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福建省泉州市南安市2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份福建省泉州市南安市2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省泉州市南安市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠1
2．在下列各数中是无理数的有（ ）
﹣0.333…，，，3π，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0），76.0123456…（小数部分由连续的自然数组成）．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．下列各题中，运算正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a•a3•a7＝a10
C．（a3）2•（﹣a4）3＝﹣a18 D．（﹣a3）2＝﹣a6
4．下列各数（﹣2）0，﹣（﹣2），（﹣2）2，（﹣2）3中，负数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列各因式分解正确的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．﹣x2+（﹣2）2＝（x﹣2）（x+2）
C．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2） D．（x+1）2＝x2+2x+1
6．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
7．下列各式中，计算结果是x2+7x﹣18的是（ ）
A．（x﹣1）（x+18） B．（x+2）（x+9）
C．（x﹣3）（x+6） D．（x﹣2）（x+9）
8．若M＝（a+3）（a﹣4），N＝（a+2）（2a﹣5），其中a为有理数，则M、N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
9．已知9x2+axy+4y2是一个完全平方式，则a的值为（ ）
A．6 B．12 C．±6 D．±12
10．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（ ）
A．a+b B．a﹣b C．﹣a+b D．﹣a﹣b
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．的算术平方根是 ．
12．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则+＝ ．
13．如果2xy2•A＝6x2y2﹣4x3y3，那么A＝ ．
14．若（3x2﹣2x+1）（x+b）的积中不含x的一次项，则b的值为 ．
15．代数式的最小值是 ．
16．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536，依据上述规律，通过计算判断3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）[（a+1）﹣（1+a）2]÷（﹣2a）；
（2）（2x﹣3）（x﹣2）﹣2（x﹣1）2．
18．分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2．
（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）．
19．先化简后求值：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝3，y＝1.5．
20．a、b满足a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0，求a+2b的值．
21．若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，试求x与y的值．
22．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
23．用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下一个洞，这个洞恰好是一个小正方形．
（1）用不同方法计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多5cm时，它的面积就多75cm2，求中间小正方形的边长．
24．我们已学完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，观察下列式子：x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2；﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2，并完成下列问题
（1）﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+m）2+n≤n，则m＝ ；n＝ ；
（2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务：
①列式：用含x的式子表示花圃的面积： ；
②请说明当x取何值时，花圃的最大面积时多少平方米？
25．我们已经知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家已发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2．
（1）在图②，若a＝8，c＝17，则b＝ ；
（2）观察图②，利用面积与代数恒等式的关系，试说明a2+b2＝c2的正确性．其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上；
（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长．
2020-2021学年福建省泉州市南安市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故选：A．
2．在下列各数中是无理数的有（ ）
﹣0.333…，，，3π，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0），76.0123456…（小数部分由连续的自然数组成）．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：＝2，
，3π，76.0123456…（小数部分由连续的自然数组成），是无理数，共有3个，
故选：A．
3．下列各题中，运算正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a•a3•a7＝a10
C．（a3）2•（﹣a4）3＝﹣a18 D．（﹣a3）2＝﹣a6
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a4与a5是加不是乘，计算错误，故本选项错误；
B、a•a3•a7＝a1+3+7＝a11，故本选项错误；
