第18讲 任意角和弧度制,三角函数的概念（原卷及解析版）

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①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角：
终边与角相同的角可写成．
2.弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．
3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
若一个角的弧度数为，角度数为，则，．
知识点2．三角函数的定义
1.任意角的三角函数定义：
设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么
（1）点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；
（2）点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；
（3）点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦
知识点3．扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．
(2)扇形面积公式，
题型一：任意角的概念
1．（全国高二课时练习）钟表的分针在1.5小时内转了（ ）
A．180°B．-180°C．540°D．-540°
【答案】D
【详解】
根据顺时针为负角，则分针在1.5小时内转了 ，
故选：D
2．（河北张家口·）某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
分针需要顺时针方向旋转，即弧度数为.
故选：A.
3．（咸阳百灵学校高一月考）若将钟表调快5分钟，则分针转动角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：将钟表的分针拨快5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为，
故选：C
4．（全国高一课前预习）将分针拨快30分钟，则分针转过的弧度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
将分针拨快30分钟，则分针顺时针旋转180°，所以分针转过的弧度数是.
故选：A
5．（江苏宿迁·）小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
时钟上一圈的弧度是，共12个刻钟，每个刻钟相隔，
现在时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，小亮需要将时针顺时针旋转，
针顺时针旋转为负角，故他需要将时钟的时针旋转.
故选：B.
题型二：终边相同的角的集合
1．（全国高二课时练习）下列各角，与330°角的终边相同的角是（ ）
A．510°B．150°C．-150°D．-390°
【答案】D
【详解】
与330°角的终边相同的角为，
当时， ，
故选：D
2．（银川三沙源上游学校高一月考（文））在0°~360°范围内，与－690°角的终边相同的角是（ ）
A．150°B．210°C．30°D．330°
【答案】C
【详解】
令，
则 ，
令，得，
故选：C
3．（北京十五中高一期中）在0360°范围内，与角终边相同的角是（ ）
A．17°B．107°C．197°D．287°
【答案】D
【详解】
与角终边相同的角可表示为，令得.
故选：D.
4．（全国高一课时练习）下列各角中，与终边相同的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
与终边相同的角为，
当时，，
故选：C
5．（全国高一课时练习）在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( )
.
A．170°B．190°
C．－190°D．－170°
【答案】C
【详解】
与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k·360°，∵－360°