辽宁省沈阳市大东区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（Word版含答案）

沈阳市大东区2021-2022学年九年级上学期期末（学情诊断二）

数学试卷

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）

1．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱

2．（2分）关于x的一元二次方程x2+4x+2＝0根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根

3．（2分）小明抛一枚硬币100次，其中有60次正面朝上，则反面朝上的频率是（　　）

A．0.6 B．6 C．0.4 D．4

4．（2分）某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x．则下面所列方程正确的是（　　）

A．36（1﹣x）2＝48 B．36（1+x）2＝48 

C．36（1﹣x）2＝48﹣36 D．48（1﹣x）2＝36

5．（2分）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（　　）

A． B． C． D．

6．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣9x+19＝0，配方后的方程为（　　）

A．（x﹣）2＝ B．（x+）2＝ C．（x﹣9）2＝62 D．（x+9）2＝62

7．（2分）书架上放着两本散文和一本数学书，小明从中随机抽取一本，抽到数学书的概率是（　　）

A．1 B． C． D．

8．（2分）如果反比例函数的图象经过点P（﹣3，﹣1），那么这个反比例函数的表达式为（　　）

A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝x D．y＝﹣x

9．（2分）如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．BC2＝BD•AB

10．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（　　）

A．16 B．24 C．32 D．40

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）已知＝，则的值为 　   　．

12．（3分）若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 　   　．

13．（3分）两个相似三角形对应边上的高的比是2：3，那么这两个三角形面积的比是 　   　．

14．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是 　   　．

15．（3分）线段AB、CD在平面直角坐标系中的网格位置．如图所示，O为坐标原点，A、B、C、D均在格点上，线段AB、CD是位似图形，位似中心的坐标是 　   　．

16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若F为CD中点，则BC的长为 　   　．

三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）

17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．

18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）连接BD，若∠1＝32°，∠ADB＝22°，请直接写出当∠ABE＝　   　°时，四边形BFDE是菱形．

19．（8分）有四张大小、质地都相同的不透明卡片，上面分别标有数字1，2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，洗匀后从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后再从中任意抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率．

四、（每小题8分，共16分）

20．（8分）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．

（1）求证：AF：FD＝AD：DB；

（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．

21．（8分）列方程解下列应用题：沈阳的冬天比较冷，某店销售的充电暖宝热销，每个暖宝售价为80元，每星期可卖出300个，为了促销，该店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30个．已知该款暖宝每个成本为60元，在顾客得到实惠的前提下，该店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？

五、（本题10分）

22．（10分）一次函数y＝k1x+b和反比例函数y＝的图象的相交于A（2，3），B（﹣3，m），与x轴交于点C，连接OA，OB．

（1）请直接写出m的值为 　   　，反比例函数y＝的表达式为 　   　；

（2）观察图象，请直接写出k1x+b﹣＞0的解集；

（3）求△AOB的面积．

六、（本题10分）

23．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边的延长线上一点，连接DE，且∠EDC＝30°，以DE为斜边作等腰Rt△DEF，直角边EF的延长线交BD于点M，连接AF．

（1）请直接写出∠ADF＝　   　度；

（2）求证：△DAF∽△DBE；

（3）请直接写出的值．

七、（本题12分）

24．（12分）如图，正方形ABCD的边长是6，E，F分别是直线BC，直线CD上的动点，当点E在直线BC上运动时，始终保持AE⊥EF．

（1）求证：Rt△ABE∽Rt△ECF；

（2）当点E在边BC上，四边形ABCF的面积等于20时，求BE的长；

（3）当点E在直线BC上时，△AEF和△CEF能相似吗？若不能，说明理由，若能请直接写出此时BE的长．

八、（本题12分）

25．（12分）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝6，AB＝8，如图2，矩形ABCD沿OB所在射线方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从点A出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）当t＝5时，请直接写出点D，P的坐标；

（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围；

（3）当点P在线段AB或线段BC上运动时，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，当△PEO与△BCD相似时，请直接写出相应的t值．