C、（a3）2•（﹣a4）3＝a6•（﹣a12）＝﹣a18，故本选项正确；
D、（﹣a3）2＝a6，故本选项错误．
故选：C．
4．下列各数（﹣2）0，﹣（﹣2），（﹣2）2，（﹣2）3中，负数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别计算后，再找出负数的个数．
【解答】解：∵（﹣2）0＝1，﹣（﹣2）＝2，（﹣2）2＝4，（﹣2）3＝﹣8，
∴负数的个数有1个．
故选：A．
5．下列各因式分解正确的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．﹣x2+（﹣2）2＝（x﹣2）（x+2）
C．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2） D．（x+1）2＝x2+2x+1
【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．
【解答】解：A、x2+2x﹣1无法因式分解，故A错误；
B、﹣x2+（﹣2）2＝（2+x）（2﹣x），故B错误；
C、x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），故C正确；
D、（x+1）2＝x2+2x+1，是多项式的乘法，不是因式分解，故D错误．
故选：C．
6．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：B．
7．下列各式中，计算结果是x2+7x﹣18的是（ ）
A．（x﹣1）（x+18） B．（x+2）（x+9）
C．（x﹣3）（x+6） D．（x﹣2）（x+9）
【分析】根据多项式乘多项式的法则，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、原式＝x2+17x﹣18；
B、原式＝x2+11x+18；
C、原式＝x2+3x﹣18；
D、原式＝x2+7x﹣18．
故选：D．
8．若M＝（a+3）（a﹣4），N＝（a+2）（2a﹣5），其中a为有理数，则M、N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
【分析】把M与N代入M﹣N中计算，判断差的正负即可得到结果．
【解答】解：∵M﹣N＝（a+3）（a﹣4）﹣（a+2）（2a﹣5）＝a2﹣a﹣12﹣2a2+a+10＝﹣a2﹣2≤﹣2＜0，
∵M＜N．
故选：B．
9．已知9x2+axy+4y2是一个完全平方式，则a的值为（ ）
A．6 B．12 C．±6 D．±12
【分析】根据完全平方式得出﹣axy＝±2•3x•2y，求出即可．
【解答】解：∵9x2+ay+4y2是一个完全平方式，
∴axy＝±2•3x•2y，
解得：a＝±12，
故选：D．
10．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（ ）
A．a+b B．a﹣b C．﹣a+b D．﹣a﹣b
【分析】根据数轴上点的位置确定出a与b的正负，原式利用绝对值的代数意义化简即可求出值．
【解答】解：由数轴得，b＜，0＜a＜，
∴b+＜0，a＜0，
∴
＝﹣（a）﹣（b+）
＝﹣a﹣b﹣）
＝﹣a﹣b．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．的算术平方根是 2 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵＝4，
∴的算术平方根是＝2．
故答案为：2．
12．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则+＝ ﹣1 ．
【分析】利用相反数及负倒数的定义求出a+b与cd的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝﹣1，
则原式＝+＝0﹣1＝﹣1．
故答案为：﹣1
13．如果2xy2•A＝6x2y2﹣4x3y3，那么A＝ 3x﹣2x2y ．
【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵2xy2•A＝6x2y2﹣4x3y3，
∴A＝（6x2y2﹣4x3y3）÷2xy2
＝3x﹣2x2y．
故答案为：3x﹣2x2y．
14．若（3x2﹣2x+1）（x+b）的积中不含x的一次项，则b的值为 ．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出﹣2b+1＝0，求出即可．
【解答】解：（3x2﹣2x+1）（x+b）＝3x3+3bx2﹣2x2﹣2bx+x+b
＝3x3+（3b﹣2）x2+（﹣2b+1）x+b，
∵积中不含x的一次项，
∴﹣2b+1＝0，
解得：b＝，
故答案为：．
15．代数式的最小值是 1+ ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
，
解得：a≥2，
故代数式的最小时，a＝2，
故原式＝+1+0＝1+．
故答案为：1+．
16．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536，依据上述规律，通过计算判断3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是 6 ．
【分析】观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．
【解答】解：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536，
观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6；
3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1
＝（4﹣1）×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1
＝（42﹣1）×（42+1）（44+1）…（432+1）+1
＝（44﹣1）（44+1）…（432+1）+1
＝464．
可知464的个位数字是6，
故3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是6．
故答案为：6．
三．解答题
17．计算：
（1）[（a+1）﹣（1+a）2]÷（﹣2a）；
（2）（2x﹣3）（x﹣2）﹣2（x﹣1）2．
【分析】（1）根据整式的混合计算解答即可；
（2）根据整式的乘法和完全平方公式解答即可．
【解答】解：原式＝[（a+1）﹣（1+2a+a2）]÷（﹣2a）
＝（a+1﹣1﹣2a﹣a2）÷（﹣2a）
＝（﹣a﹣a2）÷（﹣2a）
＝；
（2）原式＝（2x2﹣4x﹣3x+6）﹣2（x2﹣2x+1）
＝2x2﹣4x﹣3x+6﹣2x2+4x﹣2
＝﹣3x+4．
18．分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2．
（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）．
【分析】（1）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝3a（x2﹣2xy+y2）
＝3a（x﹣y）2；
（2）原式＝（x+y）2﹣4（x+y）+4
