（3）由统计数据可知，一班和二班成绩超过105米的水火箭有10支，
估计这次活动中比赛成绩超过105米的水火箭有45×20×＝225（支），
答：估计这次活动中比赛成绩超过105米的水火箭有225支．
【点评】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们可以通过列表、描点、连线画函数图象，也可以利用平移、对称、旋转等图形变换的方法画出函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝．结合上面经历的学习过程，研究函数y＝|3+|的图象及其性质，并按要求完成下列各题．
（1）当x＝﹣2时，y的值为 1 ；当y＝0时，x的值为 ﹣1 ；函数y＝|3+|中，自变量x的取值范围是 x≠1 ；
（2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质： 当x＞1时，y随x的增大而减小 ；
（3）已知函数y＝x+3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|3+|≥x+3的解集 x≤﹣2或1＜x≤3 ．
【分析】（1）把x＝﹣2代入函数解析式来求得相应的y的值；把y＝0代入函数解析式来求相应的x的值；根据分母不为0，求得自变量x的取值范围．
（2）根据函数图象写出函数的性质．
（3）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）将x＝﹣2代入函数y＝|3+|可得，y＝1；
将y＝0代入函数y＝|3+|可得，x＝﹣1；
函数y＝|3+|中自变量x的取值范围是x≠1，
故答案为1，﹣1，x≠1．
（2）画出函数图象如图：
由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小；
故答案为当x＞1时，y随x的增大而减小；
（3）由图象可知，不等式|3+|≥x+3的解集是x≤﹣2或0≤x＜1或1＜x≤3，
故答案为：x≤﹣2或0≤x＜1或1＜x≤3．
【点评】本题考查反比例函数的图象与一次函数的图象，数形结合是本题解题关键．
23．（10分）江西赣南脐橙和重庆奉节脐橙是两种优质的脐橙品种，都是中国国家地理标志产品，享有“中华名果”之美誉．11月份，某水果经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙共7000千克，总销售额为62000元，已知赣南脐橙单价为每千克8元，奉节脐橙的单价为每千克10元．
（1）求11月份该经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙的销量各是多少千克？
（2）12月份，脐橙大量上市，这种时令水果越来越受到大家的喜爱，该经销商继续销售这两种脐橙，与11月份相比，赣南脐橙和奉节脐橙的单价分别下降了a%和a%，赣南脐橙和奉节脐橙的销量分别增加了a%和%，12月份的总销售额比11月份减少了600元，求a的值．
【分析】（1）设11月份该经销商销售赣南脐橙的销量是x千克，奉节脐橙的销量是y千克，根据总价＝单价×数量，结合“11月份，某水果经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙共7000千克，总销售额为62000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总销售额＝销售单价×销售数量，结合12月份的总销售额比11月份减少了600元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设11月份该经销商销售赣南脐橙的销量是x千克，奉节脐橙的销量是y千克，
依题意得：，
解得：．
答：11月份该经销商销售赣南脐橙的销量是4000千克，奉节脐橙的销量是3000千克；
（2）4000（1+a%）×8（1﹣a%）+3000（1+%）×10（1﹣a%）＝62000﹣600，
整理得：a2+50a﹣600＝0，
解得：a1＝10，a2＝﹣60（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（10分）材料一：如果四位数n满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个数为“等差数”，例如：3423，因为3﹣4＝2﹣3，所以3423是一个“等差数”．
材料二：对于一个四位数n，将这个四位数n千位上的数字与百位上的数字对调、十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数m，记F（n）＝，例如n＝1425，对调千位上数字与百位上数字及十位上数字与个位上数字得到4152，所以F（n）＝＝﹣27．
（1）判断n＝6273是否是“等差数”，并求出F（n）的值；
（2）若s，t都是“等差数”，其中s＝100x+y+7381，t＝1000a+10b+524（0≤x≤6，0≤y≤7，1≤a≤9，0≤b≤7，x、y、a、b都是整数），规定：k＝，若2F（s）﹣F（t）＝27，求k的最大值．
【分析】先根据题意把F（s）和F（t）用含x和a的式子表示出来，再根据题意找到x和y的关系；a和b的关系．然后由2F（s）﹣F（t）＝27找到x和a的关系，最后确定x的值，使k的最大即可．
【解答】解：
（1）∵6﹣2＝4，7﹣3＝4．
∴6273是等差数．
根据对调数的定义，6273的对调数为2637．
∴F（6273）＝．
∴F（6273）＝36．
（2）由题意可知：
s的千位数为：7，百位数为：3+x，十位数为：8，个位数为：1+y．
∴s的对调数为：1000（3+x）+700+10（1+y）+8．
∴F（s）＝．
整理得：F（s）＝．
又∵s是等差数．
∴7﹣（3+x）＝8﹣（1+y）．
∴y＝3+x．
∴F（s）＝．
由题意可知：
t的千位数为：a，百位数为：5，十位数为：2+b，个位数为：4．
∴t的对调数为：5000+100a+40+2+b．
∴F（t）＝．
整理得：F（t）＝．
又∵t是等差数．
∴a﹣5＝2+b﹣4．
∴b＝a﹣3．
∴F（t）＝．
∵2F（s）﹣F（t）＝27．
∴2（36﹣9x）﹣（9a﹣45）＝117﹣18x﹣9a＝27．
∴a＝10﹣2x．
∴．
又∵0≤x≤6，1≤a≤9，且a，x都是整数．
∴x只能取1，2，3，4．
当x＝1时，k＝．
当x＝2时，k＝．
当x＝3时，k＝．
当x＝4时，k＝．
∴k的最大值为2．
【点评】本题主要考查阅读类题型的理解能力和数字的整理计算能力，将F（s）和F（t）分别用含x和a的式子表示出来是解此题的关键．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（2，0）、B两点，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（4，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l：y＝x与抛物线交于E、F两点（点E在F的左侧），点G为线段EF上的一个动点，过G作y轴的平行线交抛物线于点H，求GH+GF的最大值及此时点G的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图2，若点G是OF的中点，将△OBG绕点O旋转，旋转过程中，点B的对应点为B'、点G的对应点为G′，将抛物线沿直线AF的方向平移（两侧均可），在平移过程中点D的对应点为D′，在运动过程中是否存在点B′和点D′关于△ABF的某一边所在直线对称（B′与D′不重合），若存在，请直接写出点B'的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线顶点式，代入点的坐标；
（2）设G（4m，3m），求出GH+GF关于m的函数关系式是二次函数，求二次函数最值；
