第二章 平面向量（能力提升）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（北师大2019版必修第二册）

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第二章 平面向量（能力提升）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2020·徐汇区·上海中学高二期中）已知向量，为平面内的单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据向量与共线，由共线定理可知，从而可将用向量，表示，平方后即可求出的最小值.【详解】因为向量与共线，所以存在唯一的实数，使得，所以，所以，又向量，为平面内的单位向量，所以，，又，所以，所以，所以的最小值为.故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查共线定理的应用及平面向量数量积，关键是根据共线，利用共线定理将用向量，表示，再通过平方转化为二次函数最值问题.2．（2020·海南高三一模）在中，，，，分别是斜边上的两个三等分点，则（    ）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】以点为原点建立直角坐标系，写出向量的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解.【详解】如图所示，以点为原点建立直角坐标系，则可设点，，所以，，所以.故选：D.3．（2020·全国高一）已知，，，，则向量在上的投影为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量数量积的坐标表示求数量积，由向量在上的投影为即可求投影.【详解】由题意知：，而，又，而向量在上的投影为，故选：C4．（2020·内蒙古乌兰察布市·集宁一中高二期中（理））已知正方形ABCD的中心为且边长为1，则（    ）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，再利用两个向量的数量积的定义，求得要求式子的值.【详解】解：正方形的中心为且其边长为1，则，故选：D.5．（2021·全国高三专题练习（文））已知平面向量，，， 则下列结论中错误的是（    ）A．向量与向量共线B．若，则，C．对同一平面内任意向量，都存在实数，，使得D．向量在向量方向上的投影为0【答案】C【分析】根据可知正确；根据平面向量基本定理可知正确；根据向量与向量共线可知当不与共线，且时，不存在实数，，使得，故不正确；根据向量在向量方向上的投影的定义计算可知正确.【详解】对于，因为，，所以，所以向量与向量共线，故正确；对于，若，则，所以，解得，，故正确；对于，因为，所以，所以当不与共线，且时，不存在实数，，使得，故不正确；对于，向量在向量方向上的投影为，故正确.故选：C【点睛】本题考查了平面向量共线问题，考查了平面向量基本定理，考查了向量在向量方向上的投影的概念，属于基础题.6．（2020·河南南阳市·南阳中学高三月考（文））已知向量满足，，且，则与的夹角的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量数量积的定义：，再由向量夹角的取值范围求解．【详解】解：设与的夹角，，，，．故选：．7．（2021·全国高三专题练习（理））设向量，满足，，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【分析】遇模平方，将与平方后作差即可得到答案.【详解】由，得，即  ①，由，得， 即  ②，①②得．故选：A8．（2020·深州长江中学高三期中）已知向量、的夹角为，且，，则（    ）A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】利用及数量积的定义计算．【详解】∵∴，即∴或（舍）故选：C.9．（2020·济南市·山东省实验中学高三月考）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，过点作于点，根据题中条件，得到，，再由平面向量的线性运算，即可得出结果.【详解】设，由题意，可得，在中，可得，过点作于点，则，且，所以，所以，，因此.故选：A.10．（2020·全国高二（理））若、、是空间的非零向量，则下列命题中的真命题是（    ）．A． B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据平面向量数量积的定义和运算律依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A，，，与未必共线，A错误；对于B，若，则与方向相反，故，B正确；对于C，由得：，即，不能推出，C错误；对于D，由得：，但与方向未必相同，不能得到，D错误.故选：B.11．（多选题）（2020·福建高一期末）设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（    ）A．若，则B．若，则存在实数，使得C．若，则D．若存在实数，使得，则【答案】BC【分析】利用向量的数量积、向量垂直、向量平行的性质，对选项逐个化简判断即可.