＝（x+y﹣2）2．
19．先化简后求值：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝3，y＝1.5．
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式和多项式除单项式的法则化简，再代入数据计算求解．
【解答】解：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，
＝[（x2﹣2xy+y2）+（x2﹣y2）]÷2x，
＝（2x2﹣2xy）÷2x，
＝x﹣y，
当x＝3，y＝1.5时，原式＝3﹣1.5＝1.5．
20．a、b满足a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0，求a+2b的值．
【分析】此题需先把a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0变形为a﹣b）2+（b﹣1）2＝0，再根据（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，求出a，b的值，即可求出答案．
【解答】解：∵a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0，
∴a2+b2﹣2ab+b2﹣2b+1＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，
∴a＝1，b＝1，
∴a+2b＝1+2×1＝3．
∴a+2b的值是3．
21．若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，试求x与y的值．
【分析】首先将已知化为同底数，进而得出关于x，y的等式求出即可．
【解答】解：∵2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，
∴2x＝22（y+1），33y＝3x﹣1，
∴，
解得：．
22．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）（2分）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）
∴（6分）
解得：a＝4，k＝20（8分）
故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）
23．用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下一个洞，这个洞恰好是一个小正方形．
（1）用不同方法计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多5cm时，它的面积就多75cm2，求中间小正方形的边长．
【分析】（1）方法一，直接根据正方形的面积公式表示小正方形的面积，方法二，利用大正方形的面积减去4个长方形的面积表示，可得两次所得的结果相等；
（2）
【解答】解：（1）方法一，小正方形的边长为（a﹣b），因此，小正方形的面积是（a﹣b）2，
方法二，大正方形的面积减去四个长方形的面积可得，小正方形的面积为：（a+b）2﹣4ab，
可以发现（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
答：（a﹣b）2，或（a+b）2﹣4ab，
可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）解：依题意，得，
解得，
∴a﹣b＝5，
答：小正方形的边长是5cm．
24．我们已学完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，观察下列式子：x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2；﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2，并完成下列问题
（1）﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+m）2+n≤n，则m＝ 1 ；n＝ 3 ；
（2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务：
①列式：用含x的式子表示花圃的面积： x（60﹣2x） ；
②请说明当x取何值时，花圃的最大面积时多少平方米？
【分析】（1）将代数式﹣2x2﹣4x+1配方可得m和n的值；
（2）①利用长方形的面积＝长×宽可得结论；
②利用配方法即可解决问题．
【解答】解：（1）﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+1＝﹣2（x+1）2+3，
∵﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+m）2+n≤n，
∴m＝1，n＝3；
故答案为：1，3；
（2）①花圃的面积：x（60﹣2x）；
故答案为：x（60﹣2x）；
②由①可知：x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450，
当x＝15时，花圃的最大面积为450平方米．
25．我们已经知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家已发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2．
（1）在图②，若a＝8，c＝17，则b＝ 15 ；
（2）观察图②，利用面积与代数恒等式的关系，试说明a2+b2＝c2的正确性．其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上；
（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长．
【分析】（1）直接将a＝8，c＝17代入a2+b2＝c2中，求解即可得出结论；
（2）分别用不同的方式表示出梯形的面积，列出等式，根据整式的运算法则计算即可；
（3）先求出AF＝AD＝20，EF＝DE，再由勾股定理求出BF＝16，进而得出CF＝4，设EF＝x，则DE＝EF＝x，EC＝12﹣x，最后用勾股定理，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）将a＝8，c＝17代入a2+b2＝c2中，得，
故答案为15；
（2）∵图②的面积＝S△DAE+S△CBE+S△DEC＝ab+ab+c2，
又图②的面积＝S四边形ABCD＝（a+b）（a+b）＝（a+b）2，
∴ab+ab+c2＝（a+b）2，
∴ab+ab+c2＝a2+2ab+b2，
即a2+b2＝c2；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝20，CD＝AB＝12，
由折叠得，AF＝AD＝20，EF＝DE，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即122+BF2＝202，
解得：BF＝16，
又∵BC＝20，
∴CF＝BC﹣BF＝20﹣16＝4，
设EF＝x，
则DE＝EF＝x，EC＝DC﹣DE＝12﹣x
在Rt△ECF中，CF2+CE2＝EF2，