（3）分为B′与D′关于AF，BF，AB对称三种情形，设B′（a，b），根据B′到原点距离是6及对称列出方程组，从而解得．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2﹣2，
把x＝2，y＝0代入，得：
4a﹣2＝0，
∴a＝，
∴y＝（x﹣4）2﹣2；
（2）设F（x，﹣2），
∴﹣2＝，
∴x＝8，
∴F（8，6），
设G（4m，3m），
∴H（4m，（4m﹣4）2﹣2），
∴GH＝3m﹣（4m﹣4）2+2
＝﹣8m2+19m﹣6，
GF＝（8﹣4m）＝10﹣5m，
∴GH+GF＝﹣8m2+14m+4
＝﹣8（m﹣）+，
∴当m＝时，GH+GF最大＝，
此时G（，）；
（3）∵（2，0），F（8，0），D（4，﹣2），B（6，0）
∴直线AF：y＝x﹣2，直线BD：y＝x﹣6，直线AD：y＝﹣x+2，
直线BF：y＝3x﹣18，
图1，若B′与D′关于AF对称，
∴B′I＝D′I＝AD＝AB，
在等腰Rt△IJB′中，B′I＝JB′，
∴JB′＝AB＝4，
设B′（a，b），
∴Jk＝AK＝a﹣2，
∴b＝KB′＝4+（a﹣2）＝a+2，
由OB′＝6得，
a2+（a+2）2＝36，
∴a＝﹣1或a＝﹣﹣1，
∴B′（﹣1，+1）或B′（﹣﹣1，﹣+1）；
②当B′与D′关于AB对称时，如图2，
∴直线BB′：y＝﹣x+6，
∴B′（x，﹣x+6），
∴x2+（﹣x+6）2＝36，
∴x＝0，或x＝6（舍去）
∴B′（0，6）；
③当B′与D′关于BF对称时，如图3，
设B′（a，b），
∴a2+b2＝36，
∵B′D′⊥BF，
∴kB′D′＝＝﹣，
∴直线B′D′的函数关系式是：y＝﹣（x﹣a）+b＝﹣x+a+b，
设D′（x，x﹣6），
∴﹣x+a+b＝x﹣6，
∴4x＝a+3b+18，
∵P（，），
∴3×﹣18＝，
∴2x＝30﹣3a+b，
∴，
∴7a+b＝42，
∴，
∴50a2﹣588a+1728＝0，
∴a1＝，a2＝6（舍去），
∴B′（，）；
综上所述B′（﹣1，+1）、（﹣﹣1，﹣+1）、（0，6）、（，）．
【点评】本题考查了以二次函数为背景下求二次函数的最值，结合图形的旋转、翻折（对称）、平移求满足一定条件下的点的坐标，解决问题的关键是设点的坐标，根据条件列出方程组．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，西画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图，在菱形ABCD中，分别过点B作BC的垂线，过点D作CD的垂线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝45°，连接AE，BD，求证：AE＝BD；
（2）如图2，若∠ABC＝60°，点F是DE延长线（包括点E）上的一点，点G为EB延长线上的一点，且EF＝BG．连接BF、DG，DG交FB的延长线于点H，连接AH．试猜想线段AH、BH、HD的数量关系并证明你的结论．
（3）如图3，在（2）的条件下，在AH上取一点P，使得HP＝2AP，已知Q为直线ED上一点，连接BQ，连接QP，当BQ+QP最小时，直接写出的值．
【分析】（1）延长BA交DE于F，证明△EFA≌△BFD可得结论．
（2）连接BD，取BF上一点N使BN＝DH，连接AN，EC，过点A作AM⊥BF于M，首先证出△BEF≌△BDG，可得∠EBF＝∠BDG，再证△ABN≌△ADH，可得出AH＝AN，∠NAB＝∠HAD，由∠BAD＝120°可得出∠NAH＝120°，在Rt△AMH中，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
（3）如图3中，取AD的中点J，连接BJ交AC于点K，连接PK，CH．首先证明点P的运动轨迹是以K为圆心KA为半径的⊙P，如图4中，取点P关于DE的对称点P′，连接BP′交DE于点Q，此时BQ+QP最小，由点F是DE延长线上的一点，观察图象可知当点P落在AB上时，点F与E重合，存在QB+QP的值最小（如图5中），由此即可解决问题．
【解答】解：（1）延长BA交DE于F，
∵BE⊥BC，CD⊥DE，
∴∠CBE＝∠CDE＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC＝45°，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠ADB＝∠CDB＝22.5°，∠EBA＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB＝67.5°，
∴EB＝ED，
∵AE＝AE，EB＝AD，
∴△EAB≌△EAD（SSS），
∴∠BAE＝∠DEA＝22.5°，
∵AB∥CD，CD⊥DE，
∴AF⊥DF，
∴∠FDA＝∠FAD＝45°，
∴AF＝DF，
∵∠AFE＝∠DFB，∠AEF＝∠DBF＝22.5°，
∴△EFA≌△BFD（AAS），
∴AE＝BD．
（2）结论：BH+HD＝AH，
理由：连接BD，取BF上一点N使BN＝DH，连接AN，EC，过点A作AM⊥BF于M，
由（1）得△EBD是等边三角形，
∴EB＝ED，∠BED＝∠EBD＝60°，
∴∠FEB＝∠GBD，
在△BEF和△BDG中，
，
∴△BEF≌△BDG（SAS），
∴∠EBF＝∠BDG，
∵∠ABE＝∠ADB＝30°，
∴∠EBF+∠ABE＝∠BDG+∠ADB，即∠FBA＝∠HDA，
在△ABN和△ADH中，
，
∴△ABN≌△ADH，
∴AH＝AN，∠NAB＝∠HAD，
∵∠BAD＝120°，即∠HAD+∠BAH＝120°，
∴∠NAH＝∠NAB+∠BAH＝∠HAD+∠BAH＝120°，
∵AH＝AN，AM⊥BF，
∴∠AHM＝30°，
∴AH＝2AM，AM＝HM＝NH，
∴NH＝AH，
∵NH＝BH+BN＝BH+HD，
∴BH+HD＝AH．
（3）如图3中，取AD的中点J，连接BJ交AC于点K，连接PK，CH．
∵AJ∥BC，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴PK∥CH，
∴＝＝，
由（2）可知，∠AHD＝30°＝∠ACD，
∴△ADH的外接圆的圆心为C，
∴CH＝CA，
∴KP＝AC＝KA，
∴点P的运动轨迹是以K为圆心KA为半径的⊙P，
如图4中，作点P关于DE的对称点P′，连接BP′交DE于点Q，此时BQ+QP最小，
∵点F是DE延长线上的一点，观察图象可知当点P落在AB上时，点F与E重合，存在QB+QP的值最小（如图5中），
∵∠CDQ＝90°，
∴S△QDC＝CD•DQ，S菱形ABCD＝CD×DQ，
∴＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
重庆市沙坪坝区南开中学2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．计算（﹣a）2的结果等于（ ）
A．﹣a2 B．a2 C．﹣2a2 D．2a2
2．如图，由5个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
3．12月17日凌晨1点59分，历经23天近8000000000千米的遥远路程，“嫦娥5号”返回器携带着近2千克月球土壤样本在预定区域安全着陆，其中8000000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×1010 B．8×109 C．0.8×1011 D．8×1010
4．如图，已知AB∥CD，射线DE平分∠BDC交AB于点E，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．80° B．85° C．70° D．75°
5．不等式2x﹣3≤1的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O为位似中心．已知OA：OA′＝1：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：9 D．1：3
