2020-2021学年重庆市开州区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆市开州区九年级（上）期末数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，羊二，直金十两，牛二，填空题，解答题，解答题.等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年重庆市开州区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．+x2＝0 B．2x2﹣3＝0 C．4y﹣2＝0 D．y2﹣3x+2＝0
2．（4分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，6）关于原点对称的点坐标是（　　）
A．（﹣6，2） B．（2，﹣6） C．（2，6） D．（﹣2，﹣6）
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝130°，则∠BDC的度数是（　　）

A．70° B．50° C．25° D．40°
5．（4分）按如图所示的运算程序，若输出的y＝9，则输入的x值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
6．（4分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移1个单位，则平移后的二次函数解析式为（　　）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣1 C．y＝2（x+1）2 D．y＝2（x﹣1）2
7．（4分）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？“译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）下列说法不正确的是（　　）
A．打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查
C．一元二次方程x2﹣2x+1＝0只有一个根
D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2＝0.36，S乙2＝0.54，甲的射击成绩稳定
9．（4分）已知一元二次方程3x2﹣7x+4＝0，则该方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数根 D．无实数根
10．（4分）将若干个小菱形按如图的规律排列：第1个图形有4个小菱形，第2个图形有7个小菱形，第3个图形有10个小菱形，…，则第8个图形有（　　）个小菱形．

A．24 B．25 C．26 D．27
11．（4分）若关于x的分式方程＝﹣4解为正数，且关于y的不等式组恰有五个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．22 B．30 C．32 D．40
12．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（1，0）和（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴的交点在（0，2）上方，有以下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＜0；④0＜＜1；⑤a﹣b＜m（am+b）（m＞1），其中正确的结论个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：本题有6小题，每小题4分，满分24分，将答案填在答题纸上.
13．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1的顶点坐标为　 　．
14．（4分）某校选修课深受学生喜爱，小雨和小田从“川剧”、“健美操”、“游泳”三门课中任选一门学习，两人恰好都选到“川剧”的概率是　 　．
15．（4分）如果一元二次方程x（x﹣6）＝3（x﹣6）的两个根是等腰三角形的两条边的长，那么这个等腰三角形的周长为　 　．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是　 　（结果保留π）．

17．（4分）小重和小庆相约从学校出发沿同一路线到“开心之洲”玩耍．小重出发1分钟后小庆才出发，小重出发6分钟后发现自己钱包没有带，于是立即掉头并将速度提高为原来的两倍跑步回学校，回学校取到钱包后保持跑步的速度立即赶往“开心之洲”，最终比小庆早1分钟到达．小重两次掉头的时间和取钱包的时间忽略不计，小庆全程保持匀速，小重、小庆相距的路程y（米）和小庆出发的时间t（分）之间的函数关系如图所示，则学校到“开心之洲”的路程为 　 　米．

18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，EA平分∠BAD交BC于点E，连接DE，将矩形ABCD沿DE翻折，翻折后点D与点D'点对应，再将所得△C'D'E绕着点E旋转，线段C'D'与线段ED交于点P．当PD＝PC'时，则DC'的长为　 　．

三、解答题：本大题7小题，每小题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（10分）解方程与化简：
（1）解方程：3x2﹣2x﹣8＝0；
（2）化简：÷（x+1﹣）．
20．（10分）为弘扬开州传统文化，某校开展“言子儿进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对言子儿的喜欢情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取　 　名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的度数为　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若调查的A类学生中有2名男生，其余为女生，现从中抽2人进行采访，请画树状图或列表法求刚好选中2名恰好是1男1女的概率．

21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB＝4，∠ABE＝60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积．

22．（10分）任何一个数字不全相同的整数，经有限的“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数．“重排求差”即把组成该数的数字重排后得到的最大的数减去重排后得到的最小的数（若差的位数比原位数少，用0补齐）．如四位数7353，组成该数的数字重排后得到的最大数是7533，重排后得到最小数是3357，相减7533﹣3357＝4176，把4176重复一遍；7641﹣1467＝6174，后面发现四位数的黑洞数是6174．
（1）求证：四位数8392“重排求差”后的数也为黑洞数6174；
（2）请求出三位数的黑洞数．
23．（10分）函数的图象在探索函数的性质中有着非常重要的作用，小林同学根据学习函数的经验，探究了函数y＝ax2+b+x|x﹣2|的图象和性质．
（1）下表给出了部分x、y的取值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣2
2
4
4
2
1
0
﹣1
…
由上表可知，a＝　 　，b＝　 　．
（2）用你喜欢的方法在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝ax2+b+x|x﹣2|的图象，并写出函数的一条性质：　 　．

