华师大版九年级上册5.一元二次方程的根与系数的关系练习

22.2.5一元二次方程根与系数的关系

（重点练）

一、单选题

1．（2018·全国九年级单元测试）以2和﹣3为两根的一元二次方程为(     )

A．（x+2）（x﹣3）=0 B．x2﹣x+6=0 

C．x2﹣5x﹣1=0                    D．x2+x﹣6=0

【答案】D

【分析】本题我们可以将一元二次标准方程两边都除以a, 令二次项x2项的系数为1.则一次项系数和常数项系数分别和,即为-（）和，可得出原方程.

【详解】解:设符合条件的方程为: x2+ax+b=0.

=2,=-3,

a=-()=1,b==-6,

符合条件的方程可以是: x2+x﹣6=0.

因此, 本题正确答案是: x2+x﹣6=0.

【点睛】本题考查了一元二次方程的韦达定理, 对于一元二次方程x2+ax+b=0,设,是其两个根，则:.

2．（2019·重庆市涪陵第十九中学校）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞-2且k≠1 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1

【答案】D

【分析】根据一元二次方程根的个数与判别式的关系即可得出答案.

【详解】∵（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根

∴且k-1≠0

解得：.k＜2且k≠1

故答案选择D.

【点睛】本题考查的是一元二次方程根的个数与判别式的关系：①当时，有两个不等实根；②当时，有两个相等实根；③当时，无实数根.

3．（2021·全国九年级专题练习）设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为(      )

A．2006 B．2007 C．2008 D．2009

【答案】C

【详解】分析：由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．

解答：解：∵a是方程x2+x-2009=0的根，

∴a2+a=2009；

由根与系数的关系得：a+b=-1，

∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2009-1=2008．

故选C．

4．（2018·全国九年级单元测试）已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（　　）

A． B．- C．- D．

【答案】D

【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2，再利用完全平方公式变形得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】根据题意得：x1+x2，x1x2，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×（．

故选D．

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．

5．（2019·富顺第二中学校）已知实数满足，则的值是（   ）

A． B． C．或2 D．或2

【答案】D

【分析】分及两种情况考虑：当时，可求出；当时，利用根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论．综上，此题得解．

【详解】解：当时，；

当时，实数、满足，

，，

．

故选．

【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减法，分及两种情况求出的值是解题的关键．

二、填空题

6．（2019·泰兴市洋思中学九年级期中）已知 x1，x2 是方程 x2+4x+k=0的两根，且 x1+x2—x1x2=7，则 k=_____．

【答案】-11

【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积, 代入所求式子中计算即可求出k的值.

【详解】解：，是方程的两根,

= -4,，

则-4-k=7，k=-11，

故答案为-11.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系.

7．（2020·湖南湘潭·九年级期末）设x1、x2是方程x﹣x﹣1=0的两个实数根，则x1+x2=_________．

【答案】1

【分析】观察方程可知,方程有两个不相等的实数根,由根与系数关系直接求解.

【详解】解:方程中,△==5>0,

方程有两个不相等的实数根,

==1.

故答案为:1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系.关键是先判断方程的根的情况,利用根与系数关系求解.

8．（2019·全国九年级单元测试）已知，，则________．

【答案】0

【分析】根据根与系数的关系，x 、y可看作方程t2-2t+1=0的两根，解方程易得方程的根，即可求得x、y的值，然后代入式子进行计算即可得.

【详解】∵，，

∴x 、y可看作方程t2-2t+1=0的两根，

解方程t2-2t+1=0得t1=t2=1，

∴x=y=1，

∴|x-y|=0，

故答案为0.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键.

9．（2020·广东外语外贸大学实验中学九年级月考）若m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的根，则2m2＋8m＋2n﹣5的值是_____．

【答案】

【分析】根据韦达定理得到m+n=﹣=﹣3，mn==﹣2，将原式变形为2m2＋6m＋2（m＋n）﹣5，代入mn和m+n即可求解．

【详解】∵m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的解，

∴m2＋3m＝2，m+n=﹣=﹣3，mn==﹣2

∵2m2＋8m＋2n﹣5=2m2＋6m＋2m＋2n﹣5=2（m2＋3m）＋2（m＋n）﹣5，

∴原式=2×2+2（﹣3）-5= -7，

故答案为-7．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，代数式的值等，解题的关键是要记住和会应用一元二次方程两根和与两根积与系数的关系.