∴42+（12﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即EF＝．
2020-2021学年福建省泉州市南安市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠1
2．在下列各数中是无理数的有（ ）
﹣0.333…，，，3π，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0），76.0123456…（小数部分由连续的自然数组成）．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．下列各题中，运算正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a•a3•a7＝a10
C．（a3）2•（﹣a4）3＝﹣a18 D．（﹣a3）2＝﹣a6
4．下列各数（﹣2）0，﹣（﹣2），（﹣2）2，（﹣2）3中，负数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列各因式分解正确的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．﹣x2+（﹣2）2＝（x﹣2）（x+2）
C．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2） D．（x+1）2＝x2+2x+1
6．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
7．下列各式中，计算结果是x2+7x﹣18的是（ ）
A．（x﹣1）（x+18） B．（x+2）（x+9）
C．（x﹣3）（x+6） D．（x﹣2）（x+9）
8．若M＝（a+3）（a﹣4），N＝（a+2）（2a﹣5），其中a为有理数，则M、N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
9．已知9x2+axy+4y2是一个完全平方式，则a的值为（ ）
A．6 B．12 C．±6 D．±12
10．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（ ）
A．a+b B．a﹣b C．﹣a+b D．﹣a﹣b
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．的算术平方根是 ．
12．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则+＝ ．
13．如果2xy2•A＝6x2y2﹣4x3y3，那么A＝ ．
14．若（3x2﹣2x+1）（x+b）的积中不含x的一次项，则b的值为 ．
15．代数式的最小值是 ．
16．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536，依据上述规律，通过计算判断3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）[（a+1）﹣（1+a）2]÷（﹣2a）；
（2）（2x﹣3）（x﹣2）﹣2（x﹣1）2．
18．分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2．
（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）．
19．先化简后求值：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝3，y＝1.5．
20．a、b满足a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0，求a+2b的值．
21．若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，试求x与y的值．
22．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
23．用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下一个洞，这个洞恰好是一个小正方形．
（1）用不同方法计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多5cm时，它的面积就多75cm2，求中间小正方形的边长．
24．我们已学完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，观察下列式子：x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2；﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2，并完成下列问题
（1）﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+m）2+n≤n，则m＝ ；n＝ ；
（2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务：
①列式：用含x的式子表示花圃的面积： ；
②请说明当x取何值时，花圃的最大面积时多少平方米？
25．我们已经知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家已发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2．
（1）在图②，若a＝8，c＝17，则b＝ ；
（2）观察图②，利用面积与代数恒等式的关系，试说明a2+b2＝c2的正确性．其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上；
（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长．
2020-2021学年福建省泉州市南安市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故选：A．
2．在下列各数中是无理数的有（ ）
﹣0.333…，，，3π，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0），76.0123456…（小数部分由连续的自然数组成）．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：＝2，
，3π，76.0123456…（小数部分由连续的自然数组成），是无理数，共有3个，
故选：A．
3．下列各题中，运算正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a•a3•a7＝a10
C．（a3）2•（﹣a4）3＝﹣a18 D．（﹣a3）2＝﹣a6
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a4与a5是加不是乘，计算错误，故本选项错误；
B、a•a3•a7＝a1+3+7＝a11，故本选项错误；
C、（a3）2•（﹣a4）3＝a6•（﹣a12）＝﹣a18，故本选项正确；
D、（﹣a3）2＝a6，故本选项错误．
故选：C．
