辽宁省沈阳市第四十三中学2022-2023学年上学期九年级期末数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省沈阳市第四十三中学2022-2023学年上学期九年级期末数学试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年辽宁省沈阳四十三中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）下面图中所示几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．（2分）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2分）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝7米，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4米，DE在阳光下的投影长为6米，则DE的长为（　　）米．

A． B． C． D．14
6．（2分）下列说法中，不正确的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
7．（2分）线段a，b，c，d是成比例线段，已知a＝2，b＝，则d＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2分）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P在y轴上，△ABP的面积为1，则k的值为（　　）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
9．（2分）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
10．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥am2+bm（m是任意实数）．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3且与直线a、b相交于点A、B、C、D、E、F，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则DF＝　 　．

12．（3分）在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为36%，估计袋中白球有　 　个．
13．（3分）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为　 　．
14．（3分）在△ABO中，已知点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A在第四象限的对应点A′的坐标是 　 　．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 　 　．

16．（3分）如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、G分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为 　 　．

三、计算题（每小题6分，共12.0分）
17．（6分）解方程：3x（x﹣2）＝4（2﹣x）
18．（6分）计算2sin260°+tan60°•cos30°﹣cos45°．
四、解答题（第19、20小题各8分，第21小题10分，共26分）
19．（8分）在一个不透明的布袋里有四个小球，球表面分别标有2、3、4、6四个数字，它们的材质、形状、大小完全相同．从中随机摸出一个小球记下数字作为x，再从剩下的三个球中随机摸出一个球记下数字作为y，记点A的坐标为（x，y）．
（1）从中随机摸出一个小球，标号为6的概率是 　 　．
（2）运用画树状图或列表的方法，求出点A在反比例函数图象上的概率．
20．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝2时，直接写出EA的长．

21．（10分）如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，直接写出点P的坐标；
（3）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，直接写出t的取值范围．

五、（本小题10分）
22．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
六、（本小题10分）
23．（10分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝30°，∠DBH＝45°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（结果保留根号）

七、（本小题12分）
24．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN．连接BN，射线NM交线段BC于点D．
（1）如图1，∠MCN＝90°，CM＝CN，点A，M，N在一条直线上，直接写出线段AM和线段BN的数量关系和位置关系；
（2）如图2，点A，M，N在一条直线上时，∠CMN＝90°，MC＝MN．
①求证：BN+CM＝AM；
②若AM＝4，BN＝1，求AB的长；
③若CM＝2，将△CMN绕点C逆时针旋转，在旋转过程中射线NM交直线AB于点H，当△DBH是直角三角形时，直接写出CD的长．


八、（本小题12分）
25．（12分）如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线AB于点M．设点P的横坐标为t．
①MN＝2MP时，求点N的坐标．
②点C是直线AB上方抛物线上一点，当△MNC∽△BPM时，直接写出t的值．
③若点Q在平面内，当以Q、A、M、N为顶点的四边形是菱形时，直接写出点Q的纵坐标．



2022-2023学年辽宁省沈阳四十三中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）下面图中所示几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：图中所示几何体的左视图是．
故选：B．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
2．（2分）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程移项得：y2﹣y＝，
配方得：y2﹣y+＝，
整理得：（y﹣）2＝．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（2分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP（AP＞BP），且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点
【解答】解：根据黄金分割定义可知：
AP是AB和BP的比例中项，
即AP2＝AB•BP，
∴＝．
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
4．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数定义即可得．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
则sinA＝＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
5．（2分）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝7米，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4米，DE在阳光下的投影长为6米，则DE的长为（　　）米．

A． B． C． D．14
【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，

在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m，
∵△ABC∽△DEF，AB＝7m，BC＝4m，EF＝6m，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝．
故选：A．
【点评】本题考查了平行投影，解题的关键是记住在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．
6．（2分）下列说法中，不正确的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定即可一一判断．
【解答】解：A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形；
C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；
D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形；
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（2分）线段a，b，c，d是成比例线段，已知a＝2，b＝，则d＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据成比例线段的概念，可得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，即可求得d的值．
【解答】解：∵a：b＝c：d，
∴ad＝bc，
∵a＝2，b＝，c＝2，
∴2d＝×2，
∴d＝．
故选：D．
【点评】此题考查了成比例线段，解题时一定要严格按照顺序写出比例式，再根据比例的基本性质进行求解．
8．（2分）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P在y轴上，△ABP的面积为1，则k的值为（　　）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】由于AB⊥x轴，则AB∥OP，于是有S△OAB＝S△PAB＝1，然后根据k的几何意义易得k的值．
【解答】解：如图，连OA，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥OP，
∴S△OAB＝S△PAB＝1，
∴|k|＝2×1＝2，
∵反比例函数图象过第二象限，
∴k＝﹣2．
故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数y＝的系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，所得的矩形面积为|k|．也考查了待定系数法求函数的解析式．
9．（2分）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，
解得k≥﹣2且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥am2+bm（m是任意实数）．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1得到b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x＝1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，所以②不正确；
当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥＞am2+bm，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，当a＜0，抛物线的开口向下，当x＝﹣时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3且与直线a、b相交于点A、B、C、D、E、F，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则DF＝　4.5　．