10．（2020·湖北九年级月考）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x＋m2＋1＝0，设x1，x2分别是方程的两个根，且满足x12＋x22＝x1x2＋10，则m的值为_____．

【答案】

【分析】根据韦达定理得到，，将原式根据完全平方公式变形即可求解m的值．

【详解】根据韦达定理得到：，

对于x12＋x22＝x1x2＋10

变形得：x12＋x22+2 x1x2＝x1x2＋10+2 x1x2

继续变形得：

将，代入原式，得到：

解得，

当时，原方程，此时原方程没有实数根，故舍去；

故答案为．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也叫做韦达定理，熟记，是本题的关键．

11．（2020·成都市青羊实验中学九年级月考）设方程的两个根为和则的值为_______．

【答案】2

【分析】将原式进行化简，然后根据韦达定理写出两根之和与两根之积的关系，代入求解即可．

【详解】由方程的两个根为和，

则由韦达定理可知：，，

故．

故答案为2．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（也叫韦达定理），关键是要熟记，．

12．（2020·广东九年级月考）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则x1x2的值是_____，x1+x2的值是_____．

【答案】-3；       

【分析】由根与系数的关系可求得（x1+x2）与x1x2的值．

【详解】∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，

∴x1x2的值是，x1+x2的值是．

故答案为：-3；．

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．

13．（2020·永州柳子中学）以-2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是________．

【答案】

【分析】根据韦达定理求出一次项系数和常数项，然后根据一元二次方程的定义求解即可．

【详解】设方程为

∵二次项系数为1的方程

∴a=1，即

又∵方程的两个根为-2和3

∴，

∴，

∴方程为

故答案为．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，韦达定理，熟练掌握韦达定理是本题的关键．

14．（2021·全国九年级专题练习）已知实数，满足条件，，则________．

【答案】

【分析】由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．

【详解】由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴．

故答案为．

【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．

15．（2020·成都市青羊实验中学九年级月考）已知对于两个不相等的实数、，定义一种新的运算：，如，已知，是一元二次程的两个不相等的实数根，则_______．

【答案】

【分析】首先根据韦达定理求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．

【详解】由，是的两个不相等的实数根可得：，

故

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（也叫韦达定理），实数的定义新运算，此类题型一定要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．

三、解答题

16．（2019·全国九年级单元测试）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．

求证：该一元二次方程总有两个实数根；

若，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由．

【答案】证明见解析动点所形成的函数图象经过点

【分析】（1）先求出该一元二次方程的△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系进行说明即可；

（2）根据x1+x2=-和n=x1+x2-5，表示出n，再把点A（4，5）代入，即可得出答案．

【详解】∵，

∴该一元二次方程总有两个实数根；

动点所形成的函数图象经过点，理由如下：

∵，，

∴，

∵当时，，

∴动点所形成的函数图象经过点．

【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、函数图象上点的坐标特征等，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．

17．（2020·河南省洛阳市孟津县会盟第一初级中学）已知关于x的方程．

（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；

（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），,；（2）不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于，理由详见解析.

【分析】（1）方程有两相等的实数根，利用△=0求出m的值．化简原方程求得方程的根．

（2）利用根与系数的关系x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，代入即可得到关于m的方程，求出m的值，再根据△来判断所求的m的值是否满足原方程．

【详解】解：（1）∵a=，b=﹣（m﹣2），c=m2，方程有两个相等的实数根，∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2=﹣4m+4=0，∴m=1．

原方程化为：x2+x+1=0，x2+4x+4=0，（x+2）2=0，∴x1=x2=﹣2．

（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．理由如下：

∵x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=224，即：8m2﹣64m﹣160=0，解得：m1=10，m2=﹣2（不合题意，舍去）．

又∵m1=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此时方程无实数根，∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．

【点睛】本题考查了根与系数的关系．总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根．

（2）△≥0时，根与系数的关系为：．

18．（2018·全国九年级单元测试）已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．

【答案】4.