7．下列图形都是由三角形按一定规律组成的，其中第①个图形共有3个顶点，第②个图形共有6个顶点，第③个图形共有10个顶点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形顶点的个数为（ ）
A．66个 B．55个 C．45个 D．36个
8．不透明的盒子里有3个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标记数字1、2、3，从中随机抽出一个小球，放回后再随机抽出1个小球，把第1次抽出的小球上的数字作为两位数a的十位数字，第2次抽出的小球上的数字作为两位数a的个位数字，则两位数a是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点D为圆心，DA为半径画弧，与矩形的边BC交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．6 C．8 D．6
10．高铁沙坪坝站双子塔为国内首例在高铁站上实施商业开发的综合体，如图，小南在与塔底B同一高度的地面A处测得塔顶C的仰角为35°，接下来，他沿一条坡比为1：2.4的斜坡AD行进了156米后，在D处测得塔顶C的仰角为45°，点A、B、C、D在同一平面内，则小南测得的双子塔BC的高度约为（ ）米．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
A．193 B．196 C．201 D．206
11．班长决定利用本学期剩余的全部班费为同学们筹备新年礼物，若选择1套数学习题和2盒笔芯为一份礼物，这笔钱恰好可以购买60份礼物；若选择1套数学习题和3盒笔芯为一份礼物，这笔钱恰好可购买50份礼物，如果将这笔钱全部用来购买这种数学习题，则可以买到的数量为（ ）
A．300套 B．200套 C．100套 D．50套
12．如图所示，平行四边形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，O为坐标原点，以OA为斜边构造等腰Rt△AOD，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交BC于点E，连接DE．若cos∠AOC＝，DE∥x轴，DE＝2，则k的值为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：（﹣2）0+＝ ．
14．已知a﹣2b＝1，则1+2a﹣4b＝ ．
15．如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线．若∠B＝31°，则∠DAC的度数为 ．
16．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
17．小开和小开爸爸一起参加健身跑比赛，小开爸爸参加全程比赛，开跑后他从A地匀速跑向B地，到达B地后休息了10分钟，然后掉头以原来一半的速度匀速跑回了终点A地，小开参加半程比赛，爸爸开跑10分钟后开跑，从A地匀速跑到终点B地即结束比赛，在此过程中，两人相距的路程y（单位：千米）与小开爸爸开跑后的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则小开到达B地时小开爸爸离A地的距离为 千米．
18．如图所示，在正方形ABCD中，点E为边CD上一点，CE＝2DE，AE交对角线BD于点G，过点G作FG⊥AE交BC于F，连接EF、AF，AF交对角线BD于点H，HG＝，将△FGH沿GF翻折得到△FGH′，连接EH′，则△EFH′的周长为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（2x+y）（2x﹣y）﹣x（4x﹣y）；
（2）（1+）．
20．（10分）如图所示，点A在∠MON的边OM上．
（1）尺规作图：在射线ON上截线段OB，使得OB＝3OA，连接AB，作△AOB的中线AC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若OA＝5，sin∠AOB＝，求tan∠ACO的值．
21．（10分）水火箭是一个利用质量比和气压作用而设计的玩具，是初中物理中的一个著名案例，许多同学通过制作水火箭加深了学习物理的兴趣．近日，南开中学初二年级举办了首届水火箭制作与放飞比赛，每班各20支水火箭在操场上空“展翅高飞”，本次比赛以水火箭的飞行距离x（单位：m）作为比赛成绩，物理兴趣小组的同学们统计了一班和二班各20支水火箭的比赛成绩（比赛成绩均为整数），相关数据统计、整理如下：
一班（部分）87、87、87、87、88、89、105、105、105、106、106、106、107、108；
二班：61、62、65、67、76、76、77、79、79、80、80、80、80、105、105、108、110、110、110、132．
一班、二班水火箭比赛成绩统计表：
一班
二班
平均成绩
87.1
87.1
中位数
a
80
众数
87
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，a＝ ，b＝ ．
（2）根据以上数据，你认为该校一班和二班哪个班级的水火箭比赛整体成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）参加此次活动的初二年级一共有45个班，估计这次活动中比赛成绩超过105米的水火箭有多少支？
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们可以通过列表、描点、连线画函数图象，也可以利用平移、对称、旋转等图形变换的方法画出函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝．结合上面经历的学习过程，研究函数y＝|3+|的图象及其性质，并按要求完成下列各题．
（1）当x＝﹣2时，y的值为 ；当y＝0时，x的值为 ；函数y＝|3+|中，自变量x的取值范围是 ；
（2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数y＝x+3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|3+|≥x+3的解集 ．
23．（10分）江西赣南脐橙和重庆奉节脐橙是两种优质的脐橙品种，都是中国国家地理标志产品，享有“中华名果”之美誉．11月份，某水果经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙共7000千克，总销售额为62000元，已知赣南脐橙单价为每千克8元，奉节脐橙的单价为每千克10元．
（1）求11月份该经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙的销量各是多少千克？
（2）12月份，脐橙大量上市，这种时令水果越来越受到大家的喜爱，该经销商继续销售这两种脐橙，与11月份相比，赣南脐橙和奉节脐橙的单价分别下降了a%和a%，赣南脐橙和奉节脐橙的销量分别增加了a%和%，12月份的总销售额比11月份减少了600元，求a的值．
24．（10分）材料一：如果四位数n满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个数为“等差数”，例如：3423，因为3﹣4＝2﹣3，所以3423是一个“等差数”．
材料二：对于一个四位数n，将这个四位数n千位上的数字与百位上的数字对调、十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数m，记F（n）＝，例如n＝1425，对调千位上数字与百位上数字及十位上数字与个位上数字得到4152，所以F（n）＝＝﹣27．
（1）判断n＝6273是否是“等差数”，并求出F（n）的值；