【详解】解：对于A，当时，，得，因为，是两个非零向量，所以，共线反向，所以A错误，B正确；对于C，当时，，得，所以 ，所以C正确；对于D，由A的判断可知，当时成立，而时，不成立，所以D错误，故选：BC【点睛】此题考查了向量的数量积、向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.12．（多选题）（2020·全国高二）若、、是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（    ）A．     B．若，则C．若，则  D．若，则【答案】ACD【分析】根据向量数量积的运算律逐一判断即可.【详解】是与共线的向量，是与共线的向量，与不一定共线，A错，若，则与方向相反，∴，B对，若，则，即，不能推出，C错，若，则，与方向不一定相同，不能推出，D错，故选：ACD.二、填空题13．（2020·上海嘉定区·高二期中）已知，则与方向相同的单位向量________.【答案】【分析】由单位向量的概念及向量同向的性质运算即可得解.【详解】因为，所以，所以与方向相同的单位向量.故答案为：.14．（2020·四川雅安市·雅安中学高一期中）已知非零向量，不共线，若和共线，则______.【答案】【分析】两个向量平行，则这两个向量成倍数关系.【详解】∵与共线，∴存在实数，使，即.∵非零向量，不共线，∴，解得.故答案为：15．（2020·湖南怀化市·高三期中）在中，，若点M满足，则______.【答案】【分析】两边平方可得，，分别用，表示，利用数量运算即可求值.【详解】如图，，，,又，，故答案为：16．（2020·威海市文登区教育教学研究培训中心高三期中）已知单位向量满足.设，则向量的夹角的余弦值为_____________.【答案】【分析】对两边平方即可求出，然后可求出，和的值，从而可根据向量夹角的余弦公式可得出夹角的余弦值．【详解】解：，，，，，，．故答案为：．三、解答题17．（2020·上海市杨浦高级中学高二期中）如图所示，在矩形ABCD中，，，点M为边BC的中点，点N在边CD上.（1）若点N为线段CD上靠近D的三等分点，求的值;（2）若，求此时点N的位置.【答案】（1）5；（2）点为线段上靠近的三等分点.【分析】（1）以为轴建立平面直角坐标系，写出各点坐标，由向量数量积的坐标表示计算；（2）设，，由数量积的坐标表示列式求解．【详解】（1）如图建系，则，，，（2）设，，则，解得因此，此时点为线段上靠近的三等分点18．（2020·咸阳市高新一中高三月考（理））已知，（1）当为何值时，与共线；（2）若，且、、三点共线，求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解；（2）由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解．【详解】解：（1），，，，又与共线，，即；（2），，、、三点共线，，即．19．（2020·阜阳市第二中学高一期末）已知向量和，其中，，（1）当为何值时，有、平行；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）且【分析】（1）根据题意，设，则有，再结合，，可求出的值；（2）根据题意，若向量与的夹角为钝角，则有，由数量积的计算公式可得，再结合向量不共线分析可得答案.【详解】解：（1）因为、平行，所以设，所以，即因为，，得与不共线，所以，得，（2）因为向量与的夹角为钝角，所以，因为向量和，其中，所以，，所以 ，解得，又因为向量与不共线，所以由（1）可知所以且【点睛】此题考查向量的数量积运算，涉及向量平行的判定，关键是掌握向量数量积与向量夹角的关系，属于中档题.20．（2020·河西区·天津实验中学高三月考）如图，在四边形ABCD中，，，，且，.（1）求实数的值；（2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据和向量的数量积定义式计算；（2）建立平面坐标系，设，用x表示出，根据二次函数性质得出最小值.【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴.（2）过A作，垂足为O，则，，，以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示：则，设，，，∴，，∴，∴当时，取得最小值.【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算，解答的关键是理解数量积的定义以及数量积的坐标表示.21．（2020·上海徐汇区·高二期中）在平面直角坐标系中，已知向量，．（1）求证：且；（2）设向量，，且，求实数的值．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据向量的坐标求出向量模的方法以及向量的数量积即可求解.（2）根据向量垂直，可得数量积等于，进而解方程即可求解.【详解】（1）证明：，，所以，因为，所以；（2）因为，所以，由（1）得：所以，解得．【点睛】本题考查了向量坐标求向量的模以及向量数量积的坐标表示，属于基础题.22．（2020·河南高三月考（理））已知向量，，向量．（1）若，求的值；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示得，再结合得；（2）先根据坐标运算得，再根据模的坐标表示得，故的最大值为16，进而得的最大值为4，故.【详解】（1）由，得，解得．又，所以．（2）因为，所以，由，得，所以当时．即时，．由恒成立，得，所以实数的取值范围．