（3）若方程ax2+b+x|x﹣2|＝﹣x+m恰有两个不同的实数解，请直接写出m的取值范围是：　 　．
24．（10分）开州区扶贫办在精准扶贫中实施产业扶贫，新世纪百货商都积极响应号召，帮助贫困农户进行“举子香肠”和“南门红糖”的销售．“举子香肠”售价是“南门红糖”的两倍，第一个月“举子香肠”和“南门红糖”都卖了500kg，这两种开州特产销售总额为45000元．
（1）第一个月“举子香肠”和“南门红糖”的售价各是多少元每千克？
（2）第二个月继续销售这两种特产，第二个月“举子香肠”售价降低了3m%，销量比第一个月增加了2m%，“南门红糖”售价保持不变，销量比第一个月增加了m%．结果这两种特产第二个月的总销售额比第一个月降低了m%，求m的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC，D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M（﹣2，y）是抛物线上一点，P是抛物线上另一点（点P与点D不重合），当S△BDM＝S△BPM时，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线对称轴上是否存在点Q，使△BMQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线）.
26．（8分）如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，连接DF，BF，过点D作线段AF的垂线交AF于点H，交AB于点G．
（1）如图1，若CF＝1，BF＝，求AC；
（2）如图1，求证：HG+EF＝AH；
（3）如图2，若正方形的边长为2，点E在BC边所在直线上运动时，过点C作CM⊥DF交DF于点M，取AD的中点N，请直接写出线段MN的取值范围．


2020-2021学年重庆市开州区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．+x2＝0 B．2x2﹣3＝0 C．4y﹣2＝0 D．y2﹣3x+2＝0
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、未知数的最高次数为1次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（4分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，6）关于原点对称的点坐标是（　　）
A．（﹣6，2） B．（2，﹣6） C．（2，6） D．（﹣2，﹣6）
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
【解答】解：点（﹣2，6）关于原点对称的点坐标是（2，﹣6），
故选：B．
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝130°，则∠BDC的度数是（　　）

A．70° B．50° C．25° D．40°
【分析】根据邻补角的性质求得∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得∠BDC的度数，
【解答】解：∵∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝50°，
∴∠BDC＝∠BOC＝25°．
故选：C．
5．（4分）按如图所示的运算程序，若输出的y＝9，则输入的x值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【分析】将各选项的值代入运算选择即可．
【解答】解：A．∵x＝3＞2，
∴y＝32﹣7＝2，不合题意；
B．∵x＝﹣3＜2，
∴y＝2|x|﹣1＝2×3﹣1＝5，不合题意；
C．∵x＝5＞2，
∴y＝52﹣7＝18，不合题意；
D．∵x＝﹣5＜2，
∴y＝2|x|﹣1＝2×5﹣1＝9，符合题意；
故选：D．
6．（4分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移1个单位，则平移后的二次函数解析式为（　　）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣1 C．y＝2（x+1）2 D．y＝2（x﹣1）2
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向右平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为：y＝2（x﹣1）2．
故选：D．
7．（4分）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？“译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：B．
8．（4分）下列说法不正确的是（　　）
A．打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查
C．一元二次方程x2﹣2x+1＝0只有一个根
D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2＝0.36，S乙2＝0.54，甲的射击成绩稳定
【分析】根据随机事件、抽样调查的概念、一元二次方程根的情况及方差的意义逐一求解即可．
【解答】解：A．打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件，此选项说法正确；
B．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，此选项说法正确；
C．一元二次方程x2﹣2x+1＝0有两个相等的实数根，此选项说法错误；
D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2＝0.36，S乙2＝0.54，甲的射击成绩的方差小，成绩稳定，此选项说法正确；
故选：C．
9．（4分）已知一元二次方程3x2﹣7x+4＝0，则该方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数根 D．无实数根
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a＝3，b＝﹣7，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×3×4＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
10．（4分）将若干个小菱形按如图的规律排列：第1个图形有4个小菱形，第2个图形有7个小菱形，第3个图形有10个小菱形，…，则第8个图形有（　　）个小菱形．