【分析】根据平行线分线段成比例，由AD∥BE∥CF得到，然后根据比例性质求DF．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
即，
解得DF＝4.5，
故答案为4.5
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
12．（3分）在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为36%，估计袋中白球有　18　个．
【分析】用袋中球的总个数乘以摸到白球的频率，据此可得．
【解答】解：估计袋中白球有50×36%＝18个，
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
13．（3分）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为　x（x﹣1）＝110　．
【分析】设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，根据共送礼物110件，列出方程．
【解答】解：设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，
由题意得，x（x﹣1）＝110．
故答案是：x（x﹣1）＝110．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
14．（3分）在△ABO中，已知点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A在第四象限的对应点A′的坐标是 　（2，﹣1）　．
【分析】根据位似变换的性质计算，判断即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣6，3），
∴点A的对称点A′的坐标为（﹣6×，3×）或（6×，﹣3×），即（﹣2，1）或（2，﹣1），
∴点A在第四象限的对应点A′的坐标是（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 　10　．

【分析】根据勾股定理得到BC＝＝5，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，求得EC＝EA，AF＝CF，推出AE＝CE＝BC＝2.5，根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝∠BAC＝90°，同理证得AF＝CF＝2.5，于是得到结论．
【解答】解：∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，AF＝CF，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠B+∠ACB＝∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE，
∴AE＝CE＝BC＝2.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝∠BAC＝90°，
同理证得AF＝CF＝2.5，
∴四边形AECF的周长＝EC+EA+AF+CF＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质．利用勾股定理列出方程是解题的关键．
16．（3分）如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、G分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为 　﹣2　．

【分析】本题关键搞清M的运动轨迹，有DE＝FG，BG＞AF，可知∠FMD＝90°，所以M到FD的中点H的距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得CM的范围，从而确定它的最小值．
【解答】解：取FD的中点H，作FK垂直BC于点K，

∵DE＝FG，AD＝FK，∠A＝∠FKG＝90°，
∴△AED≌△KFG（HL），
∴∠ADE＝∠KFG，
又∵∠FGK＝∠DFM，∠KFG+∠FGK＝90°，
∴∠DFM+∠ADE＝90°，
∴∠FMD＝90°，
∴MH＝＝2，
所以M在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动，
∵MC≥CH﹣MH
当M落在CH上时，取到等号
即MC达到最小，最小值为CH﹣M′H＝﹣2．
【点评】本题考查正方形的基本性质，和全等直角三角形的判定，解决此类问题的关键是判断动点M的运动轨迹，然后利用三角形三边的关系判断MC何时取到最值．
三、计算题（每小题6分，共12.0分）
17．（6分）解方程：3x（x﹣2）＝4（2﹣x）
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：∵3x（x﹣2）+4（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x+4）＝0，
则x﹣2＝0或3x+4＝0，
解得：x＝2或x＝﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（6分）计算2sin260°+tan60°•cos30°﹣cos45°．
【分析】把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝2×（）2+×﹣×
＝2×+﹣1
＝﹣1
＝3﹣1
＝2．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
四、解答题（第19、20小题各8分，第21小题10分，共26分）
19．（8分）在一个不透明的布袋里有四个小球，球表面分别标有2、3、4、6四个数字，它们的材质、形状、大小完全相同．从中随机摸出一个小球记下数字作为x，再从剩下的三个球中随机摸出一个球记下数字作为y，记点A的坐标为（x，y）．
（1）从中随机摸出一个小球，标号为6的概率是 　　．
（2）运用画树状图或列表的方法，求出点A在反比例函数图象上的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式即可得出结论；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断有4个点在函数y＝图象上，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）∵球表面分别标有2、3、4、6四个数字，它们的材质、形状、大小完全相同，
∴中随机摸出一个小球，标号为6的概率为．
故答案为：；
（2）依题意列表得：

2
3
4
6
2

（2，3）
（2，4）
（2，6）
3
（3，2）

（3，4）
（3，6）
4
（4，2）
（4，3）

（4，6）
6
（6，2）
（6，3）
（6，4）

由上表可得，点A的坐标共有12种结果，其中点A在反比例函数y＝图象上的有4种：
（2，6）、（3，4）、（4，3）、（6，2），
∴点A在反比例函数y＝上的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝2时，直接写出EA的长．