【分析】根据根与系数的关系得到m+n，mn的值，将通分变形后，将m+n，mn的值代入即可．

【详解】∵实数m，n是方程的两个根，∴m+n=，mn=2．

===4．

【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

19．（2018·广东惠阳高级中学初中部九年级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k2＝0（k为常数）．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝7，试求出方程的两个实数根和k的值．

【答案】（1）详见解析；（2）k＝±3，方程的两个根分别为9和－1．

【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明判别式△＝b2﹣4ac的值大于0即可；

（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是8，结合x1+2x2＝7即可求得方程的两个实根，进而可求k的值．

【详解】（1）∵b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×（﹣k2）＝64+4k2＞0，∴方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x1+x2＝8．

又∵x1+2x2＝7，解得：，将x2＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2﹣8×（﹣1）﹣k2＝0，解得：k＝±3．

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式．

20．（2019·四川九年级期末）关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2﹣2k+2＝0有两个不相等的实数根．

(1)求实数k的取值范围；

(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2．是否存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)k＞；(2)k＝3．

【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；

(2)由韦达定理知x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+2＝(k﹣1)2+1＞0，将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．

【详解】(1)由题意知△＞0，

∴[﹣(2k﹣1)]2﹣4×1×(k2﹣2k+2)＞0，

整理，得：4k﹣7＞0，

解得：k＞；

(2)由题意知x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+2＝(k+1)2+1＞0，

∵|x1|﹣|x2|＝，

∴x12﹣2x1x2+x22＝5，即(x1+x2)2﹣4x1x2＝5，

代入得：(2k﹣1)2﹣4(k2﹣2k+2)＝5，

整理，得：4k﹣12＝0，

解得：k＝3．

【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．

21．（2020·湖北十堰·九年级一模）已知关于x的一元二次方程．

（1）请判断该方程实数根的情况；

（2）若原方程的两实数根为，，且满足，求p的值．

【答案】（1）总有两个实数根；（2）p＝﹣2或4．

【分析】（1）将一元二次方程转化为一般形式，计算根的判别式，变形，判断符合即可；

（2）根据一元二次方程根与系数关系，得到两根之和，两根之积，代入，解关于p的方程即可．

【详解】（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p＝0．

∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）

＝25﹣24+4p2+4p＝4p2+4p+1＝（2p+1）2

∵无论p取何值，（2p+1）2≥0，

∴此方程总有两个实数根．

（2）由一元二次方程根与系数关系知：x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2﹣p

∵x12+x22＝3p2+5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3p2+5，

即52﹣2（6﹣p2﹣p）＝3p2+5，∴p2﹣2p﹣8 =0

解得：p＝﹣2或4．

∴p＝﹣2或4．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．熟记根的判别式符号与方程根的个数关系，根与系数关系是解题关键．

22．（2020·大冶市实验中学）关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围．

（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．

【答案】（1）；（2）15．

【分析】（1）由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式△，则可求得的取值范围；

（2）利用根与系数的关系可求出、的值，进而可求出求的值

【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

△，

，

即的取值范围为：；

（2）、是一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

，

，，

．

【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得△．

23．（2021·全国九年级）已知关于的方程（为实数，且）的两根为，．

（1）若，求的值

（2）若，都是整数，求的值

【答案】（1）（2）1或 或 或

【分析】（1）将代入，得，先根据判别式判断实数根的个数，然后根据韦达定理写出，，对原式进行变形即可求解；

（2）根据韦达定理写出，与k的关系，联立获得方程，根据，都是整数分情况讨论即可求解．

【详解】（1）若，则方程为

由韦达定理可得，

（2）设

由韦达定理可得 ①

②

①+②得

，都是整数

或 或 或

代入①可得或 或 或

经检验，这些值均能使方程有实根

的值为1或 或 或

故答案为（1）（2）1或 或 或．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，和韦达定理，即一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握本部分的公式是本题的关键．

24．（2020·宜春市宜阳学校九年级期中）已知关于的一元二次方程．

（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可；

（2）由韦达定理把x1+x2和x1x2分别用含m的式子表达出来，然后根据完全平方公式将变形，即可求解．

【详解】（1）∵方程有实数根，

∴，

∴，

解得：；

（2）∵方程两实数根分别为，，

∴，，

∵，

∴，

，

解得：，，

∵，

∴．

【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记（1）“当△≥0时，方程有实数根”；（2）掌握根与系数的关系即韦达定理，是解题的关键．