专题02 数和式的运算之比例、齐次式与二次根式-2022年初高中数学无忧衔接课程

专题02 数和式的运算之比例、齐次式与二次根式

一、知识点精讲

（一）比例与齐次式

我们在式的运算中,常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式,这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向;齐次式常常会同除以某一个数,转化过程在本质上起到消元作用,从而会出现整体思想.

二、典例精析

【典例1】已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.求证:此三角形为直角三角形.

【典例2】 已知△ABC 中,有,求证：

【典例3】已知

求证：（1）

（2）

（3）

【典例4】已知：,且，求

【典例5】已知：，求的值.

【典例6】已知

（1）求的值

（2）求证：

（二）二次根式

　　一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，，等是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．  一般地，与，与，与互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式的意义

（1）

（2）

（3）

（4）

【典例7】将下列式子化为最简二次根式：

（1）；    （2）；   （3）．

【典例8】　计算：．

【典例9】　试比较下列各组数的大小：

（1）和；  （2）和.

【典例10】化简：．

【典例11】  化简：（1）；         （2）．

【典例12】  已知，求的值 ．

【典例13】化简：

三、对点精练

1.已知:,则­­­__________________.

2.若则___________________

3.已知三角形的三边之比为5∶12∶13，求证:此三角形为直角三角形.

4.已知：求的值.

5.已知求的值.

6.已知：

（1）

（2）的取值范围.

7.已知：

（1）

（2）的取值范围.

8. 已知求的值.

9. 已知，化简：.

10. 已知，求的值.

11.计算：

12.化简下列各式

（1）

（2）