沈阳市大东区2021-2022学年九年级上学期期末（学情诊断二）

数学试卷

        参考答案与试题解析

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）

1．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．

【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．

故选：A．

2．（2分）关于x的一元二次方程x2+4x+2＝0根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根

【分析】先求出Δ的值，再判断出其符号即可．

【解答】解：∵Δ＝42﹣4×1×2＝8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

3．（2分）小明抛一枚硬币100次，其中有60次正面朝上，则反面朝上的频率是（　　）

A．0.6 B．6 C．0.4 D．4

【分析】求出“反面朝上的频数”，再根据“频率”的定义进行计算即可．

【解答】解：小明抛一枚硬币100次，其中有60次正面朝上，

则反面朝上的有100﹣60＝40次，

所以反面朝上的频率频率为＝0.4，

故选：C．

4．（2分）某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x．则下面所列方程正确的是（　　）

A．36（1﹣x）2＝48 B．36（1+x）2＝48 

C．36（1﹣x）2＝48﹣36 D．48（1﹣x）2＝36

【分析】由该超市一月份及三月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：依题意得：36（1+x）2＝48．

故选：B．

5．（2分）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，根据已知即可求出答案．

【解答】解：∵l1∥l2∥l3，，

∴＝＝＝，

故选：D．

6．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣9x+19＝0，配方后的方程为（　　）

A．（x﹣）2＝ B．（x+）2＝ C．（x﹣9）2＝62 D．（x+9）2＝62

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．

【解答】解：∵x2﹣9x+19＝0，

∴x2﹣9x＝﹣19，

∴x2﹣9x+＝﹣19+，即（x﹣）2＝，

故选：A．

7．（2分）书架上放着两本散文和一本数学书，小明从中随机抽取一本，抽到数学书的概率是（　　）

A．1 B． C． D．

【分析】让数学书的本数除以书的总本数即为从中任意抽取一本，是数学书的概率．

【解答】解：由于共有3本书，其中数学书有1本，

则恰好抽到数学书的概率是，

故选：D．

8．（2分）如果反比例函数的图象经过点P（﹣3，﹣1），那么这个反比例函数的表达式为（　　）

A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝x D．y＝﹣x

【分析】设反比例函数解析式为y＝（k≠0），把点P（﹣3，﹣1）代入即可求得k的值．

【解答】解：设反比例函数解析式为y＝（k≠0），

∵函数经过点P（﹣3，﹣1），

∴﹣1＝，

解得k＝3．

∴反比例函数解析式为y＝．

故选：A．

9．（2分）如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．BC2＝BD•AB

【分析】利用相似三角形判定方法依次判断可求解．

【解答】解：由题意可得：△ACD和△ABC中，∠CAD＝∠BAC，

若∠ACD＝∠B，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项A不合题意；

若∠ADC＝∠ACB，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项B不合题意；

若AC2＝AD•AB，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项C不合题意；

故选：D．

10．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（　　）

A．16 B．24 C．32 D．40

【分析】根据直角三角形的性质求出BE，证明DM∥BE，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝7，根据平时四边形的判定定理和性质定理解答即可．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，E是AC的中点，

∴BE＝AC＝×18＝9，BE＝AE，

∴∠EBA＝∠A，

∴∠MDB＝∠A，

∴∠MDB＝∠EBA，，

∴DM∥BE，

∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE∥BC，DE＝BC＝×14＝7，

∴四边形DMBE为平行四边形，

∴四边形DMBE的周长＝2×（DE+BE）＝2×16＝32，

故选：C．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）已知＝，则的值为 　　．

【分析】根据和比性质，可得答案．

【解答】解：由和比性质，得

＝，

故答案为：．

12．（3分）若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 　k＞5　．

【分析】根据反比例函数的图象和性质，由4﹣k＜0即可解得答案．

【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，

∴5﹣k＜0．

解得k＞5．

故答案是：k＞5．

13．（3分）两个相似三角形对应边上的高的比是2：3，那么这两个三角形面积的比是 　4：9　．

【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．

【解答】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，

∴两三角形的相似比为2：3，

∴两三角形的面积比为4：9．

故答案为：4：9．

14．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是 　﹣2　．

【分析】根据一元二次方程的定义可得出k﹣1≠0，进而可得出k≠1，将x＝0代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，结合k≠1即可得出结论．

