人教版 (新课标)必修21.曲线运动学案

【学习目标】

1．  理解曲线运动的条件和特点；   2．理解运动的合成与分解；

3.理解平抛物体的运动的规律；     4.理解圆周运动的规律

【学习重点难点】能运用平抛运动和匀速圆周运动的规律分析和处理有关问题。

【学习过程】

（一）理清全章知识脉络，构建知识体系

本章我们学习了物体做曲线运动的条件以及运动的合成和分解，并研究了两种曲线运动：平抛运动和匀速圆周运动。运动的合成和分解是研究曲线运动的基本方法，本章的知识框图如下：

（二）突破复习思路

1、物理思维方法

本章中，我们借助运动的分解与合成方法，研究了曲线运动的规律，达到了“曲径通幽”的效果，贯穿着物理学上的等效思维方法，值得体会。

等效方法不但能使问题化繁为简，化难为易，而且能加深我们对物理概念和规律的认识，强化思维，丰富想象，培养我们独立获取知识的能力。

2、基本解题方法

（1）如何运用运动的分解与合成方法来研究曲线运动呢？

①利用运动的合成与分解研究曲线运动的思维流程：

②在处理实际问题中应注意：

ⅰ 只有深刻挖掘曲线运动的实际运动效果，才能明确曲线运动应分解为哪两个方向上的直线运动。这是分析处理曲线运动的出发点。

ⅱ 进行等效合成时，要寻找两分运动时间的联系——等时性。这往往是分析处理曲线运动问题的切人点。

（2）处理匀速圆周运动问题的解题思路。

所有匀速圆周运动的有关命题，重点都是对牛顿第二定律F=ma在曲线运动中具体应用的考查。通常的解题思路为：首先分析向心力的来源，然后确定物体圆周运动轨道平面、圆心、圆半径，写出与向心力所对应的向心加速度表达式，同时，力求将题目的待求量如：未知力、未知线速度、未知周期等包含到向心力或向心加速度的表达式中，最后，依据F=ma列方程求解。

（三）综述本章要点

知识点一、曲线运动

1、曲线运动的速度的方向

在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的曲线的         方向。

2、曲线运动的性质

（1）做曲线运动的质点，速度    不一定变化，但速度     一定变化。所以曲线运动一定是    运动。

（2）做曲线运动的质点，加速度可以       ，也可以           。如平抛运动是          运动，匀速圆周运动是          运动

3、物体做曲线运动的条件

质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向               。。

4、曲线运动的弯曲特点

做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的     。曲线运动的轨迹总是夹在速度和合外力的中间。

知识点二、运动的合成与分解

1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做             。即已知分运动的位移、速度和加速度等，求合运动位移、速度和加速度等，由于它们都是矢量，所以遵循            。运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的          就是合运动。

2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫           ，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。

3、合运动与分运动的关系：

（1）运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；

（2）等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等

（3）独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。

类型题： 如何判断曲线运动的性质

曲线运动一定是变速运动，但不一定是匀变速运动。可以根据做曲线运动物体的受力情况（或加速度情况）进行判断，若受到恒力（其加速度不变），则为匀变速运动，若受到的不是恒力（其加速度变化），则为非匀变速运动。

例如：平抛运动是匀变速运动，其加速度恒为g；而匀速圆周运动是非匀变速运动，其加速度虽然大小不变，但方向是时刻变化的。

【例1】关于运动的性质，下列说法中正确的是（　    ）

A．曲线运动一定是变速运动             B．曲线运动一定是变加速运动

C．圆周运动一定是匀变速运动          D．变力作用下的物体一定做曲线运动

类型题： 曲线运动的条件

【例2】质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F1时，物体可能做

A．匀加速直线运动；  B．匀减速直线运动；  C．匀变速曲线运动；   D．变加速曲线运动。

类型题： 运用运动的独立性解题

【例3】如图所示，A、B为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A在较下游的位置，且A的游泳成绩比B好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（   ）

A．A、B均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用

B．B沿虚线向A游且A沿虚线偏向上游方向游

C．A沿虚线向B游且B沿虚线偏向上游方向游

D．都应沿虚线偏向下游方向，且B比A更偏向下游

【例4】关于运动的合成，下列说法中正确的是（        ）

A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大B．两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动

C．两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动D．合运动的两个分运动的时间不一定相等

类型题： 小船过河问题

(1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间

(2)渡河航程最短有两种情况：

①船速v2大于水流速度v1时，即v2>v1时，合速度v与河岸垂直时，最短航程就是河宽；

②船速v2小于水流速度vl时，即v2<v1时，合速度v不可能与河岸垂直，只有当合速度v方向越接近垂直河岸方向，航程越短。可由几何方法求得，即以v1的末端为圆心，以v2的长度为半径作圆，从v1的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。

【例5】河宽d＝60m，水流速度v1＝6m／s，小船在静水中的速度v2=3m／s，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?

(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?

