初中数学苏科版七年级下册第12章 证明综合与测试学案

命题与证明

一、主要内容     

1、定义、命题、真命题、假命题           2、证明          3、互逆命题

二、基本概念

1、定义、命题、真命题、假命题

定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义.

命题：判断一件事情的句子叫命题．

真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题.

假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题.

要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.

1. 下列命题是真命题的是（　　）

A．如果|a|=1，那么a=1

B．有两条边相等的三角形是等腰三角形

C．如果a为实数，那么a是有理数

D．相等的角是对顶角.；

举一反三：【变式】下列命题中，真命题的个数有（　　）

①对顶角相等 　②同位角相等　③4的平方根是2 　④若a＞b，则-2a＞-2b

A．3个　　　　B．1个　　　　　C．4个 　　　　　D．2个

2、证明

根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明．经过证明的真命题称为定理.

证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.

证明的步骤：1.根据题意，画出图形；

2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；

3.写出证明过程.

要点诠释：推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理. 

3、互逆命题

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.

把一个命题的条件与结论互换，就得到它的逆命题，我们能够判断一个命题及其它的逆命题的真假.证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了.

要点诠释：每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.

反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.

1、下列命题中，逆命题正确的是（   ）

A.对顶角相等                      B.直角三角形两锐角互余

C.全等三角形面积相等              D.全等三角形对应角相等

举一反三：【变式】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒，得到新的命题，并判断这些命题的真假．
(1)对顶角相等；        (2)两直线平行，同位角相等；
(3)若a=0，则ab=0；    (4)两条直线不平行，则一定相交；

2、对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，请你以其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果…，那么…”的形式，写出两个正确的命题．

三、课堂讲解                            

1．下列语句不是命题的是（    ）

A．两点之间，线段最短                  B．不平行的两条直线有一个交点     

C．x与y的和等于0吗？                D．对顶角不相等

2．下列命题中的真命题是（　　）

A．邻补角是两个互补的角

B．同位角相等

C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行

D．两条直线相交，有两个角相等，则两条直线互相垂直

3．下列命题是假命题的是（　　）

A．若|x+2|+（y-5）2=0则x=-2，y=5 

B．x＜y，则x+2008＜y+2008

C．平移不改变图形的形状和大小

D．单项式 的系数是

4. 在下列真命题中，逆命题也是真命题的是（　　）

A．若a＞0，b＞0，则a+b＞0           B．对顶角相等     

C．相反数的绝对值相等                D．等腰三角形的底角相等

5．下列语句中，属于命题的是(　　)

A．直线AB和CD垂直吗    B．过线段AB的中点C画AB的垂线

C．同旁内角不互补，两直线不平行   D．连接A，B两点

6．下列四个命题中，属于真命题的是(　　)

A．互补的两角必有一条公共边       B．同旁内角互补

C．同位角不相等，两直线不平行     D．一个角的补角大于这个角

7．同一平面内的三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则下列结论中成立的是(　　)

A．a∥c          B．a⊥c          C．a＝c          D．a∥b∥c

8．下列选项中，可以用来证明命题“若|a－1|＞1，则a＞2”是假命题的反例是(　　)

A．a＝2          B．a＝1          C．a＝0          D．a＝－1

9．下列命题中，其逆命题成立的是________．（只填写序号）

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④对顶角相等．

10．“邻补角互补”的逆命题是___________________________．这是一个___（填“真”或“假”）命题．

11．“如果a＞b，那么ac＞bc”是真命题还是假命题？如果是假命题，举一个反例并添加适当的条件使它成为真命题．

12．证明：两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线互相平行．

【达标检测】

一、    选择题

1．下列语句中属于命题的是(　　)

A．作直线AB的平行线        B．同旁内角相等

C．∠1与∠2互余吗          D．在线段AB上取点C

2．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(　　)

A．垂直   B．两条直线   C．同一条直线   D．两条直线垂直于同一条直线

二、填空题

3．命题“直角都相等”的逆命题是____________________________．

4．对于平面内的三条直线a，b，c，给出了下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，写出一个你认为正确的命题：_________________________________________.

5．把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式：                             ．

6.命题“如果m是整数，那么它是有理数”的逆命题为__________________________．

三、解答题

7.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，FG⊥AB于点G，DE∥BC.

求证：∠1＝∠2.

以下是推理过程，请你补充完整：

证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB，

∴∠CDB＝∠FGB＝90°(垂直的定义)，

∴______∥FG(___________________________)，

∴∠______＝∠3(______________________)．

又∵DE∥BC(已知)，

∴∠______＝∠3(两直线平行，内错角相等)，

∴∠1＝∠2(________________)．

8、如图，△ABE中，∠A＝∠E，BE是∠DBC的平分线．求证：∠ACB＝3∠A.