【解答】解：∵方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0为一元二次方程，

∴k﹣1≠0，

∴k≠1．

将x＝0代入（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0，得：k2+k﹣2＝0，

解得：k1＝﹣2，k2＝1（不合题意，舍去）．

故答案为：﹣2．

15．（3分）线段AB、CD在平面直角坐标系中的网格位置．如图所示，O为坐标原点，A、B、C、D均在格点上，线段AB、CD是位似图形，位似中心的坐标是 　（0，0）或（，4）　．

【分析】分点A和点C为对应点，点B和点D为对应点、点A和点D为对应点，点B和点C为对应点两种情况，根据位似中心的概念解答．

【解答】解：当点A和点C为对应点，点B和点D为对应点时，延长CA、BD交于点O，

则位似中心的坐标是（0，0），

当点A和点D为对应点，点B和点C为对应点时，连接AD、BC交于点P，

则点P为位似中心，

∵线段AB、CD是位似图形，

∴AB∥CD，

∴△PAB∽△PDC，

∴＝＝＝，即＝，

∴AP＝，

∴位似中心点P的坐标是（，4），

综上所述，位似中心点的坐标是（0，0）或（，4），

故答案为：（0，0）或（，4）．

16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若F为CD中点，则BC的长为 　4　．

【分析】延长BF交AD的延长线于点H，证明△BCF≌△HDF（AAS），由全等三角形的性质得出BC＝DH，由折叠的性质得出∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，设AE＝EG＝x，则AD＝BC＝DH＝3x，得出EH＝5x，由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案．

【解答】解：延长BF交AD的延长线于点H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠BCF＝90°，CD＝AB＝4，

∴∠H＝∠CBF，

在△BCF和△HDF中，

，

∴△BCF≌△HDF（AAS），

∴BC＝DH，

∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，

∴∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，

∴∠EGH＝90°，

∵AE＝AD，

∴设AE＝EG＝x，则AD＝BC＝DH＝3x，

∴ED＝2x，

∴EH＝ED+DH＝5x，

在Rt△EGH中，sin∠H＝＝＝，

∴sin∠CBF＝＝，

∵点F为CD的中点，

∴DF＝CF＝2，

∴＝，

∴BF＝10，

∴BC＝＝＝4，

故答案为：4．

三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）

17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．

【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．

【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0

x﹣3＝0，x+1＝0

∴x1＝3，x2＝﹣1．

18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）连接BD，若∠1＝32°，∠ADB＝22°，请直接写出当∠ABE＝　12　°时，四边形BFDE是菱形．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CDF；

（2）通过证明BE＝DE，可得结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，

∴∠1＝∠DCF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形，理由如下：

∵△ABE≌△CDF，

∴BE＝DF，AE＝CF，

∴BF＝DE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵∠1＝32°，∠ADB＝22°，

∴∠ABD＝∠1﹣∠ADB＝10°，

∵∠ABE＝12°，

∴∠DBE＝∠ABD+∠ABE＝22°，

∴∠DBE＝∠ADB＝22°，

∴BE＝DE，

∴平行四边形BFDE是菱形，

故答案为：12．

19．（8分）有四张大小、质地都相同的不透明卡片，上面分别标有数字1，2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，洗匀后从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后再从中任意抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率．

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

【解答】解：列表如下：

由表知，共有16种等可能结果，其中两次抽取的卡片上的数字和等于5的有4种结果，

所以两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率为＝．

四、（每小题8分，共16分）

20．（8分）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．

（1）求证：AF：FD＝AD：DB；

（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．

【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF∥CD得到＝，由DE∥BC得到＝，然后利用等量代换可得到结论；

