17三角函数1（解析版）练习题

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三角函数专练(一)·1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．【答案】　(1)由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B.因此A＝π(舍去)或A＝2B.所以A＝2B.(2)由S＝得absinC＝，故有sinBsinC＝sin2B＝sinBcosB，因为sinB≠0，所以sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝；综上，A＝或A＝.2．已知f(x)＝2cos·(sin＋cos)－1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设α，β∈(0，)，f(α)＝2，f(β)＝，求f(α＋β)的值．【答案】　(1)f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，f(x)的最小正周期T＝2π.(2)∵2sin(α＋)＝2，sin(α＋)＝1，<α＋<，∴α＋＝，α＝.∵2sin(β＋)＝，sin(β＋)＝，<β＋<，又∵<，∴<β＋<，cos(β＋)＝.∴f(α＋β)＝2sin(α＋β＋)＝2sin(＋β)＝2cosβ＝2cos[(β＋)－]＝2cos(β＋)cos＋2sin(β＋)sin＝.3.已知函数f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx－(ω>0)，其最小正周期为(1)求f(x)的【答案】式；(2)将函数f(x)的图像向右平移个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图像，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有两个实数解，求实数k的取值范围【答案】　(1)f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx－＝sin2ωx＋－＝sin(2ωx＋)－1，由题意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝＝，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(4x＋)－1.(2)将f(x)的图像向右平移个单位后，得到y＝sin(4x－)－1的图像，再将所得图像所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin(2x－)－1的图像，所以g(x)＝sin(2x－)－1.因为0≤x≤，所以－≤2x－≤.g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有两个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k的图像在区间[0，]上有且只有两个交点，由正弦函数的图像可知－1≤－k<1－1，所以0<k≤1－.4．已知函数f(x)＝2sin2(x－)＋cos2x－3.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若在△ABC中，AB＝2|f()|，AC＝BC，求△ABC面积的最大值．【答案】　(1)f(x)＝2sin2(x－)＋cos2x－3＝－cos(2x－)＋cos2x－2＝cos2x－sin2x－2＝2cos(2x＋)－2.∴2kπ＋π≤2x＋≤2kπ＋2π，∴kπ＋π≤x≤kπ＋π，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ＋π，kπ＋π](k∈Z)(2)方法一：AB＝2|f()|＝6，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，设C(x，y)，由AC＝BC得C点轨迹方程为(x－6)2＋y2＝27.显然当C点坐标为(6，3)面积最大，最大面积为·6·3＝9.方法二：AB＝2|f()|＝6，作CD⊥AB于D，设BD＝m.∴CD2＝a2－m2＝(a)2－(6－m)2，∴m＝3－.∴CD2＝a2－(3－)2＝－(a2－36)2＋27≤27.∴S＝·6·CD≤9(当a＝6时取等号)．方法三：AB＝2|f()|＝6，S＝·a·b·sinC＝a·a·＝≤9(当a＝6时取等号)5．如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进4 km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围3.5 km范围内有暗礁，现该船继续东行． (1)若α＝2β＝60°，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险？(2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？【答案】　(1)作MC⊥AB，垂足为C，由已知α＝60°，β＝30°，所以∠ABM＝120°，∠AMB＝30°，所以BM＝AB＝4，∠MBC＝60°，所以MC＝BM·sin60°＝2<3.5，所以该船有触礁的危险．设该船自B向东航行到点D有触礁危险，则MD＝3.5.在△MDC中，CD＝＝0.5，又BC＝BM·cos60°＝2，所以BD＝1.5.(2)设CM＝x.在△MAB中，由正弦定理得＝，即＝，BM＝，而x＝BM·sin∠MBC＝BM·cosβ＝，所以x>3.5，即>，即>时，该船没有触礁危险．