A．24 B．25 C．26 D．27
【分析】根据图形的变化规律即可得第8个图形中小菱形的个数．
【解答】解：第1个图形有4个小菱形，即4+3×0＝4；
第2个图形中有7个小菱形，即4+3×1＝7；
第3个图形中有10个小菱形，即4+3×2＝10；
…，
按此规律排列下去，
所以第8个图形中小菱形的个数为：4+3×7＝25．
故选：B．
11．（4分）若关于x的分式方程＝﹣4解为正数，且关于y的不等式组恰有五个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．22 B．30 C．32 D．40
【分析】关于x的分式方程＝﹣4的解为a﹣5，由题意可得a﹣5＞0，且a﹣5≠3，可得a＞5且a≠8；关于y的不等式组的解集为，由于关于y的不等式组恰有五个整数解，可得3＜a≤9，综上可确定a的取值范围为5＜a≤9且a≠8，a的整数解可求，结论可得．
【解答】解：＝﹣4．
去分母得：
2﹣6x+2a＝4（3﹣x）．
解得：x＝a﹣5．
∵方程有可能产生增根3，
∴a﹣5≠3．
∴a≠8．
∵关于x的分式方程＝﹣4解为正数，
∴a﹣5＞0．
∴a＞5．
∵关于y的不等式组的解集为，
又∵关于y的不等式组恰有五个整数解，
∴．
解得：3＜a≤9．
综上，a的取值范围为5＜a≤9且a≠8．
∵a为整数，
∴a＝6或7或9．
∴所有满足条件的整数a的和为6+7+9＝22．
故选：A．
12．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（1，0）和（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴的交点在（0，2）上方，有以下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＜0；④0＜＜1；⑤a﹣b＜m（am+b）（m＞1），其中正确的结论个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口方向，对称轴，顶点坐标，以及与x轴、y轴的交点坐标综合进行判断即可．
【解答】解：由抛物线的开口向下可得a＜0，对称轴在y轴的左侧，因此b＜0，而c＞2，
所以abc＞0，故①正确；
∵﹣＞﹣1，a＜0，
∴b＞2a，
∴2a﹣b＜0，故②错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵b＞2a，
∴3a+c＜0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（1，0），及（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，
∴二次函数的对称轴﹣＜﹣＜0，
∴0＜＜1，故④正确；
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
当x＝m＞1时，y＝am2+bm+c＜0，
∴a﹣b＞m（am+b）（m＞1），故⑤错误；
综上所述，正确的结论有①③④，
故选：B．
二、填空题：本题有6小题，每小题4分，满分24分，将答案填在答题纸上.
13．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1的顶点坐标为　（1，1）　．
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1，
∴抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1的顶点坐标为：（1，1），
故答案为：（1，1）．
14．（4分）某校选修课深受学生喜爱，小雨和小田从“川剧”、“健美操”、“游泳”三门课中任选一门学习，两人恰好都选到“川剧”的概率是　　．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果数，其中两人恰好都选到“川剧”的结果数为1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“川剧”、“健美操”、“游泳”分别记为A、B、C，
画树状图如图：

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好都选到“川剧”的结果数为1种，
所以两人恰好都选到“川剧”的概率为，
故答案为：．
15．（4分）如果一元二次方程x（x﹣6）＝3（x﹣6）的两个根是等腰三角形的两条边的长，那么这个等腰三角形的周长为　15　．
【分析】利用等腰三角形的性质分类讨论即可得到答案．
【解答】解：解方程x（x﹣6）＝3（x﹣6）得：x1＝3，x2＝6．
当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为6，此时三角形的周长为：6+6+3＝15；
当长度为6的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，此时3+3＝6，不能构成三角形．
综上所述，这个等腰三角形的周长为15．
故答案是：15．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是　24﹣4π　（结果保留π）．