（2）根据比例的性质由AD：BD＝2：1可计算出AD＝20，则利用AF：FD＝AD：DB得到AF＝2DF，然后利用2DF+DF＝20可计算出DF．

【解答】（1）证明：∵EF∥CD，

∴＝，

∵DE∥BC，

∴＝，

∴＝．

（2）解：∵AD：BD＝2：1，

∴BD＝AD，

∴AD+AD＝30，

∴AD＝20，

∵AF：FD＝AD：DB，

∴AF：FD＝2：1，

∴AF＝2DF，

∵AF+DF＝20，

∴2DF+DF＝20，

∴DF＝．

21．（8分）列方程解下列应用题：沈阳的冬天比较冷，某店销售的充电暖宝热销，每个暖宝售价为80元，每星期可卖出300个，为了促销，该店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30个．已知该款暖宝每个成本为60元，在顾客得到实惠的前提下，该店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？

【分析】设每件的售价定为x元，则每件的销售利润为（x﹣60）元，每星期的销售数量为（2700﹣30x）个，根据商店销售充电暖宝每星期的利润为6480元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要让顾客得到实惠，即可得出应将每件的售价定为72元．

【解答】解：设每件的售价定为x元，则每件的销售利润为（x﹣60）元，每星期的销售数量为300+30（80﹣x）＝（2700﹣30x）个，

依题意得：（x﹣60）（2700﹣30x）＝6480，

整理得：x2﹣150x+5616＝0，

解得：x1＝72，x2＝78．

又∵要让顾客得到实惠，

∴x＝72．

答：应将每件的售价定为72元．

五、（本题10分）

22．（10分）一次函数y＝k1x+b和反比例函数y＝的图象的相交于A（2，3），B（﹣3，m），与x轴交于点C，连接OA，OB．

（1）请直接写出m的值为 　﹣2　，反比例函数y＝的表达式为 　y＝　；

（2）观察图象，请直接写出k1x+b﹣＞0的解集；

（3）求△AOB的面积．

【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，把x＝﹣3代入反例函数解析式，得出m的值；

（2）找出直线落在双曲线上方的部分对应的自变量的取值范围即可；

（3）把A、B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式，再求出C点坐标，然后根据△AOB的面积＝△AOC的面积+△BOC的面积列式计算即可．

【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（2，3），

∴把x＝2，y＝3代入上式并解得k＝6．

∴反比例函数的表达式为y＝．

∵点B（﹣3，m）在y＝的图象上，

∴m＝﹣2．

故答案为：﹣2，y＝；

（2）根据图象可知，k1x+b﹣＞0的解集为x＞2或﹣3＜x＜0；

（3）把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入y＝k1x+b，

得，解得，

∴一次函数的表达式为：y＝x+1；

当y＝0时，x＝﹣1，

∴C点坐标为（﹣1，0），

∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×3+×1×2＝．

六、（本题10分）

23．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边的延长线上一点，连接DE，且∠EDC＝30°，以DE为斜边作等腰Rt△DEF，直角边EF的延长线交BD于点M，连接AF．