4．下列各数（﹣2）0，﹣（﹣2），（﹣2）2，（﹣2）3中，负数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别计算后，再找出负数的个数．
【解答】解：∵（﹣2）0＝1，﹣（﹣2）＝2，（﹣2）2＝4，（﹣2）3＝﹣8，
∴负数的个数有1个．
故选：A．
5．下列各因式分解正确的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．﹣x2+（﹣2）2＝（x﹣2）（x+2）
C．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2） D．（x+1）2＝x2+2x+1
【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．
【解答】解：A、x2+2x﹣1无法因式分解，故A错误；
B、﹣x2+（﹣2）2＝（2+x）（2﹣x），故B错误；
C、x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），故C正确；
D、（x+1）2＝x2+2x+1，是多项式的乘法，不是因式分解，故D错误．
故选：C．
6．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：B．
7．下列各式中，计算结果是x2+7x﹣18的是（ ）
A．（x﹣1）（x+18） B．（x+2）（x+9）
C．（x﹣3）（x+6） D．（x﹣2）（x+9）
【分析】根据多项式乘多项式的法则，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、原式＝x2+17x﹣18；
B、原式＝x2+11x+18；
C、原式＝x2+3x﹣18；
D、原式＝x2+7x﹣18．
故选：D．
8．若M＝（a+3）（a﹣4），N＝（a+2）（2a﹣5），其中a为有理数，则M、N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
【分析】把M与N代入M﹣N中计算，判断差的正负即可得到结果．
【解答】解：∵M﹣N＝（a+3）（a﹣4）﹣（a+2）（2a﹣5）＝a2﹣a﹣12﹣2a2+a+10＝﹣a2﹣2≤﹣2＜0，
∵M＜N．
故选：B．
9．已知9x2+axy+4y2是一个完全平方式，则a的值为（ ）
A．6 B．12 C．±6 D．±12
【分析】根据完全平方式得出﹣axy＝±2•3x•2y，求出即可．
【解答】解：∵9x2+ay+4y2是一个完全平方式，
∴axy＝±2•3x•2y，
解得：a＝±12，
故选：D．
10．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（ ）
A．a+b B．a﹣b C．﹣a+b D．﹣a﹣b
【分析】根据数轴上点的位置确定出a与b的正负，原式利用绝对值的代数意义化简即可求出值．
【解答】解：由数轴得，b＜，0＜a＜，
∴b+＜0，a＜0，
∴
＝﹣（a）﹣（b+）
＝﹣a﹣b﹣）
＝﹣a﹣b．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．的算术平方根是 2 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵＝4，
∴的算术平方根是＝2．
故答案为：2．
12．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则+＝ ﹣1 ．
【分析】利用相反数及负倒数的定义求出a+b与cd的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝﹣1，
则原式＝+＝0﹣1＝﹣1．
故答案为：﹣1
13．如果2xy2•A＝6x2y2﹣4x3y3，那么A＝ 3x﹣2x2y ．
【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵2xy2•A＝6x2y2﹣4x3y3，
∴A＝（6x2y2﹣4x3y3）÷2xy2
＝3x﹣2x2y．
故答案为：3x﹣2x2y．
14．若（3x2﹣2x+1）（x+b）的积中不含x的一次项，则b的值为 ．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出﹣2b+1＝0，求出即可．
【解答】解：（3x2﹣2x+1）（x+b）＝3x3+3bx2﹣2x2﹣2bx+x+b
＝3x3+（3b﹣2）x2+（﹣2b+1）x+b，
∵积中不含x的一次项，
∴﹣2b+1＝0，
解得：b＝，
故答案为：．
15．代数式的最小值是 1+ ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
，
解得：a≥2，
故代数式的最小时，a＝2，
故原式＝+1+0＝1+．
故答案为：1+．
16．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536，依据上述规律，通过计算判断3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是 6 ．
【分析】观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．
【解答】解：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536，
观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6；
3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1
＝（4﹣1）×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1
＝（42﹣1）×（42+1）（44+1）…（432+1）+1
＝（44﹣1）（44+1）…（432+1）+1
＝464．
可知464的个位数字是6，
故3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是6．
故答案为：6．
三．解答题
17．计算：
（1）[（a+1）﹣（1+a）2]÷（﹣2a）；
（2）（2x﹣3）（x﹣2）﹣2（x﹣1）2．
【分析】（1）根据整式的混合计算解答即可；
（2）根据整式的乘法和完全平方公式解答即可．
【解答】解：原式＝[（a+1）﹣（1+2a+a2）]÷（﹣2a）
＝（a+1﹣1﹣2a﹣a2）÷（﹣2a）
＝（﹣a﹣a2）÷（﹣2a）
＝；
（2）原式＝（2x2﹣4x﹣3x+6）﹣2（x2﹣2x+1）
＝2x2﹣4x﹣3x+6﹣2x2+4x﹣2
＝﹣3x+4．
18．分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2．
（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）．
【分析】（1）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝3a（x2﹣2xy+y2）
＝3a（x﹣y）2；
（2）原式＝（x+y）2﹣4（x+y）+4
＝（x+y﹣2）2．
19．先化简后求值：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝3，y＝1.5．