【分析】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC＝90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．
（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°．
∴四边形ODEC是矩形．
（2）解：∵Rt△ADO中，∠ADO＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝AD＝，AO＝3，
∴AC＝6，EC＝，
∴AE＝．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
21．（10分）如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，直接写出点P的坐标；
（3）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，直接写出t的取值范围．

【分析】（1）将点B，点A坐标代入反比例函数的解析式，可求a和k的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
（2）连接OA，OB，OP，求得OC的长，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，S△AOP：S△BOP＝1：2，求得S△BOP＝S△BOC+S△POC进而求得点P的坐标；
（3）先求出点C坐标，由面积关系可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，
∴k＝﹣1×3＝a×（﹣1），
∴k＝﹣3，a＝3，
∴点A（3，﹣1），
∴反比例函数的解析式为y＝，
由题意可得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）连接OA，OB，OP，

令x＝0代入y2＝﹣x+2，
解得y2＝2，
∴一次函数与y轴的交点C坐标为（0，2）
∴OC＝2，
∵点P在线段AB上，
∴设点P为（m，﹣m+2），
∵点A（3，﹣1），点B（﹣1，3），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝4，
∵S△AOP：S△BOP＝1：2，
∴S△BOP＝＝，
∵S△BOP＝S△BOC+S△POC＝1+m，
∴1+m＝，
解得m＝，
∴﹣m+2＝，
∴点P的坐标为（，）；
（3）∵直线AB交y轴于点C，
∴点C（0，2），
∴S四边形COMN＝S△OMN+S△OCN＝+×2×t，
∵S四边形COMN＞3，
∴+×2×t＞3，
∴t＞．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．
五、（本小题10分）
22．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
【分析】（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利40﹣x元，每天可以售出20+2x件，进而得到商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，依据方程1200＝（40﹣x）（20+2x）即可得到x的值；
（2）用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．
【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，
当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），
解得 x1＝10，x2＝20，
经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以x＝20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．
六、（本小题10分）
23．（10分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝30°，∠DBH＝45°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（结果保留根号）

【分析】延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，通过解直角三角形可得出AE＝，BE＝，结合AE﹣BE＝10可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再将其代入GH＝CE＝CD+DE中即可求出结论．
【解答】解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，如图所示．
设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，
在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°＝，tan67°＝，
∴AE＝，BE＝．
∵AE﹣BE＝AB，
∴﹣＝10，即﹣＝10，
解得：x＝8，
∴DE＝8m，
∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+8m＝10m．
答：GH的长为10m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，由AE﹣BE＝10，找出关于DE的长的一元一次方程是解题的关键．
七、（本小题12分）
24．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN．连接BN，射线NM交线段BC于点D．
（1）如图1，∠MCN＝90°，CM＝CN，点A，M，N在一条直线上，直接写出线段AM和线段BN的数量关系和位置关系；
（2）如图2，点A，M，N在一条直线上时，∠CMN＝90°，MC＝MN．
①求证：BN+CM＝AM；
②若AM＝4，BN＝1，求AB的长；
③若CM＝2，将△CMN绕点C逆时针旋转，在旋转过程中射线NM交直线AB于点H，当△DBH是直角三角形时，直接写出CD的长．


【分析】（1）先判断出△ACM≌△BCN（SAS），得出AM＝BN，∠AMC＝∠BNC，再求出∠BNC＝135°，进而求出∠ANB＝90°，即可得出结论；
（2）①如图，过点C作CF⊥CN，交AN于点F，由等腰直角三角形的性质，可求∠CNM＝45°，CM＝MN，即可证∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°，根据“SAS”可证
△ACF≌△BCN，可得AF＝BN，根据等腰直角三角形的性质可得MF＝MN＝CM，即可证BN+CM＝AM；
②由题意可求出CM＝MN＝3，进而求出AN，最后用勾股定理即可求出答案；
③分∠BDH＝90°，∠DHB＝90°两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质可求CD的长．
【解答】（1）解：AM＝BN，AM⊥BN；
理由：∵∠ACB＝∠MCN＝90°，
∴∠ACB﹣∠MCB＝∠MCN﹣∠MCB，
∴∠ACM＝∠BCN，
∵AC＝BC，CM＝CN，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴AM＝BN，∠AMC＝∠BNC，
在Rt△MCN中，CM＝CN，
∴∠CMN＝∠CNM＝45°，
∴∠AMC＝180°﹣∠CMN＝135°，
∴∠BNC＝135°，
∴∠ANC+∠ANB＝135°，
∴∠ANB＝135°﹣∠ANC＝90°，
∴AM⊥BN，
即AM＝BN，AM⊥BN；