（1）请直接写出∠ADF＝　75　度；

（2）求证：△DAF∽△DBE；

（3）请直接写出的值．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质解答即可；

（2）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；

（3）根据相似三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：（1）∵△AEF是等腰直角三角形，

∴∠EDF＝45°，

在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∵∠EDC＝30°，

∴∠DAF＝90°+∠EDC﹣∠EDF＝90°+30°﹣45°＝75°，

故答案为：75°

（2）在正方形ABCD和等腰Rt△DEF中，∠MDE＝45°+∠MDF＝75°＝∠DAF，

∵△ABD和△DEF都是等腰直角三角形，

∴＝＝，

∴△DAF∽△DBE；

（3）在Rt△DCE中，∠CDE＝30°，

∴DE＝2CE＝DC＝AB，

在等腰Rt△ABD中，BD＝AB，

∵∠DEM＝∠DBC＝45°，∠EDM＝∠BDE，

∴△DEM∽△DBE，

∴＝＝＝．

七、（本题12分）

24．（12分）如图，正方形ABCD的边长是6，E，F分别是直线BC，直线CD上的动点，当点E在直线BC上运动时，始终保持AE⊥EF．

（1）求证：Rt△ABE∽Rt△ECF；

（2）当点E在边BC上，四边形ABCF的面积等于20时，求BE的长；

（3）当点E在直线BC上时，△AEF和△CEF能相似吗？若不能，说明理由，若能请直接写出此时BE的长．

【分析】（1）利用同角的余角相等可得∠BAE＝∠CEF，从而证明结论；

（2）设BE＝x，则CE＝12﹣x，由Rt△ABE∽Rt△ECF，得CF＝，再由四边形ABCF的面积为20，得＝20，解得：x＝3，得出BE的长；

（3）当点E在线段BC上时，当∠FEC＝∠EAF时，△AEF∽△ECF，则，得出答案；当点E在CB的延长线上时，设AF与BC相交于点H，当∠CEF＝∠AFE时，△CEF∽△EFA，得EH＝HF，∠FAE＝∠HEA，则AH＝EH＝HF，得出CH＝3cm；当点E在BC的延长线上时，设AF与BC相交于点H，当∠EFC＝∠EAF时，△FCE∽△AEF，同理可求BE＝3+3．

【解答】（1）证明：∵AE⊥EF，

∴∠AEB+∠CEF＝90°，

又∵∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴Rt△ABE∽Rt△ECF；

（2）解：设BE＝x，则CE＝12﹣x，

∵Rt△ABE∽Rt△ECF，

∴，

∴，

∴CF＝，

∴S梯形ABCF＝＝

根据题意得＝20，

解得：x＝3，

∴BE的长为3；

（3）能，如图，当点E在线段BC上时，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝∠C＝90°，

∵AF不平行BC，

∴∠AFE≠∠FEC，

当∠FEC＝∠EAF时，△AEF∽△ECF，

∵Rt△ABE∽Rt△ECF，

∴∠BAE＝∠FEC＝∠EAF，，

∵tan，

∴，

∴，

∴BE＝3；

如图，当点E在CB的延长线上时，设AF与BC相交于点H，

当∠CEF＝∠AFE时，△CEF∽△EFA，

∴EH＝HF，∠FAE＝∠HEA，

∴AH＝EH＝HF，

∵BC∥AD，

∴△CFH∽△DFA，

∴，

∴CH＝3，

∴BH＝3，

∴AH＝＝3，

∴BE＝EH﹣BH＝3﹣3；

如图，当点E在BC的延长线上时，设AF与BC相交于点H，

当∠EFC＝∠EAF时，△FCE∽△AEF，

同理可求BE＝3+3，

综上所述：BE的长为：3或3﹣3或3+3．

八、（本题12分）

25．（12分）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝6，AB＝8，如图2，矩形ABCD沿OB所在射线方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从点A出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）当t＝5时，请直接写出点D，P的坐标；

（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围；

（3）当点P在线段AB或线段BC上运动时，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，当△PEO与△BCD相似时，请直接写出相应的t值．

【分析】（1）延长CD，BA分别交x轴于M，N，利用DA∥ON，得，则ON＝9，BN＝12，从而求出点D，P的坐标；

（2）当0≤t≤8时，S＝×BP×AD＝×（8﹣t）×6＝24﹣3t，当8＜t≤14时，S＝×BP×CD＝×（t﹣8）×8＝4t﹣32；

（3）分点P在AB上和点P在BC上两种情形，分别表示出点P的坐标，根据相似三角形的性质即可列出方程．

【解答】解：（1）延长CD，BA分别交x轴于M，N，

当t＝5时，OD＝5，

在Rt△BAD，中，由勾股定理得BD＝10，

∵DA∥ON，

∴，

∴ON＝9，BN＝12，

∴OM＝3，DM＝AN＝4，

∴D（3，4），P（9，9）；

（2）当0≤t≤8时，

S＝×BP×AD＝×（8﹣t）×6＝24﹣3t，

当8＜t≤14时，如图，

S＝×BP×CD＝×（t﹣8）×8＝4t﹣32，

综上：S＝；

（3）当点P在AB上时，如图，

设D（），P（6+，），

∵∠OPE＞∠OBA，

∴只能是△POE∽△BDC，

∴，

∴

解得t＝；

当点P在BC上时，如图，

此时P（14﹣，8+），

当∠POE＝∠BDA时，则点P与B重合，

∴t＝8，

当∠POE＝∠ABD时，

∴，

∴，

解得t＝（舍），

综上：t＝或8．