九年级上册5.一元二次方程的根与系数的关系教案

一元二次方程的根与系数的关系

【知识与技能】

1.引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用.

2.通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程.

【过程与方法】

通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.

【情感态度】

在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.

【教学重点】

一元二次方程根与系数之间的关系的运用.

【教学难点】

一元二次方程根与系数之间的关系的运用.

一、情境导入，初步认识

1.完成下列表格

问题你发现了什么规律？

①用语言叙述你发现的规律：（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）

②设方程x2+px+q=0的两根为x1,x2，用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-p,x1·x2=q）

2.完成下列表格

问题  上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）

请完善规律：

①用语言叙述发现的规律：（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比）

②设方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2，用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-,x1·x2=）

二、思考探究，获取新知

通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明.

ax2+bx+c=0的两根,,x1+x2=-,

x1·x2=.

【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.

例1  不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：

（1）x2-6x-15=0;

（2）3x2+7x-9=0;

（3）5x-1=4x2.

解：（1）x1+x2=6,x1·x2=-15;

（2）x1+x2=-,x1·x2=-3；

（3）x1+x2=,x1·x2=.

【教学说明】先将方程化为一般形式，找出对应的系数.

例2  已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k的值.

解：另一根为，k=3.

【教学说明】本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x=-3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.

例3  已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值.

三、运用新知，深化理解

1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积:

（1）x2-3x=15

（2）5x2-1=4x2

（3）x2-3x+2=10

（4）4x2-144=0

（5）3x（x-1）=2（x-1）

（6）（2x-1）2=（3-x）2

2.两根均为负数的一元二次方程是（    ）

A.7x2-12x+5=0

B.6x2-13x-5=0

C.4x2+21x+5=0

D.x2+15x-8=0

【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.

【答案】1.（1）x1+x2=3,x1x2=-15

（2）x1+x2=0,x1x2=-1

（3）x1+x2=3,x1x2=-8

（4）x1+x2=0,x1x2=-36

（5）x1+x2=,x1x2=

（6）x1+x2=-,x1x2=-

2.C

【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.

四、师生互动，课堂小结

1.一元二次方程的根与系数的关系.

2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.
 

1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力.