【分析】用矩形的面积减去四分之一圆的面积即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，
∴S阴影＝S矩形﹣S四分之一圆＝6×4﹣π×42＝24﹣4π，
故答案为：24﹣4π．
17．（4分）小重和小庆相约从学校出发沿同一路线到“开心之洲”玩耍．小重出发1分钟后小庆才出发，小重出发6分钟后发现自己钱包没有带，于是立即掉头并将速度提高为原来的两倍跑步回学校，回学校取到钱包后保持跑步的速度立即赶往“开心之洲”，最终比小庆早1分钟到达．小重两次掉头的时间和取钱包的时间忽略不计，小庆全程保持匀速，小重、小庆相距的路程y（米）和小庆出发的时间t（分）之间的函数关系如图所示，则学校到“开心之洲”的路程为 　2160　米．

【分析】设小庆的速度为a米/分，小重开始的速度为b米/分，根据图象可得3分钟时，两人相距为0，5分钟时，两人相距为40米，列方程组可得a，b的值，可得小重提速后的速度，设小庆t分钟到达．则小重用时（t+1﹣6﹣3﹣1）分钟，根据路程相等列方程求出t，小庆的速度×t即可得学校到“开心之洲”的路程．
【解答】解：设小庆的速度为a米/分，小重开始的速度为b米/分，根据图象可得3分钟时，两人相距为0，5分钟时，两人相距为40米，
∴，解得：，
即小庆的速度为80米/分，小重开始的速度为60米/分，
∴小重提速后的速度为60×2＝120（米/分），
设小庆t分钟到达．则小重用时（t+1﹣6﹣3﹣1）分钟，
80t＝120（t+1﹣6﹣3﹣1），解得：t＝27，
∴学校到“开心之洲”的路程为80×27＝2160（米）．
故答案为：2160．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，EA平分∠BAD交BC于点E，连接DE，将矩形ABCD沿DE翻折，翻折后点D与点D'点对应，再将所得△C'D'E绕着点E旋转，线段C'D'与线段ED交于点P．当PD＝PC'时，则DC'的长为　　．

【分析】先求出EC＝3，DE＝5，由折叠的性质可得CE＝C'E＝3，设C′P＝x，则DP＝x，PE＝DE﹣DP＝5﹣x，在Rt△EC′P中，由勾股定理可求C'P，由锐角三角函数分别求出C'H，DH的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠BAD＝∠C＝∠B＝90°，
∵EA平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE＝4，
∴EC＝BC﹣BE＝3，
∴DE＝＝＝5，
∵将矩形ABCD沿DE翻折，
∴CE＝C'E＝3，
如图，

设C′P＝x，则DP＝x，PE＝DE﹣DP＝5﹣x，
在Rt△EC′P中，（5﹣x）2＝x2+32，
∴x＝，
∴C'P＝DP＝，
∴EP＝5﹣＝，
∵sin∠C'EP＝，
∴，
∴C'H＝，
∵cos∠C'EP＝＝，
∴＝，
∴EH＝，
∴DH＝DE﹣EH＝，
∴C'D＝＝＝，
故答案为．
三、解答题：本大题7小题，每小题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（10分）解方程与化简：
（1）解方程：3x2﹣2x﹣8＝0；
（2）化简：÷（x+1﹣）．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算即可．
【解答】解：（1）∵3x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x﹣2）（3x+4）＝0，
则x﹣2＝0或3x+4＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣；
（2）原式÷（﹣）
＝•
＝．
20．（10分）为弘扬开州传统文化，某校开展“言子儿进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对言子儿的喜欢情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取　50　名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的度数为　72°　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若调查的A类学生中有2名男生，其余为女生，现从中抽2人进行采访，请画树状图或列表法求刚好选中2名恰好是1男1女的概率．

【分析】（1）与C类学生人数和所占百分比求出共抽取的学生人数，：12÷24%＝50（人），再由360°乘以D类所占的比例即可；
（2）求出A类学生人数，补充条形统计图即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次共抽取学生：12÷24%＝50（名），
D类所对应的扇形圆心角的大小360°×＝72°，
故答案为：50，72°；
（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（名），
条形统计图补充如下：