【练习】1、在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为(                                )

A．        B．0              C．             D．

2、某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（   　）

(A) 　　 (B)           (C) 　　     (D)

类型题：绳联物体的速度分解问题

【例6】例3．如图所示，已知h＝2 m，小船以v=4 m／s的速度匀速向左运动，并拉动岸上的车，当船经图中的A点时，绳与水平方向的夹角为＝60o，当船经过图中B点时，绳子与水平方向的夹角＝30o，求：(1)该过程车的速度变化了多少?

拓展探究

（1）上题中，船是匀速运动的，车是否为匀速运动？

（2）在船由图中A点运动到B点(此时绳与水平方向夹角＝30o)的过程中，车的平均速度多大？

知识点三、平抛运动的规律

1、定义：水平抛出的物体只在________作用下的运动，平抛运动是加速度为重力加速度(g)的____________运动，轨迹是_____________．

2、运动特点：水平方向：                    ，竖直方向：                      。

3、规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度vo方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有：

①位移：分位移x=___________，y=______________，合位移s=____________，tanα=__________ ，α为合位移与x轴的夹角．

②速度：分速度vx=___________，vy=____________，合速度v=_____________，tanβ=______ ___   _，β为合速度v与x轴的夹角，tanα=___________ tanβ．

4、两个有用的推论

①落地时间由竖直方向分运动决定。证明：                                        。

②水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定。证明：                                        。

③平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。证明：                                        。

类型题1：对平抛运动的理解

【例7】质点从同一高度水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是
A.质量赵大，水平位移越大    B.初速度越大，落地时竖直方向速度越大
C.初速度越大，空中运动时间越长   D.初速度越大，落地速度越大

类型题2：平抛运动的规律

1.    常规题的解法

【例8】如图所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向抛出，经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点。若不计空气阻力，下列关系式正确的是  

A.ta>tb，va<vb          B.ta>tb，va>vb   C.ta<tb，va<vb          Dta<tb，va>vb

2．斜面问题

【例8】一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(    )

A．tanφ=sinθ         B．tanφ=cosθ        C．tanφ=tanθ      D．tanφ=2tanθ

类型题3：类平抛

【例题10】如图所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射人，而从右下方顶点Q离开斜面，试求：（1）物块在斜面上的加速度

（2）物块由P运动到Q所用的时间t （3）物块由P点水平射入时的初速度v0

（4）物块离开Q点时速度的大小v

类型题4：了解斜抛运动

1. 定义：将物体用一定的初速度沿斜上方或斜下方抛出去，仅在重力作用下物体所做的运动。

举例：踢出的足球，投出的标枪，射出的导弹，喷射出的水柱……..应用十分广泛。

2. 处理方法:在处斜抛运动的曲线运动问题中,和平抛运动一样。为了处理问题的方便，建立x—y直角坐标系，把斜抛运动分解成沿水平x方向及竖直y方向上的两个分运动。把V0沿x，y方向分解在x—y直角坐标系上，有 V0x ，V0y。

3.两分运动的情况：

①水平x方向上物体不受力的作用，故水平以某一初速度V0x作匀速直线运动。

②竖直y方向上物体受竖直向下重力G作用，又有一竖直向上的初速度V0y，故物体作竖直上抛运动。（竖直方向上，初速度V0y向上的，a=-g的匀减速直线运动）

【例题11】如图一球在某距地20m高的山上斜向上30度，以30m/s的速度抛出。求：⑴球在距离地面20m，即与抛出点同高度时的速度和所用的时间。⑵当球到达地面是的速度大小，和所用的时间。

知识点四、描述匀速圆周运动的物理量

1、线速度：（1）定义：                                                      

（2）公式：              （3）单位：                矢量性：             

2、角速度：（1）定义：                                                       

（2）公式：             （3）单位：            量性：           

3、周期：（1）定义：                                            （2）单位：      

频率：（1）定义：                                 （2）公式：       （3）单位：     

转速：（1）定义：                                 （2）公式：         （3）单位：     

4、关系： ，   ，     ；

5、向心加速度：（1）意义：                                                

（2）大小：                                 

（3）方向：总是指向      ，与线速度方向        ，方向时刻变化，不论a的大小是否变化，a都是变加速度

6、向心力：（1）作用效果：产生          ，只改变线速度的       ，不改变线速度的        。

 （2）大小：                                      

（3）方向：总是沿半径指向         ，时刻变化，即向心力是个变力。

（4）来源：向心力是按作用效果命名的力，它可以是作圆周运动的物体受到的某一个力或是几个力的合力，或者是某一个力的分力。

(5)怎样分析向心力：无论物体做匀速圆周运动还是变速圆周运动。只需将物体受到的合力沿半径方向和垂直于半径方向进行正交分解，然后，沿半径方向所有力的合力就等于向心力。

知识点五、圆周运动

1、匀速圆周运动

（1）运动特点：线速度        不变，向心加速度        不变，角速度和周期均恒定。

（2）受力特点：合外力           向心力，且合外力            不变，方向时刻指向圆心。

2、变速圆周运动

（1）运动特点：v、ω、a、T的大小均会发生变化

（2）受力特点：合外力                向心力，而是沿半径方向所有力的合力提供向心力。垂直于半径方向的力如果与速度同向，则做加速圆周运动，反之，做减速圆周运动。