（2）若s，t都是“等差数”，其中s＝100x+y+7381，t＝1000a+10b+524（0≤x≤6，0≤y≤7，1≤a≤9，0≤b≤7，x、y、a、b都是整数），规定：k＝，若2F（s）﹣F（t）＝27，求k的最大值．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（2，0）、B两点，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（4，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l：y＝x与抛物线交于E、F两点（点E在F的左侧），点G为线段EF上的一个动点，过G作y轴的平行线交抛物线于点H，求GH+GF的最大值及此时点G的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图2，若点G是OF的中点，将△OBG绕点O旋转，旋转过程中，点B的对应点为B'、点G的对应点为G′，将抛物线沿直线AF的方向平移（两侧均可），在平移过程中点D的对应点为D′，在运动过程中是否存在点B′和点D′关于△ABF的某一边所在直线对称（B′与D′不重合），若存在，请直接写出点B'的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，西画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图，在菱形ABCD中，分别过点B作BC的垂线，过点D作CD的垂线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝45°，连接AE，BD，求证：AE＝BD；
（2）如图2，若∠ABC＝60°，点F是DE延长线（包括点E）上的一点，点G为EB延长线上的一点，且EF＝BG．连接BF、DG，DG交FB的延长线于点H，连接AH．试猜想线段AH、BH、HD的数量关系并证明你的结论．
（3）如图3，在（2）的条件下，在AH上取一点P，使得HP＝2AP，已知Q为直线ED上一点，连接BQ，连接QP，当BQ+QP最小时，直接写出的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．计算（﹣a）2的结果等于（ ）
A．﹣a2 B．a2 C．﹣2a2 D．2a2
【分析】直接利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣a）2＝a2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．如图，由5个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图为正面所看到的图形，进而得出答案．
【解答】解：如图，由5个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的主视图为：．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，注意主视图即为从正面所看到的图形．
3．12月17日凌晨1点59分，历经23天近8000000000千米的遥远路程，“嫦娥5号”返回器携带着近2千克月球土壤样本在预定区域安全着陆，其中8000000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×1010 B．8×109 C．0.8×1011 D．8×1010
【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式的方法进行求解，即可得出答案．
【解答】解：8000000000＝8×109．
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法表示的方法进行求解是解决本题的关键．
4．如图，已知AB∥CD，射线DE平分∠BDC交AB于点E，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．80° B．85° C．70° D．75°
【分析】由两直线平行，同位角相等得到∠EDC＝50°，由角平分线的定义得到∠BDC＝100°，再由两直线平行，同旁内角互补即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝50°，
∴∠EDC＝∠1＝50°，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDC＝2∠EDC＝100°，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠BDC＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠BDC＝180°﹣100°＝80°，
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
5．不等式2x﹣3≤1的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．
【解答】解：移项，得：2x≤1+3，
合并，得：2x≤4，
系数化为1，得：x≤2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
6．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O为位似中心．已知OA：OA′＝1：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：9 D．1：3
【分析】根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，根据相似三角形的性质、相似多边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴＝＝，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为1：9，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键．
7．下列图形都是由三角形按一定规律组成的，其中第①个图形共有3个顶点，第②个图形共有6个顶点，第③个图形共有10个顶点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形顶点的个数为（ ）
A．66个 B．55个 C．45个 D．36个
【分析】观察图形并找到图形变化的规律，利用规律求解即可．
【解答】解：第①个图形共有1+2＝3个顶点；
第②个图形共有1+2+3＝6个顶点；
第③个图形共有1+2+3+4＝10个顶点；
…，
按此规律排列下去，
第⑦个图形顶点的个数为1+2+3+4+5+6+7+8＝36个顶点，
故选：D．
【点评】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律，难度不大．
8．不透明的盒子里有3个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标记数字1、2、3，从中随机抽出一个小球，放回后再随机抽出1个小球，把第1次抽出的小球上的数字作为两位数a的十位数字，第2次抽出的小球上的数字作为两位数a的个位数字，则两位数a是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图，利用概率公式求解．
【解答】解：画树状图得：
共有9种等可能的情况，其中能被3整除的有12，21，33共3种情况，
所以两位数a是3的倍数的概率为＝，
故选：A．
【点评】考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是能够将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点D为圆心，DA为半径画弧，与矩形的边BC交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．6 C．8 D．6