（3）A类学生中有2名男生，则女生为3名，
画树状图如图：

共有20个等可能的结果，刚好选中2名恰好是1男1女的结果有12个，
∴刚好选中2名恰好是1男1女的概率为＝．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB＝4，∠ABE＝60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OE，如图，根据切线的性质由CD与⊙O相切得到OD⊥CD，而AD⊥CD，则OE∥AD，所以∠DAE＝∠AEO，由于∠AEO＝∠OAE，所以∠OAE＝∠DAE；
（2）根据圆周角定理由AB是直径得到∠AEB＝90°，由于∠ABE＝60°，则∠EAB＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ABE中，计算出BE＝AB＝2，AE＝BE＝2；在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，计算出DE＝AE＝，AD＝DE＝3；
②先计算出∠AOE＝120°，然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△AOE＝S扇形AOE﹣S△ABE进行计算．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OE∥AD，
∴∠DAE＝∠AEO，
∵AO＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠OAE＝∠DAE，
∴AE平分∠DAC；
（2）解：①∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．
∴∠EAB＝30°，
在Rt△ABE中，BE＝AB＝×4＝2，
AE＝BE＝2，
在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，
∴DE＝AE＝，
∴AD＝DE＝×＝3；
②∵OA＝OB，
∴∠AEO＝∠OAE＝30°，
∴∠AOE＝120°，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△AOE
＝S扇形AOE﹣S△ABE
＝﹣••2•2
＝π﹣．

22．（10分）任何一个数字不全相同的整数，经有限的“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数．“重排求差”即把组成该数的数字重排后得到的最大的数减去重排后得到的最小的数（若差的位数比原位数少，用0补齐）．如四位数7353，组成该数的数字重排后得到的最大数是7533，重排后得到最小数是3357，相减7533﹣3357＝4176，把4176重复一遍；7641﹣1467＝6174，后面发现四位数的黑洞数是6174．
（1）求证：四位数8392“重排求差”后的数也为黑洞数6174；
（2）请求出三位数的黑洞数．
【分析】（1）根据题中定义计算8392的黑洞数即可；
（2）根据定义方法随机假设一个数字不全相同的三位数计算黑洞数即可．
【解答】解：（1）8392“重排求差”：9832﹣2389＝7443，
7443“重排求差”：7443﹣3447＝3996，
3996“重排求差”：9963﹣3699＝6264，
6264“重排求差”：6642﹣2466＝4176，
4176“重排求差”：7641﹣1467＝6174，
故四位数8392“重排求差”后的数也为黑洞数6174；
（2）假设三位数为123，
123“重排求差”：321﹣123＝198，
198“重排求差”：981﹣189＝792，
792“重排求差”：972﹣279＝693，
693“重排求差”：963﹣369＝594，
594“重排求差”：954﹣459＝495，
故三位数的黑洞数为495．
23．（10分）函数的图象在探索函数的性质中有着非常重要的作用，小林同学根据学习函数的经验，探究了函数y＝ax2+b+x|x﹣2|的图象和性质．
（1）下表给出了部分x、y的取值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣2
2
4
4
2
1
0
﹣1
…
由上表可知，a＝　﹣　，b＝　4　．
（2）用你喜欢的方法在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝ax2+b+x|x﹣2|的图象，并写出函数的一条性质：　x＞2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）　．

（3）若方程ax2+b+x|x﹣2|＝﹣x+m恰有两个不同的实数解，请直接写出m的取值范围是：　4＜m＜5　．
【分析】（1）将（0，4）、（1，4）代入函数表达式，即可求解；
（2）根据表格数据描点连线即可绘制函数图象，观察函数图象即可求解；
（3）当直线y＝﹣x+m与直线y＝﹣x+4重合时（m＝4），即此时该函数和左侧抛物线有一个交点和直线y＝﹣x+4重合，是一个临界状态，当直线y＝﹣x+m与左侧抛物线有一个交点（见上图，虚线l为直线y＝﹣x+m）为另外一个临界状态，进而求解．
【解答】解：（1）将（0，4）、（1，4）代入函数表达式得，解得，
∴a＝﹣，b＝4；

（2）根据表格数据描点连线绘制函数图象如下：

从图象看，x＞2时，y随x的增大而减小，
故答案为：x＞2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；