注意：做变速圆周运动的物体，在每一点的向心力大小、来源都不一定相同，在高中范围内，我们只研究某些特殊点的向心力

知识点六、离心运动

1、定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。

2、本质：①离心现象是物体惯性的表现。②离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。③离心运动并不是受到什么离心力，根本就没有这个离心力。

3、条件：当物体受到的合外力时，物体做匀速圆周运动；

当物体受到的合外力时，物体做离心运动

当物体受到的合外力时，物体做近心运动

实际上，这正是力对物体运动状态改变的作用的体现，外力改变，物体的运动情况也必然改变以适应外力的改变。

类型题1：匀速圆周运动的基本概念和基本规律

【例题12】如图5所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下作匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是（    ）

 A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa作离心运动 B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa作离心运动

 C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb作离心运动 D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc作离心运动

类型题2：皮带传动和摩擦传动问题

凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；

凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。

【例题13】、如图所示，压路机后轮半径是前轮半径的3倍，A、B分别为前轮和后轮边缘上的一点，C为后轮上的一点，它离后轮轴心的距离是后轮半径的一半，则A、B、C三点的角速度之比为___________，线速度之比为_________，向心加速度之比为___________

练习3、如图所示为一辆自行车的局部结构示意图。设连接脚踏板的连杆长为L1，由脚踏板带动半径为r1的大轮盘(牙盘)，通过链条与半径为r2的小轮盘(飞轮)连接小轮盘带动半径为R的后轮转动，使自行车在水平路面上匀速前进．设Ll=18 cm．rl=12 cm，r2=6 cm，R=30 cm，为了维持自行车以v=3 m／s的速度在水平路面上匀速前进．则人每分钟要踩脚踏板几圈?   

类型题3圆周运动中的动力学特征

求解圆周运动的动力学问题的一般步骤可归纳为：

①确定研究对象运动的轨道平面和圆心位置，以便确定向心力的方向和轨道半径。

②分析物体所受到的力，作出受力分析，然后沿半径方向和垂直于半径方向把力正交分解。

沿半径方向所有力的合力就提供向心力。

③利用牛顿第二定律列向心力方程。

【例题14】、如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（）

A、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了       B、物体所受弹力增大，摩擦力减小了

C、物体所受弹力和摩擦力都减小了           D、物体所受弹力增大，摩擦力不变

【例题15】如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长为L=2m的细绳悬一质量为m=1kg的小球，圆锥顶角为2θ=74°。求：（1）当小球ω=1rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。（2）当小球以ω=5rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。

类型题4：连接体问题

   由于在圆周运动中的连接体的加速度一般不同，所以解决这类问题时，一般用隔离法。另外要注意连接体的角速度一般情况下是相同的。

【例题16】如图所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆OB的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比？

类型题5：水平面内的临界问题

【例题17】如图所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别为2m、m、m，离转轴的距离分别为R、R、2R，与转台间的摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法中，正确的是（    ）

（A）若三个物体均未滑动，C物体的向心加速度最大

（B）若三个物体均未滑动，B物体受的摩擦力最大

（C）转速增加，A物比B物先滑动

（D）转速增加，C物先滑动

类型题5：竖直面上圆周运动

1、竖直平面内：

（1）、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：

①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即 （是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。

②能过最高点的条件：。 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力

③不能过最高点的条件：（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。

（2）、如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：

①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度。

②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：

当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；

当0<v<时，杆对小球有竖直向上的支持力，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0。

当时，N=0；

当v>时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。

③图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。在最高点的v临界=。当v=时，小球将脱离轨道做平抛运动。

【例题18】如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（AB）

A．a处为拉力，b处为拉力     B．a处为拉力，b处为推力

C．a处为推力，b处为拉力     D．a处为推力，b处为推力

练习4、如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg．求A、B两球落地点间的距离．

练习5、如图2所示，在光滑水平面上一小球以某一速度运动到 A点时遇到一段半径为R的1/4圆弧曲面AB后，落到水平地面的C点，已知小球没有跟圆弧曲面的任何点接触，则BC的最小距离为              （    ）A．                   B．                          C．                     D．

类型题5：圆周运动的实际问题

【例题19】铁路转弯处的圆弧半径是300m，轨距是1435mm．规定火车通过这里的速度是72km/h,内外轨的高度差应该是多大，才能使外轨不受轮缘的挤压?保持内外轨的这个高度差，如果车的速度大于或小于72km/h，会分别发生什么现象?．（夹角很小，近似认为tanα≈sinα）

［例题20］如图所示，在质量为M的电动机上，装有质量为m的偏心轮，飞轮转动的角速度为ω，当飞轮重心在转轴正上方时，电动机对地面的压力刚好为零，则飞轮重心离转轴的距离多大?在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大?