【分析】如图，连接DE．解直角三角形求出CE、∠CDE的度数，再根据S阴＝S矩形﹣（S扇形DAE+S△DCE）计算即可；
【解答】解：如图，连接DE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝2，AD＝DE＝BC＝4，
∴CE＝＝＝2，
∴tan∠EDC＝＝＝，
∴∠EDC＝30°，∠ADE＝60°
∴S阴＝S矩形﹣（S扇形DAE+S△DCE）
＝4×2﹣（+）
＝6﹣π，
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用分割法求阴影部分的面积．
10．高铁沙坪坝站双子塔为国内首例在高铁站上实施商业开发的综合体，如图，小南在与塔底B同一高度的地面A处测得塔顶C的仰角为35°，接下来，他沿一条坡比为1：2.4的斜坡AD行进了156米后，在D处测得塔顶C的仰角为45°，点A、B、C、D在同一平面内，则小南测得的双子塔BC的高度约为（ ）米．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
A．193 B．196 C．201 D．206
【分析】过点D作DE⊥CB，垂足为点E．过点D作DF⊥AB，垂足为点F．可得四边形DEBF是矩形，斜坡AD的坡度为1：2.4，得＝，设DF＝5k，则AF＝12k，由勾股定理，得AD＝13k．根据13k＝156，可得k＝12，然后利用锐角三角函数列式计算即可得结果．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
过点D作DF⊥AB，垂足为点F．
∴四边形DEBF是矩形，
∴DE＝FB，DF＝EB，
∵斜坡AD的坡度为1：2.4，
∴＝，
设DF＝5k，则AF＝12k，
由勾股定理，得AD＝13k．
∴13k＝156，
解得：k＝12，
∴DF＝EB＝15k＝60（米），AF＝12k＝144（米），
∵∠CDE＝45°，
∴CE＝DE．
∴CB﹣BE＝AB﹣AF，
∴CB﹣60＝AB﹣144，
∴AB＝BC+84，
在Rt△ABC中，∠CAB＝35°，
∵CB＝AB×tan35°，
∴CB≈（CB+84）×0.70，
解得BC＝196（米）．
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角等，关键是作出辅助线，构造直角三角形．
11．班长决定利用本学期剩余的全部班费为同学们筹备新年礼物，若选择1套数学习题和2盒笔芯为一份礼物，这笔钱恰好可以购买60份礼物；若选择1套数学习题和3盒笔芯为一份礼物，这笔钱恰好可购买50份礼物，如果将这笔钱全部用来购买这种数学习题，则可以买到的数量为（ ）
A．300套 B．200套 C．100套 D．50套
【分析】设数学习题的单价为x元/套，笔芯的单价为y元/盒，根据这笔钱的数量不变，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之可得出x＝3y，再将其代入中即可求出结论．
【解答】解：设数学习题的单价为x元/套，笔芯的单价为y元/盒，
依题意得：60（x+2y）＝50（x+3y），
解得：x＝3y，
∴＝＝100（套）．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
12．如图所示，平行四边形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，O为坐标原点，以OA为斜边构造等腰Rt△AOD，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交BC于点E，连接DE．若cos∠AOC＝，DE∥x轴，DE＝2，则k的值为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
【分析】过点A作AH⊥OC于H，过点D作DF⊥AH于F，作DG⊥OC于G，过点E作ET⊥OC于T，设A（a，），则OH＝a，AH＝，根据三角函数定义，可求得OA＝a，再运用勾股定理求得AH＝3a，由反比例函数图象上的点的坐标特征可得k＝3a2，再证明四边形DFHG是矩形，由△AOD是以OA为斜边的等腰直角三角形，可证明△ADF≌△ODG，从而可得DG＝a，OG＝2a，再证明四边形DETG是矩形，可得E（2a+2，a），进而可得k＝3a2＝（2a+2）a，解方程即可．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥OC于H，过点D作DF⊥AH于F，作DG⊥OC于G，过点E作ET⊥OC于T，
设A（a，），则OH＝a，AH＝，
∵cos∠AOC＝，
∴＝，即：＝，
∴OA＝a，
由勾股定理，得：AH＝＝＝3a，
∴＝3a，
∴k＝3a2，
∵DF⊥AH，DG⊥OC，AH⊥OC，
∴∠AFE＝∠DFH＝∠OGD＝∠AHG＝90°，
∴四边形DFHG是矩形，
∴∠FDG＝90°，DF＝HG，FH＝DG，
∴∠ODF+∠ODG＝90°，
∵△AOD是以OA为斜边的等腰直角三角形，
∴AD＝OD，∠ADO＝90°，
∴∠ADF+∠ODF＝90°，
∴∠ADF＝∠ODG，
∴△ADF≌△ODG（AAS），
∴DF＝DG，AF＝OG，
∴DF＝DG＝FH＝GH，
设DG＝x，则AF＝OG＝a+x，
∴AH＝a+2x，
∴a+2x＝3a，
∴x＝a，
∴DG＝a，OG＝2a，
∵DE∥x轴，ET⊥OC，DG⊥OC，DE＝2，
∴四边形DETG是矩形，
∴GT＝DE＝2，ET＝DG＝a，
∴OT＝2a+2，
∴E（2a+2，a），
∴k＝3a2＝（2a+2）a，
解得：a＝2，
∴k＝3×（2）2＝24．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上的点与系数的关系，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，正方形、矩形的判定和性质，平行四边形性质等知识点，综合性较强，有一定难度，熟练掌握和灵活运用相关性质定理、判定定理，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：（﹣2）0+＝ 3 ．
【分析】任何非零数的0次幂都等于1．
【解答】解：原式＝1+2
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查零指数幂，牢记零指数幂的值是解题的关键．
14．已知a﹣2b＝1，则1+2a﹣4b＝ 3 ．
【分析】把1+2a﹣4b变形为2（a﹣2b）+1进而求解．把a﹣2b＝1整体代入即可．
【解答】解：∵a﹣2b＝1，
∴1+2a﹣4b＝2（a﹣2b）+1＝2×1+1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了代数式求值，代数式中的字母的值未知，利用“整体代入法”求代数式的值．
15．如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线．若∠B＝31°，则∠DAC的度数为 31° ．
【分析】由圆周角定理得出∠ADB＝90°，由切线的性质得出∠BAC＝90°，根据余角的性质则可得出答案．
【解答】解：∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝90°，
∵AC是圆O的切线
∴BA⊥BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠B＝31°，
故答案为31°．
【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ﹣14 ．
【分析】由一元一次不等式组有解，可求出a的范围，根据分式方程＝1有非负整数解，可得a的值，即可得答案．
【解答】解：由一元一次不等式组得x＜5且x≥2a+1，
∵一元一次不等式组有解，
∴2a+1＜5，
∴a＜2，
解分式方程＝1得y＝，
∵y﹣1≠0，即y≠1，
∴≠1，
