18三角函数2（解析版）练习题

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三角函数专练(二)1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosA，sinA)，n＝(2cosA，－2cosA)，m·n＝－1.(1)若a＝2，c＝2，求△ABC的面积；(2)求的值．【答案】　(1)因为m·n＝2cos2A－sin2A＝cos2A－sin2A＋1＝2cos(2A＋)＋1＝－1，所以cos(2A＋)＝－1.又<2A＋<2π＋，所以2A＋＝π，A＝.由12＝4＋b2－2×2×b×cos，得b＝4(舍负值)．所以△ABC的面积为×2×4×sin＝2.(2)＝＝＝＝＝2.2．在△ABC中，B＝，点D在边AB上，BD＝1，且DA＝DC.(1)若△BCD的面积为，求CD；(2)若AC＝，求∠DCA.【答案】　(1)因为S△BCD＝，即BC·BD· sinB＝，又B＝，BD＝1，所以BC＝4.在△BDC中，由余弦定理得，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB，即CD2＝16＋1－2×4×1×＝13，解得CD＝.(2)在△ACD中，DA＝DC，可设∠A＝∠DCA＝θ，则∠ADC＝π－2θ，又AC＝，由正弦定理，有＝所以CD＝.在△BDC中，∠BDC＝2θ，∠BCD＝－2θ，由正弦定理得，＝，即＝，化简得cosθ＝sin(－2θ)，于是sin(－θ)＝sin(－2θ)．因为0<θ<，所以0<－θ<，－<－2θ<，所以－θ＝－2θ或－θ＋－2θ＝π，解得θ＝或θ＝，故∠DCA＝或∠DCA＝.3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)sinA＝ab(sinC＋2sinB)，a＝1.(1)求角A的大小；(2)求△ABC的周长的取值范围．【答案】　(1)由(a2＋b2－c2)sinA＝ab(sinC＋2sinB)，结合余弦定理可得2abcosCsinA＝ab(sinC＋2sinB)，即2cosCsinA＝sinC＋2sin(A＋C)，化简得sinC(1＋2cosA)＝0.因为sinC≠0，所以cosA＝－，又A∈(0，π)，所以A＝.(2)因为A＝，a＝1，由正弦定理可得b＝＝sinB，c＝sinC，所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝1＋sinB＋sinC＝1＋[sinB＋sin(－B)]＝1＋(sinB＋cosB)＝1＋sin(B＋)．因为B∈(0，)，所以(B＋)∈(，)，则sin(B＋)∈(，1]，则l＝a＋b＋c＝1＋sin(B＋)∈(2，1＋]. 4．已知函数f(x)＝(sinωx－cosωx)·cosωx＋(其中ω>0)，若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为.(1)求y＝f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(2b－a)cosC＝c·cosA，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC的形状．【答案】　(1)f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx＋＝sin2ωx－(2cos2ωx－1)＝sin2ωx－cos2ωx＝sin(2ωx－)．因为函数f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为，所以T＝π，所以＝π，所以ω＝1.所以f(x)＝sin(2x－)．由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．(2)因为(2b－a)cosC＝c·cosA，由正弦定理，得(2sinB－sinA)cosC＝sinC·cosA，即2sinBcosC＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以cosC＝，所以C＝.所以0<B<，0<2B<，－<2B－<.根据正弦函数的图像，可以看出f(x)的最大值为f(B)＝1，此时2B－＝，即B＝，所以A＝，所以△ABC为等边三角形．5．已知f(x)＝cosx(λsinx－cosx)＋cos2(－x)＋1(λ>0)的最大值为3.(1)求函数f(x)的对称轴；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，若不等式f(B)<m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】　(1)f(x)＝cosx(λsinx－cosx)＋cos2(－x)＋1＝λsinxcosx－cos2x＋sin2x＋1＝λsin2x－cos2x＋1.≤＋1，由题意知： ＋1＝3，λ2＝12，∵λ>0，∴λ＝2.∴f(x)＝sin2x－cos2x＋1＝2sin(2x－)＋1.令2x－＝＋kπ，解得x＝＋，(k∈Z)．∴函数f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z)．(2)∵＝，由正弦定理，＝可变形得，sin(A＋B)＝2cosAsinC，即sinC＝2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA＝，又0<A<π，所以A＝.∴f(B)＝2sin(2B－)＋1，只需f(B)max<m，∵0<B<，∴－<2B－<，∴－<sin(2B－)≤1，即0<f(B)≤3.∴m>3.