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式和多项式除单项式的法则化简，再代入数据计算求解．
【解答】解：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，
＝[（x2﹣2xy+y2）+（x2﹣y2）]÷2x，
＝（2x2﹣2xy）÷2x，
＝x﹣y，
当x＝3，y＝1.5时，原式＝3﹣1.5＝1.5．
20．a、b满足a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0，求a+2b的值．
【分析】此题需先把a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0变形为a﹣b）2+（b﹣1）2＝0，再根据（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，求出a，b的值，即可求出答案．
【解答】解：∵a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0，
∴a2+b2﹣2ab+b2﹣2b+1＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，
∴a＝1，b＝1，
∴a+2b＝1+2×1＝3．
∴a+2b的值是3．
21．若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，试求x与y的值．
【分析】首先将已知化为同底数，进而得出关于x，y的等式求出即可．
【解答】解：∵2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，
∴2x＝22（y+1），33y＝3x﹣1，
∴，
解得：．
22．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）（2分）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）
∴（6分）
解得：a＝4，k＝20（8分）
故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）
23．用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下一个洞，这个洞恰好是一个小正方形．
（1）用不同方法计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多5cm时，它的面积就多75cm2，求中间小正方形的边长．
【分析】（1）方法一，直接根据正方形的面积公式表示小正方形的面积，方法二，利用大正方形的面积减去4个长方形的面积表示，可得两次所得的结果相等；
（2）
【解答】解：（1）方法一，小正方形的边长为（a﹣b），因此，小正方形的面积是（a﹣b）2，
方法二，大正方形的面积减去四个长方形的面积可得，小正方形的面积为：（a+b）2﹣4ab，
可以发现（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
答：（a﹣b）2，或（a+b）2﹣4ab，
可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）解：依题意，得，
解得，
∴a﹣b＝5，
答：小正方形的边长是5cm．
24．我们已学完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，观察下列式子：x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2；﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2，并完成下列问题
（1）﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+m）2+n≤n，则m＝ 1 ；n＝ 3 ；
（2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务：
①列式：用含x的式子表示花圃的面积： x（60﹣2x） ；
②请说明当x取何值时，花圃的最大面积时多少平方米？
【分析】（1）将代数式﹣2x2﹣4x+1配方可得m和n的值；
（2）①利用长方形的面积＝长×宽可得结论；
②利用配方法即可解决问题．
【解答】解：（1）﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+1＝﹣2（x+1）2+3，
∵﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+m）2+n≤n，
∴m＝1，n＝3；
故答案为：1，3；
（2）①花圃的面积：x（60﹣2x）；
故答案为：x（60﹣2x）；
②由①可知：x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450，
当x＝15时，花圃的最大面积为450平方米．
25．我们已经知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家已发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2．
（1）在图②，若a＝8，c＝17，则b＝ 15 ；
（2）观察图②，利用面积与代数恒等式的关系，试说明a2+b2＝c2的正确性．其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上；
（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长．
【分析】（1）直接将a＝8，c＝17代入a2+b2＝c2中，求解即可得出结论；
（2）分别用不同的方式表示出梯形的面积，列出等式，根据整式的运算法则计算即可；
（3）先求出AF＝AD＝20，EF＝DE，再由勾股定理求出BF＝16，进而得出CF＝4，设EF＝x，则DE＝EF＝x，EC＝12﹣x，最后用勾股定理，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）将a＝8，c＝17代入a2+b2＝c2中，得，
故答案为15；
（2）∵图②的面积＝S△DAE+S△CBE+S△DEC＝ab+ab+c2，
又图②的面积＝S四边形ABCD＝（a+b）（a+b）＝（a+b）2，
∴ab+ab+c2＝（a+b）2，
∴ab+ab+c2＝a2+2ab+b2，
即a2+b2＝c2；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝20，CD＝AB＝12，
由折叠得，AF＝AD＝20，EF＝DE，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即122+BF2＝202，
解得：BF＝16，
又∵BC＝20，
∴CF＝BC﹣BF＝20﹣16＝4，
设EF＝x，
则DE＝EF＝x，EC＝DC﹣DE＝12﹣x
在Rt△ECF中，CF2+CE2＝EF2，
∴42+（12﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即EF＝．
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