∴a≠﹣6，
∵分式方程＝1有非负整数解，
∴是非负整数，
∴a的值为0或﹣2或﹣4或﹣8，
∴符合条件的所有整数a的和为0+（﹣2）+（﹣4）+（﹣8）＝﹣14．
故答案为：﹣14．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解及分式方程的非负整数解等知识，解题的关键是求出a的范围，容易忽略a≠﹣6．
17．小开和小开爸爸一起参加健身跑比赛，小开爸爸参加全程比赛，开跑后他从A地匀速跑向B地，到达B地后休息了10分钟，然后掉头以原来一半的速度匀速跑回了终点A地，小开参加半程比赛，爸爸开跑10分钟后开跑，从A地匀速跑到终点B地即结束比赛，在此过程中，两人相距的路程y（单位：千米）与小开爸爸开跑后的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则小开到达B地时小开爸爸离A地的距离为 5 千米．
【分析】设爸爸的速度为v1千米/分钟，小开的速度为v2千米/分钟，根据图像信息，得到A、B两地距离为10千米，根据题意，列方程组求解可得速度，求出从相遇到小开到达B地的时间为15分钟，此时小开爸爸跑回B地共用时30分钟，返回需要的总时间为10÷＝60（分钟），故还需要行驶60﹣30＝30（分钟），求出路程即可．
【解答】解：设爸爸的速度为v1千米/分钟，小开的速度为v2千米/分钟，根据图像信息，得到A、B两地距离为10千米，
根据题意，列方程组，得，
解得：，
从相遇到小开到达B地，用时间为（55﹣30﹣10）÷v2＝（55﹣30﹣10）×÷＝15（分钟），
此时小开爸爸跑回B地共用时30分钟，
返回需要的总时间为10÷＝60（分钟），
故还需要行驶60﹣30＝30（分钟），
所以30×＝5（千米）．
故答案为：5．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
18．如图所示，在正方形ABCD中，点E为边CD上一点，CE＝2DE，AE交对角线BD于点G，过点G作FG⊥AE交BC于F，连接EF、AF，AF交对角线BD于点H，HG＝，将△FGH沿GF翻折得到△FGH′，连接EH′，则△EFH′的周长为 ++5 ．
【分析】由正方形ABCD，FG⊥AE可知，四边形ABFG四点共圆，找到角度之间的等量关系，得到∠FAG＝45°；利用45°以及折叠的性质，可得到线段之间的数量关系；利用相似三角形性质和勾股定理，分别求出三条边长，即可得到答案．
【解答】解：∵FG⊥AE，
∴∠AGF＝90°，
∵正方形ABCD，
∴∠B＝90°，
∴∠AGF+∠ABF＝180°，
∴点A，B，F，G四点共圆，
∴∠FAG＝∠FBG＝45°，∠AFB＝∠AGB，
∴∠EAD+∠BAF＝45°，△AGF是等腰直角三角形，
延长CB，使得BM＝DE，连结AM，如图1所示：
（图1）
在△ABM和△ADE中，
，
∴△ABM≌△ADE（SAS），
∴AM＝AE，∠MAB＝∠EAD，
∴∠MAF＝∠MAB+∠BAF＝∠EAD+∠BAF＝45°，
∴∠MAF＝∠EAF＝45°，
在△MAF和△EAF中，
，
∴△MAF≌△EAF（SAS）
∴EF＝MF，
又∵MB＝DE，
∴EF＝DE+BF，∠AFM＝∠AFE，
又∵∠AFB＝∠AGB，
∴∠AGB＝∠AFE，
又∵∠GAH＝∠FAE，
∴△GAH∽△FAE
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
而HG＝，
∴AE＝AH，EF＝5
设DE＝a，则CE＝2a，AD＝BC＝3a，
∵EF＝DE+BF，EF＝5，
∴BF＝5﹣a，CF＝BC﹣BF＝4a﹣5，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，
∴（2a）2+（4a﹣5）2＝25，
解得a＝2，
∴BF＝3，AD＝6＝AB，
∴AF＝＝3，
∵AD∥BC，
∴△ADH∽△FBH，
∴＝＝，
∴HF＝AF＝，
由折叠可知H'F＝HF＝，
连结H，H’，交GF于点N，如图2所示：
（图2）
由折叠可知：∠HNF＝＝90°，
∴AE∥HH'，
∴△HNF∽△AGF，
∴＝＝，
∴HN＝AG，
又∵AB∥DE，
∴△DEG∽△BAG，
∴＝＝，
∴GE＝AG，
∴HN＝GE，
∴H'N＝GE，
∴四边形GEH’N为矩形，
∴GN＝EH'，
∵∠AFG＝45°，由折叠∠HFG＝∠H'FG，
∴△HFH'是等腰直角三角形，
∵HF＝，
∴HH'＝，
∴NF＝，
∵AF＝3，
∴GF＝AG＝，
∴CN＝CF﹣NF＝，
∴EH'＝GN＝，
∴△EFH′的周长为++5，
故答案为：++5．
【点评】此题主要考查学生对正方形的性质，折叠性质的理解和掌握，计算过程中要求学生熟练应用全等三角形、相似三角形的性质，总体难度比较大．
三、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（2x+y）（2x﹣y）﹣x（4x﹣y）；
（2）（1+）．
【分析】（1）先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可；
（2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，再根据乘法法则求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝4x2﹣y2﹣4x2+xy
＝﹣y2+xy；
（2）原式＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，能正确根据整式、分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（10分）如图所示，点A在∠MON的边OM上．
（1）尺规作图：在射线ON上截线段OB，使得OB＝3OA，连接AB，作△AOB的中线AC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若OA＝5，sin∠AOB＝，求tan∠ACO的值．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）过点A作AH⊥OC于H．解直角三角形求出AH，CH，可得结论．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）过点A作AH⊥OC于H．
在Rt△AOH中，sin∠AOH＝＝，OA＝5，
∴AH＝4，OH＝＝＝3，
∵OB＝3OA＝15，
∴OC＝OB＝，
∴CH＝OC﹣0H＝﹣3＝，
∴tan∠ACO＝＝＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（10分）水火箭是一个利用质量比和气压作用而设计的玩具，是初中物理中的一个著名案例，许多同学通过制作水火箭加深了学习物理的兴趣．近日，南开中学初二年级举办了首届水火箭制作与放飞比赛，每班各20支水火箭在操场上空“展翅高飞”，本次比赛以水火箭的飞行距离x（单位：m）作为比赛成绩，物理兴趣小组的同学们统计了一班和二班各20支水火箭的比赛成绩（比赛成绩均为整数），相关数据统计、整理如下：
一班（部分）87、87、87、87、88、89、105、105、105、106、106、106、107、108；
二班：61、62、65、67、76、76、77、79、79、80、80、80、80、105、105、108、110、110、110、132．
一班、二班水火箭比赛成绩统计表：
一班
二班
平均成绩
87.1
87.1
中位数
a
80
众数
87
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 135 ，a＝ 87.5 ，b＝ 80 ．
（2）根据以上数据，你认为该校一班和二班哪个班级的水火箭比赛整体成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）参加此次活动的初二年级一共有45个班，估计这次活动中比赛成绩超过105米的水火箭有多少支？