（3）由（1）知，函数的表达式为y＝﹣x2+4+x|x﹣2|，
当x＞2时，y＝﹣x2+4+x|x﹣2|＝﹣x+4，为一次函数，
当x≤2时，y＝﹣x2+4+x|x﹣2|＝﹣x2+4+x，为二次函数，
当直线y＝﹣x+m与直线y＝﹣x+4重合时（m＝4），即此时该函数和左侧抛物线有一个交点和直线y＝﹣x+4重合，是一个临界状态，
当直线y＝﹣x+m与左侧抛物线有一个交点（见上图，虚线l为直线y＝﹣x+m），是另外一个临界状态，
联立y＝﹣x2+4+x与y＝﹣x+m得：x2﹣2x+m﹣4＝0，
则△＝4﹣4（m﹣4）＝0，解得m＝5，
故m的取值范围是4＜m＜5，
故答案为4＜m＜5．
24．（10分）开州区扶贫办在精准扶贫中实施产业扶贫，新世纪百货商都积极响应号召，帮助贫困农户进行“举子香肠”和“南门红糖”的销售．“举子香肠”售价是“南门红糖”的两倍，第一个月“举子香肠”和“南门红糖”都卖了500kg，这两种开州特产销售总额为45000元．
（1）第一个月“举子香肠”和“南门红糖”的售价各是多少元每千克？
（2）第二个月继续销售这两种特产，第二个月“举子香肠”售价降低了3m%，销量比第一个月增加了2m%，“南门红糖”售价保持不变，销量比第一个月增加了m%．结果这两种特产第二个月的总销售额比第一个月降低了m%，求m的值．
【分析】（1）设第一个月“南门红糖”的售价为x元/千克，则“举子香肠”的售价为2x元/千克，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量，结合这两种特产第二个月的总销售额比第一个月降低了m%，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一个月“南门红糖”的售价为x元/千克，则“举子香肠”的售价为2x元/千克，
依题意得：500x+500×2x＝45000，
解得：x＝30，
∴2x＝60．
答：第一个月“举子香肠”的售价为60元/千克，“南门红糖”的售价为30元/千克．
（2）依题意得：60（1﹣3m%）×500（1+2m%）+30×500（1+m%）＝45000（1﹣m%），
整理得：18m2﹣225m＝0，
解得：m1＝，m2＝0（不合题意，舍去）．
答：m的值为．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC，D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M（﹣2，y）是抛物线上一点，P是抛物线上另一点（点P与点D不重合），当S△BDM＝S△BPM时，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线对称轴上是否存在点Q，使△BMQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】①利用题目已知条件可以分别求出A，B，C三点坐标，用一般式联立可以求出抛物线解析式，顶点D的坐标也可求得；
②利用点到直线距离公式，两个三角形同底，高必然相等求出P点坐标；
③设Q点坐标，使用两点之间距离公式，再利用直角三角形三边符合勾股定理求出Q点坐标．
【解答】解：（1）由题意可知A（﹣3，0），
∵OA＝OC，
∴C（0，﹣3），
∵对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
设解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），
将A（﹣3，0），C（0，﹣3），b＝2a，
，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3，顶点D（﹣1，﹣4），
故抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）∵点M在抛物线上，
∴将M点的横坐标x＝﹣2代入y＝x2+2x﹣3得y＝﹣3，
∴M（﹣2，﹣3），
由第（1）可知D（﹣1，﹣4），B（1，0），
∵M（﹣2，﹣3）；
∴直线BM直线方程为：y＝x﹣1，
∴DM＝，BM＝，BD＝，DM2+BM2＝BD2，
∴∠BMD＝90°，△BMD的高为DM＝，
在y轴上找一点E（0，1），得BE＝，分别过点E，D作BM的平行线，分别交抛物线于点P1，P2，P3，
则P1P2，DP3所在直线k＝1，
设P1P2直线为y＝x+m，将E（0，1）代入，得y＝x+1，
联立直线和抛物线，得x＝或x＝，
∴P1（，），P2（，），
设DP3直线为y＝x+n，将D（﹣1，﹣4）代入，得y＝x﹣3，
联立直线和抛物线，得x＝﹣3或x＝0（舍去），
∴P3（0，﹣3），
故P点坐标为（，）或（，）或（0，﹣3），
（3）存在，Q点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，﹣4）或（﹣1，1）．
理由如下：点Q在对称轴上，可设点Q坐标为（﹣1，n），
∵M（﹣2，﹣3），B（1，0），
∴BM2＝（﹣2﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝18，
BQ2＝（﹣1﹣1）2+（n﹣0）2＝4+n2，
MQ2＝（﹣1﹣（﹣2））2+（n﹣（﹣3））2＝1+（n+2）2＝n2+6n+10，
当∠MBQ＝90°时，BM2+BQ2＝MQ2，
18+4+n2＝1+（n+2）2＝n2+6n+10，
解得n＝2，Q（﹣1，2）；
当∠BMQ＝90°时，BM2+MQ2＝BM2，
18+n2+6n+10＝4+n2，
解得n＝﹣4（与顶点D重合），Q（﹣1，﹣4）；
当∠BQM＝90°时，MQ2+BQ2＝BM2，
1+（n+2）2＝n2+6n+10+4+n2＝18，
解得n＝1或n＝﹣4（与顶点D重合），Q（﹣1，1）或P（﹣1，﹣4）．
综上所得，Q点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，﹣4）或（﹣1，1）．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线）.
26．（8分）如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，连接DF，BF，过点D作线段AF的垂线交AF于点H，交AB于点G．
（1）如图1，若CF＝1，BF＝，求AC；
（2）如图1，求证：HG+EF＝AH；
（3）如图2，若正方形的边长为2，点E在BC边所在直线上运动时，过点C作CM⊥DF交DF于点M，取AD的中点N，请直接写出线段MN的取值范围．

