广东省深圳实验学校高中部2022-2023学年高二上学期第一阶段考试数学试卷（含答案）

深圳实验学校高中部2022-2023学年度第一学期第一阶段考试

高二数学

时间：120分钟  满分：150分 

一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．已知，，且，则

 A． B． C． D．

2．已知直线：，：，则与

 A．通过平移两直线可能会重合 B．不可能会垂直

 C．通过绕上某点旋转可以重合 D．可能与轴围成等腰直角三角形

3．已知，，，是平面内不共线的四点，为平面外一点，若，则

 A． B． C． D．

4．已知，，，则以下与平面平行的向量是

 A． B．  C． D．

5．已知圆的弦的中点坐标为，则直线的方程为

 A． B． C． D．

6．已知点，，点在圆上，则△的面积的最小值为

 A． B． C． D．

7．已知圆心在轴上的圆与直线相切，且截直线所得的弦长为，则圆的方程为

 A．  B．，或

 C． D．，或

8．已知直线：，圆：，为坐标原点．

 ①若直线与圆相切，则的方程为

 ②点到直线的距离的最大值为

 ③若圆关于直线对称，则

 ④若直线与圆交于，两点，则当或时，△的面积有最大值

 以上说法正确的个数是

 A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．已知直线：经过点，以下说法正确的是

 A．若，直线与两条坐标轴都相交

 B．直线的方程还可以写成

 C．直线的方程还可以写成

 D．若，则直线在两条坐标轴上的截距一定不相等

10．如图，已知平面，，，，为的中点，，则以下正确的是

 A． B．

 C．与所成角的余弦值为   

 D．与所成角的余弦值为

11．已知圆：与圆：交于两点，，则下列正确的是

 A．， B． 

 C． D．

12．如图，在正方体中，，分别是棱，上的动点，且，则下列结论或说法中正确的有

 A．

 B．可能会出现与相交的情形

 C．可能会出现平面的情形 

 D．可能会出现平面的情形 

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知直线：，：，若，则与之间的距离为      ．

14．已知为圆：的圆心，为坐标原点，若直线与垂直且与圆相切，则的方程为                 ．

15．把正方形纸片沿对角线折成的二面角，则折纸后与所成角的余弦值为       ．

16．已知四面体的所有棱长都为，且，点在棱上（含端点）运动，则的取值范围为          ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

如图，已知四棱锥的底面为平行四边形， ，为的中点，设 ，，．

（1）用，，表示；

（2）求证：平面．

18．（12分）

已知圆：与圆的公共弦所在的直线是：，且圆的圆心在轴上．

（1）求圆的方程；

（2）若直线与圆相切，且在两条坐标轴上的截距相等，求直线的方程．

19．（12分）

已知△中，顶点，的坐标分别为与，动顶点在的上方，且对应的顶角为．

（1）求动顶点的轨迹方程；

（2）判断直线：与的轨迹的交点个数并指出相应的的取值范围．

20．（12分）

已知,分别是棱长为的正方体棱，的中点．

（1）求与平面所成角的余弦值；

（2）求四面体的体积．

21．（12分）

      已知长方体中，，圆内切上底面正方形， 为圆上的动点．

（1）求点到直线的距离；

（2）求的取值范围．

22．（12分）

如图，已知为正方形，平面，，且，为与的交点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值．

高二数学答案

选择题答案：1-8 ACDA BDCC 9.AC  10. ABC  11.ACD 12.ABD

13．   14．，   15．    16．填

或填或填都算对

17.解：（1），（4分）

（2）

，

，（9分）

，.（10分）

18． 解：（1）（法一）

由已知可设圆的方程为：，…（1）（2分）

圆： …（2），

（1）（2）可得：，即为的方程，

所以有，，，

所以圆的方程为.（6分）

（法二）圆的标准方程为，所以的圆心为，

由已知可得圆的圆心在过点且与垂直的直线上，

可得此直线为，令可得，所以的圆心为，（3分）

的圆心到的距离为，

的圆心为到的距离为，

所以两圆的公共弦长为，所以圆的半径为，

所以圆的方程为.（6分）

（2）因为圆心的坐标为，由已知可设的方程为，

因为直线与圆相切，所以有，

所以直线的方程为.（9分）

又因为过原点的直线若与圆相切，截距相等可都为0，

所以又可设直线的方程为，所以有，

所以直线的方程为.（12分）

19．解：（1）（法一）设点的坐标是，

     由已知顶角为可得是以为圆心，为半径的圆，

所以的方程为：，且.

（法二）设点的坐标是，直线，的倾斜角分别为，，

由已知有，所以有，

所以，

所以的方程为：，且.

（2）直线：过定点，设为，

所以有，，

由直线与相切可得：，

所以直线：与的交点的个数和相应的的取值范围是：

当时，没有交点；

当或和时，有且仅有一个交点；

当和时，有两个交点.

20．解：（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

所以， ，，，

设平面的法向量为，

则，

取，则，，所以是平面的一个法向量.

，

所以与平面所成角的余弦值为.

（2），

设点到平面的距离为，所以，

所以四面体的体积为

21． 解：（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

取，

所以点到直线的距离为.

（2）（法一）设，且有，

设，可得

所以，

因为，所以.

（法二）因为平面，，

所以，所以△为直角三角形，

而，

所以，

即.

22．解：（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，（2分）

所以，（4分）

所以 即，因为，

所以平面.（6分）

（2）易得平面平分二面角，

设平面的法向量为，，

则，（8分）

取，则，，得是平面的一个法向量.

由已知易得是平面的一个法向量，

设二面角为，所以有，

因为，所以，二面角为，所以其正弦值为1.（12分）

或继续求平面的法向量

设平面的法向量为，，

，取，则，，

得是平面的一个法向量.

所以，所以二面角为，

所以二面角的正弦值为1.(12分)