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可以计算一班和二班x≤70的总人数，减去出二班x≤70的人数可得一班x≤70的人数，然后根据中位数的定义求出a的值，根据整理的数据可得二班水火箭比赛成绩的众数b的值，根据一班和二班70＜x≤90的人数可得m的值；
（2）根据统计图中的数据一班、二班水火箭比赛成绩的平均数相等，利用中位数和众数可以解答本题；
（3）根据统计图中的数据可知一班和二班成绩超过105米的水火箭有10支，求出所占比例从而可以解答本题．
【解答】解：（1）一班和二班x≤70的总人数：（20+20）×+（20+20）×5%＝10（人），
∵二班x≤70的人数有4人，
∴一班x≤70的人数：10﹣4＝6（人），
∴一班水火箭比赛成绩的中位数a＝（87+88）÷2＝87.5，
根据整理的数据可得二班水火箭比赛成绩的众数b＝80，
∵一班和二班70＜x≤90的人数有15人，所对应圆心角的度数为：×360°＝135°，
∴m＝135，
故答案为：135，87.5，80；
（2）一班的水火箭比赛整体成绩更好，
理由：一班、二班水火箭比赛成绩的平均数相等，但是一班水火箭比赛成绩的中位数高于二班，众数高于二班，故一班的水火箭比赛整体成绩更好；
（3）由统计数据可知，一班和二班成绩超过105米的水火箭有10支，
估计这次活动中比赛成绩超过105米的水火箭有45×20×＝225（支），
答：估计这次活动中比赛成绩超过105米的水火箭有225支．
【点评】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们可以通过列表、描点、连线画函数图象，也可以利用平移、对称、旋转等图形变换的方法画出函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝．结合上面经历的学习过程，研究函数y＝|3+|的图象及其性质，并按要求完成下列各题．
（1）当x＝﹣2时，y的值为 1 ；当y＝0时，x的值为 ﹣1 ；函数y＝|3+|中，自变量x的取值范围是 x≠1 ；
（2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质： 当x＞1时，y随x的增大而减小 ；
（3）已知函数y＝x+3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|3+|≥x+3的解集 x≤﹣2或1＜x≤3 ．
【分析】（1）把x＝﹣2代入函数解析式来求得相应的y的值；把y＝0代入函数解析式来求相应的x的值；根据分母不为0，求得自变量x的取值范围．
（2）根据函数图象写出函数的性质．
（3）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）将x＝﹣2代入函数y＝|3+|可得，y＝1；
将y＝0代入函数y＝|3+|可得，x＝﹣1；
函数y＝|3+|中自变量x的取值范围是x≠1，
故答案为1，﹣1，x≠1．
（2）画出函数图象如图：
由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小；
故答案为当x＞1时，y随x的增大而减小；
（3）由图象可知，不等式|3+|≥x+3的解集是x≤﹣2或0≤x＜1或1＜x≤3，
故答案为：x≤﹣2或0≤x＜1或1＜x≤3．
【点评】本题考查反比例函数的图象与一次函数的图象，数形结合是本题解题关键．
23．（10分）江西赣南脐橙和重庆奉节脐橙是两种优质的脐橙品种，都是中国国家地理标志产品，享有“中华名果”之美誉．11月份，某水果经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙共7000千克，总销售额为62000元，已知赣南脐橙单价为每千克8元，奉节脐橙的单价为每千克10元．
（1）求11月份该经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙的销量各是多少千克？
（2）12月份，脐橙大量上市，这种时令水果越来越受到大家的喜爱，该经销商继续销售这两种脐橙，与11月份相比，赣南脐橙和奉节脐橙的单价分别下降了a%和a%，赣南脐橙和奉节脐橙的销量分别增加了a%和%，12月份的总销售额比11月份减少了600元，求a的值．
【分析】（1）设11月份该经销商销售赣南脐橙的销量是x千克，奉节脐橙的销量是y千克，根据总价＝单价×数量，结合“11月份，某水果经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙共7000千克，总销售额为62000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总销售额＝销售单价×销售数量，结合12月份的总销售额比11月份减少了600元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设11月份该经销商销售赣南脐橙的销量是x千克，奉节脐橙的销量是y千克，
依题意得：，
解得：．
答：11月份该经销商销售赣南脐橙的销量是4000千克，奉节脐橙的销量是3000千克；
（2）4000（1+a%）×8（1﹣a%）+3000（1+%）×10（1﹣a%）＝62000﹣600，
整理得：a2+50a﹣600＝0，
解得：a1＝10，a2＝﹣60（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（10分）材料一：如果四位数n满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个数为“等差数”，例如：3423，因为3﹣4＝2﹣3，所以3423是一个“等差数”．
材料二：对于一个四位数n，将这个四位数n千位上的数字与百位上的数字对调、十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数m，记F（n）＝，例如n＝1425，对调千位上数字与百位上数字及十位上数字与个位上数字得到4152，所以F（n）＝＝﹣27．
（1）判断n＝6273是否是“等差数”，并求出F（n）的值；
（2）若s，t都是“等差数”，其中s＝100x+y+7381，t＝1000a+10b+524（0≤x≤6，0≤y≤7，1≤a≤9，0≤b≤7，x、y、a、b都是整数），规定：k＝，若2F（s）﹣F（t）＝27，求k的最大值．
【分析】先根据题意把F（s）和F（t）用含x和a的式子表示出来，再根据题意找到x和y的关系；a和b的关系．然后由2F（s）﹣F（t）＝27找到x和a的关系，最后确定x的值，使k的最大即可．
【解答】解：
（1）∵6﹣2＝4，7﹣3＝4．
∴6273是等差数．
根据对调数的定义，6273的对调数为2637．
∴F（6273）＝．
∴F（6273）＝36．
（2）由题意可知：
s的千位数为：7，百位数为：3+x，十位数为：8，个位数为：1+y．
∴s的对调数为：1000（3+x）+700+10（1+y）+8．
∴F（s）＝．
整理得：F（s）＝．
又∵s是等差数．
∴7﹣（3+x）＝8﹣（1+y）．
∴y＝3+x．
∴F（s）＝．
由题意可知：
t的千位数为：a，百位数为：5，十位数为：2+b，个位数为：4．
∴t的对调数为：5000+100a+40+2+b．
∴F（t）＝．
整理得：F（t）＝．
又∵t是等差数．
∴a﹣5＝2+b﹣4．
∴b＝a﹣3．
∴F（t）＝．
∵2F（s）﹣F（t）＝27．
∴2（36﹣9x）﹣（9a﹣45）＝117﹣18x﹣9a＝27．
∴a＝10﹣2x．
∴．
又∵0≤x≤6，1≤a≤9，且a，x都是整数．
∴x只能取1，2，3，4．
当x＝1时，k＝．
当x＝2时，k＝．
当x＝3时，k＝．
当x＝4时，k＝．
∴k的最大值为2．