【分析】（1）如图1中，取AC的中点O，连接OF，OB，过点B作BJ⊥BF交AF于J．证明△BFJ是等腰直角三角形，推出BJ＝BF＝，FJ＝BF＝2，证明△ABJ≌△CBF（SAS），推出AJ＝CF＝1，求出AF，利用勾股定理，可得结论．
（2）如图1﹣1中，过点B作BQ⊥AF于Q．首先证明BQ＝QF，证明△ADG≌△BAE（ASA），推出AH＝BQ（全等三角形的对应边上的高相等），AG＝BE，再证明Rt△AHG≌△BQE（HL），推出GH＝QE，可得结论．
（3）如图2中，取CD的中点R，连接NR，RM．求出RM，RN，根据RN﹣RM≤MN≤RN+RM，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，取AC的中点O，连接OF，OB，过点B作BJ⊥BF交AF于J．

∵CF⊥AF，
∴∠AFC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
∵OA＝OC，
∴OF＝AC，OB＝AC，
∴OA＝OB＝OF＝OC，
∴A，B，F，C四点共圆，
∴∠AFB＝∠ACB＝45°，
∵BJ⊥BF，
∴△BFJ是等腰直角三角形，
∴BJ＝BF＝，FJ＝BF＝2，
∵∠ABC＝∠FBJ＝90°，
∴∠ABJ＝∠CBF，
∵BA＝BC，BJ＝BF，
∴△ABJ≌△CBF（SAS），
∴AJ＝CF＝1，
∴AF＝AJ+JF＝1+2＝3，
∴AC＝＝＝．

（2）证明：如图1﹣1中，过点B作BQ⊥AF于Q．

由（1）可知，∠AFB＝45°，
∵BQ⊥AF，
∴∠BQF＝90°，∠BFQ＝∠QBF＝45°，
∴BQ＝QF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB∠DAC＝∠ABE＝90°，
∵DG⊥AF，
∴∠EAB+∠AGD＝90°，∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠ADG＝∠BAE，
∴△ADG≌△BAE（ASA），
∴AH＝BQ（全等三角形的对应边上的高相等），AG＝BE，
∵∠AHG＝∠BQE＝90°，
∴Rt△AHG≌Rt△BQE（HL），
∴GH＝QE，
∵AH＝BQ＝FQ，GH＝QE，
∴AH＝FQ＝QE+EF＝GH+EF．

（3）解：如图2中，取CD的中点R，连接NR，RM．

∵CM⊥DF，
∴∠DMC＝90°，
∴RM＝CD＝1，
∵DN＝AN＝1，DR＝RC＝1，∠NDR＝90°，
∴RN＝＝＝，
∴RN﹣RM≤MN≤RN+RM，
∴﹣1≤MN≤+1．
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日期：2021/8/10 22:47:08；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298