（2）①证明：如图，过点C作CF⊥CN，交AN于点F，

∵△CMN是等腰直角三角形，
∴∠CNM＝45°，CM＝MN，
∵CF⊥CN，∠ACB＝90°，
∴∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°，
∴∠ACF＝∠BCN，CF＝CN，
∵AC＝BC，
∴△ACF≌△BCN（SAS），
∴AF＝BN，
∵CF＝CN，CM⊥MN，
∴MF＝MN＝CM，
∴AM＝AF+FM＝BN+CM；

②解：∵AM＝4，BN＝1，BN+CM＝AM，
∴CM＝MN＝AM﹣BN＝3，
∴AN＝AM+MN＝7，
在Rt△ABN中，根据勾股定理得，AB＝＝5；

③解：在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴∠B＝45°，
Ⅰ、当∠BDH＝90°时，如图，此时点M与点D重合，

∵△CMN是等腰直角三角形，CN＝2
∴CM＝MN＝
∴CD＝，
Ⅱ、当∠BHD＝90°时，如图，

∵∠BHD＝90°，∠B＝45°，
∴∠BDH＝45°，
∴∠CDN＝45°＝∠N，
∴CD＝CN＝2，
即CD的长为或2．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定和性质以及分类思想，判断出AM⊥BN是本题的关键．
八、（本小题12分）
25．（12分）如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线AB于点M．设点P的横坐标为t．
①MN＝2MP时，求点N的坐标．
②点C是直线AB上方抛物线上一点，当△MNC∽△BPM时，直接写出t的值．
③若点Q在平面内，当以Q、A、M、N为顶点的四边形是菱形时，直接写出点Q的纵坐标．


【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①设点P的坐标为（t，0），则点N的坐标为（t，﹣t2+t+2），点M的坐标为（t，﹣t+2），根据MN＝2MP建立方程求出t的值即可得出结论；
②由①可得出MN＝﹣t2+4t，CN＝|2t﹣|，由相似三角形的性质即可得出关于t的方程，解之即可得出x的值，进而可得出点C的坐标；
③若以Q、A、M、N为顶点的四边形是菱形，则△AMN为等腰三角形，分AM＝AN，MN＝MA，NA＝NM，三种情况分别讨论即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，
∴点A的坐标为（0，2）；
当y＝0时，﹣x+2＝0，
解得：x＝4，
∴点B的坐标为（4，0）．
将A（0，2），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，
解得：，
∴这个抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）①设点P的坐标为（t，0），则点N的坐标为（t，﹣t2+t+2），点M的坐标为（t，﹣t+2），
∴MN＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+4t，MP＝﹣t+2，
∵MN＝2MP，
∴﹣t2+4t＝2（﹣t+2），
解得t＝1或t＝4（舍），
∴N（1，）；
②当△MNC∽△BPM相似时，如图1．
设点P的坐标为（t，0），则点N的坐标为（t，﹣t2+t+2），点C的坐标为（﹣t，﹣t2+t+2），点M的坐标为（t，﹣t+2），
∴MN＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+4t，CN＝|t﹣（﹣t）|＝|2t﹣|．
∵△MNC∽△BPM，
∴CN：MP＝MN：BP，即|2t﹣|：（t+2）＝（﹣t2+4t）：（4﹣t），
解得：t1＝，t2＝﹣（舍去），t3＝1，t4＝7（舍去），
∴﹣t＝或，
∴当△MNC∽△BPM时，点C的坐标为（，）或（，）；
③∵A（0，2），N（t，﹣t2+t+2），M（t，﹣t+2），
∴AM2＝（t﹣0）2+（﹣t+2﹣2）2＝t2，AN2＝（t﹣0）2+（﹣t2+t+2﹣2）2＝t2+（﹣t2+t）2，MN＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+4t，
若以Q、A、M、N为顶点的四边形是菱形，则△AMN为等腰三角形，需要分以下三种情况：
当AM＝AN时，t2＝t2+（﹣t2+t）2，
解得t＝0（舍）或t＝4（舍）或t＝3，
∴A（0，2），N（3，），M（3，），
由菱形的性质可知，点Q的坐标为（6，2）；
当MN＝MA时，（﹣t2+4t）2＝t2，
解得t＝0（舍）或t＝4+（舍）或t＝4﹣，
此时MN＝﹣t2+4t＝2﹣，
由菱形的性质可知，Q（0，2﹣+2），即Q（0，2+）；
当NA＝NM时，t2+（﹣t2+t）2＝（﹣t2+4t）2，
解得t＝0（舍）或t＝，
此时MN＝﹣t2+4t＝，
由菱形的性质可知，Q（0，2﹣），即Q（0，﹣）；
综上，点Q的坐标为：（6，2）或（0，2+）或（0，﹣）．

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，坐标系内两点间距离，解方程，菱形的性质．其中第（3）题对菱形存在性的讨论，将菱形的存在性转化为等腰三角形的存在性是解题关键．