【点评】本题主要考查阅读类题型的理解能力和数字的整理计算能力，将F（s）和F（t）分别用含x和a的式子表示出来是解此题的关键．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（2，0）、B两点，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（4，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l：y＝x与抛物线交于E、F两点（点E在F的左侧），点G为线段EF上的一个动点，过G作y轴的平行线交抛物线于点H，求GH+GF的最大值及此时点G的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图2，若点G是OF的中点，将△OBG绕点O旋转，旋转过程中，点B的对应点为B'、点G的对应点为G′，将抛物线沿直线AF的方向平移（两侧均可），在平移过程中点D的对应点为D′，在运动过程中是否存在点B′和点D′关于△ABF的某一边所在直线对称（B′与D′不重合），若存在，请直接写出点B'的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线顶点式，代入点的坐标；
（2）设G（4m，3m），求出GH+GF关于m的函数关系式是二次函数，求二次函数最值；
（3）分为B′与D′关于AF，BF，AB对称三种情形，设B′（a，b），根据B′到原点距离是6及对称列出方程组，从而解得．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2﹣2，
把x＝2，y＝0代入，得：
4a﹣2＝0，
∴a＝，
∴y＝（x﹣4）2﹣2；
（2）设F（x，﹣2），
∴﹣2＝，
∴x＝8，
∴F（8，6），
设G（4m，3m），
∴H（4m，（4m﹣4）2﹣2），
∴GH＝3m﹣（4m﹣4）2+2
＝﹣8m2+19m﹣6，
GF＝（8﹣4m）＝10﹣5m，
∴GH+GF＝﹣8m2+14m+4
＝﹣8（m﹣）+，
∴当m＝时，GH+GF最大＝，
此时G（，）；
（3）∵（2，0），F（8，0），D（4，﹣2），B（6，0）
∴直线AF：y＝x﹣2，直线BD：y＝x﹣6，直线AD：y＝﹣x+2，
直线BF：y＝3x﹣18，
图1，若B′与D′关于AF对称，
∴B′I＝D′I＝AD＝AB，
在等腰Rt△IJB′中，B′I＝JB′，
∴JB′＝AB＝4，
设B′（a，b），
∴Jk＝AK＝a﹣2，
∴b＝KB′＝4+（a﹣2）＝a+2，
由OB′＝6得，
a2+（a+2）2＝36，
∴a＝﹣1或a＝﹣﹣1，
∴B′（﹣1，+1）或B′（﹣﹣1，﹣+1）；
②当B′与D′关于AB对称时，如图2，
∴直线BB′：y＝﹣x+6，
∴B′（x，﹣x+6），
∴x2+（﹣x+6）2＝36，
∴x＝0，或x＝6（舍去）
∴B′（0，6）；
③当B′与D′关于BF对称时，如图3，
设B′（a，b），
∴a2+b2＝36，
∵B′D′⊥BF，
∴kB′D′＝＝﹣，
∴直线B′D′的函数关系式是：y＝﹣（x﹣a）+b＝﹣x+a+b，
设D′（x，x﹣6），
∴﹣x+a+b＝x﹣6，
∴4x＝a+3b+18，
∵P（，），
∴3×﹣18＝，
∴2x＝30﹣3a+b，
∴，
∴7a+b＝42，
∴，
∴50a2﹣588a+1728＝0，
∴a1＝，a2＝6（舍去），
∴B′（，）；
综上所述B′（﹣1，+1）、（﹣﹣1，﹣+1）、（0，6）、（，）．
【点评】本题考查了以二次函数为背景下求二次函数的最值，结合图形的旋转、翻折（对称）、平移求满足一定条件下的点的坐标，解决问题的关键是设点的坐标，根据条件列出方程组．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，西画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图，在菱形ABCD中，分别过点B作BC的垂线，过点D作CD的垂线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝45°，连接AE，BD，求证：AE＝BD；
（2）如图2，若∠ABC＝60°，点F是DE延长线（包括点E）上的一点，点G为EB延长线上的一点，且EF＝BG．连接BF、DG，DG交FB的延长线于点H，连接AH．试猜想线段AH、BH、HD的数量关系并证明你的结论．
（3）如图3，在（2）的条件下，在AH上取一点P，使得HP＝2AP，已知Q为直线ED上一点，连接BQ，连接QP，当BQ+QP最小时，直接写出的值．
【分析】（1）延长BA交DE于F，证明△EFA≌△BFD可得结论．
（2）连接BD，取BF上一点N使BN＝DH，连接AN，EC，过点A作AM⊥BF于M，首先证出△BEF≌△BDG，可得∠EBF＝∠BDG，再证△ABN≌△ADH，可得出AH＝AN，∠NAB＝∠HAD，由∠BAD＝120°可得出∠NAH＝120°，在Rt△AMH中，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
（3）如图3中，取AD的中点J，连接BJ交AC于点K，连接PK，CH．首先证明点P的运动轨迹是以K为圆心KA为半径的⊙P，如图4中，取点P关于DE的对称点P′，连接BP′交DE于点Q，此时BQ+QP最小，由点F是DE延长线上的一点，观察图象可知当点P落在AB上时，点F与E重合，存在QB+QP的值最小（如图5中），由此即可解决问题．
【解答】解：（1）延长BA交DE于F，
∵BE⊥BC，CD⊥DE，
∴∠CBE＝∠CDE＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC＝45°，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠ADB＝∠CDB＝22.5°，∠EBA＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB＝67.5°，
∴EB＝ED，
∵AE＝AE，EB＝AD，
∴△EAB≌△EAD（SSS），
∴∠BAE＝∠DEA＝22.5°，
∵AB∥CD，CD⊥DE，
∴AF⊥DF，
∴∠FDA＝∠FAD＝45°，
∴AF＝DF，
∵∠AFE＝∠DFB，∠AEF＝∠DBF＝22.5°，
∴△EFA≌△BFD（AAS），
∴AE＝BD．
（2）结论：BH+HD＝AH，
理由：连接BD，取BF上一点N使BN＝DH，连接AN，EC，过点A作AM⊥BF于M，
由（1）得△EBD是等边三角形，
∴EB＝ED，∠BED＝∠EBD＝60°，
∴∠FEB＝∠GBD，
在△BEF和△BDG中，
，
∴△BEF≌△BDG（SAS），
∴∠EBF＝∠BDG，
∵∠ABE＝∠ADB＝30°，
∴∠EBF+∠ABE＝∠BDG+∠ADB，即∠FBA＝∠HDA，
在△ABN和△ADH中，
，
∴△ABN≌△ADH，
∴AH＝AN，∠NAB＝∠HAD，
∵∠BAD＝120°，即∠HAD+∠BAH＝120°，
∴∠NAH＝∠NAB+∠BAH＝∠HAD+∠BAH＝120°，
∵AH＝AN，AM⊥BF，
∴∠AHM＝30°，
∴AH＝2AM，AM＝HM＝NH，
∴NH＝AH，
∵NH＝BH+BN＝BH+HD，
∴BH+HD＝AH．
（3）如图3中，取AD的中点J，连接BJ交AC于点K，连接PK，CH．
∵AJ∥BC，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴PK∥CH，
∴＝＝，
由（2）可知，∠AHD＝30°＝∠ACD，
∴△ADH的外接圆的圆心为C，
∴CH＝CA，
∴KP＝AC＝KA，
∴点P的运动轨迹是以K为圆心KA为半径的⊙P，
如图4中，作点P关于DE的对称点P′，连接BP′交DE于点Q，此时BQ+QP最小，
∵点F是DE延长线上的一点，观察图象可知当点P落在AB上时，点F与E重合，存在QB+QP的值最小（如图5中），
∵∠CDQ＝90°，
∴S△QDC＝CD•DQ，S菱形ABCD＝CD×DQ，
∴＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
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