辽宁省沈阳市浑南区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（Word版含答案）

这是一份辽宁省沈阳市浑南区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（Word版含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
辽宁省沈阳市浑南区2021-2022学年度上学期期末
九年级数学试卷

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝9 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+1）2＝6 D．（x+2）2＝6
4．（2分）如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C．： D．16：81
5．（2分）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（　　）

A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）
6．（2分）有四张形状相同的卡片，正面分别印着矩形、菱形、等边三角形、圆四个图案，卡片背面全一样，随机抽出一张，刚好抽到正面的图案是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
7．（2分）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下，（　　）
A．小刚的影子比小红的长
B．小刚的影子比小红的影子短
C．小刚跟小红的影子一样长
D．不能够确定谁的影子长
8．（2分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
9．（2分）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
10．（2分）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx﹣10＝0的一个根为2，则b的值为 　 　．
12．（3分）已知≠0，则的值为 　 　．
13．（3分）在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为36%，估计袋中白球有　 　个．
14．（3分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度，他调整自己的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，则AB＝　 　m．

15．（3分）如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝　 　．

16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为 　 　．

三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）解方程：x2﹣7x﹣18＝0．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，延长EO交AD于点G．
（1）求证：△AOG≌△COF；
（2）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，则CF＝　 　．

19．（8分）新年即将来临，利群商场为了吸引顾客，特别设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个除数字外完全相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．
（1）该顾客至少可得到 　 　元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于40元的概率．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．
（1）判断四边形ABFC的形状并证明；
（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．

21．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．

五、（本题10分）
22．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 　 　件，每件商品盈利 　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
六、（本题10分）
23．（10分）已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，12），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（﹣9，3）．
（1）求直线l1，l2的表达式；
（2）点C为直线OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF．
①设点C的纵坐标为n，求点D的坐标（用含n的代数式表示）；
②若矩形CDEF的面积为48，请直接写出此时点C的坐标．

七、（本题12分）
24．（12分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 　 　，BC与CE的位置关系是 　 　；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出△APE的面积．

八、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，OB＝5，点D是此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是 　 　；
（3）①点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
②在①的条件下，当△BCE的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．


辽宁省沈阳市浑南区2021-2022学年度上学期期末
九年级数学试卷
答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看该组合体，所看到的图形为：

故选：B．
2．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，
解得m＜9．
故选：A．
3．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝9 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+1）2＝6 D．（x+2）2＝6
【分析】先将常数项﹣5移到方程的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，即加4，左边为（x﹣2）2，右边化简，得结论．
【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0，
x2﹣4x＝5，
x2﹣4x+4＝5+4，
（x﹣2）2＝9，
故选：A．
4．（2分）如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C．： D．16：81
【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，
∴这两个相似多边形的相似比是2：3，
∴它们的面积比是4：9，
故选：B．
5．（2分）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（　　）

A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）
【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．
【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴＝，又OB＝6，AB＝3，
∴OD＝2，CD＝1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选：A．
6．（2分）有四张形状相同的卡片，正面分别印着矩形、菱形、等边三角形、圆四个图案，卡片背面全一样，随机抽出一张，刚好抽到正面的图案是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【分析】先判断出矩形、菱形、等边三角形、等腰梯形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：在矩形、菱形、等边三角形、圆中，中心对称图形有矩形、菱形和圆，共3个；
则P（中心对称图形）＝；
故选：C．
7．（2分）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下，（　　）
A．小刚的影子比小红的长
B．小刚的影子比小红的影子短
C．小刚跟小红的影子一样长
D．不能够确定谁的影子长
【分析】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
【解答】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
故选：D．
8．（2分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【分析】根据菱形的性质逐一推理分析即可选出正确答案．
【解答】解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：B．
9．（2分）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
【分析】此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：根据题意知，将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝3（x﹣5）2﹣1．
故选：C．
10．（2分）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx的图象：开口方向向下，对称轴在y轴右侧，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx﹣10＝0的一个根为2，则b的值为 　3　．
【分析】把x＝2代入方程x2+bx﹣10＝0得关于b的方程，然后解方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2+bx﹣10＝0得4+2b﹣10＝0，解得b＝3．
故答案为：3．
12．（3分）已知≠0，则的值为 　　．
【分析】根据比例的性质，可用a表示b、c，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由比例的性质，得：
c＝a，b＝a，
＝＝＝．
故答案为：．
13．（3分）在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为36%，估计袋中白球有　18　个．
【分析】用袋中球的总个数乘以摸到白球的频率，据此可得．
【解答】解：估计袋中白球有50×36%＝18个，
故答案为：18．
14．（3分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度，他调整自己的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，则AB＝　6.5　m．

【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴＝
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴＝
∴BC＝5（米），
∴AB＝AC+BC＝1.5+5＝6.5（米）
故答案为：6.5．
15．（3分）如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝　2　．

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：过D点作DE⊥x轴，垂足为E，
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，
∴DE∥AB，
∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，
∴DE为Rt△OAB的中位线，
∴DE∥AB，
∴△OED∽△OAB，
∴两三角形的相似比为：＝
∵双曲线y＝（k＞0），可知S△AOC＝S△DOE＝k，
∴S△AOB＝4S△DOE＝2k，
由S△AOB﹣S△AOC＝S△OBC＝3，得2k﹣k＝3，
解得k＝2．
故本题答案为：2．

16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为 　①②③　．

【分析】①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；
②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；
③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；
④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2．
【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，

∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝4．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）解方程：x2﹣7x﹣18＝0．
【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：x2﹣7x﹣18＝0
（x﹣9）（x+2）＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣2．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，延长EO交AD于点G．
（1）求证：△AOG≌△COF；
（2）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，则CF＝　　．

【分析】（1）由“ASA”可证△AOG≌△COF；
（2）通过证明△CFE∽△DGE，可得，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
在△AOG和△COF中，
，
∴△AOG≌△COF（ASA）；
（2）解：∵AD∥BC，
∴△CFE∽△DGE，
∴，
∴＝＝，
∵BC＝4，
∴AG＝×2＝，
∴CF＝AG＝．
19．（8分）新年即将来临，利群商场为了吸引顾客，特别设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个除数字外完全相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．
（1）该顾客至少可得到 　10　元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于40元的概率．
【分析】（1）根据小球上标的金额数找出最小的两个数，然后相加即可得出答案；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和该顾客所获得购物券的金额高于40元的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意知，该顾客至少可得到10元购物券，
故答案为：10；

（2）根据题意列表如下：

0
10
20
30
0
/
（0，10）
（0，20）
（0，30）
10
（10，0）
/
（10，20）
（10，30）
20
（20，0）
（20，10）
/
（20，30）
30
（30，0）
（30，10）
（30，20）
/
从上表可以看出，共有12种等可能结果，其中该顾客所获得购物券的金额不低于40元的结果有4种结果，
所以该顾客所获得购物券的金额不低于40元的概率为＝．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．
（1）判断四边形ABFC的形状并证明；
（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．

【分析】（1）利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形；
（2）先证△ABE是等边三角形，可得AB＝AE＝EF＝3．
【解答】解：（1）四边形ABFC是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
（2）∵四边形ABFC是矩形，
∴BC＝AF，AF＝EF，BE＝CE，
∴AE＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝3，
∴EF＝3．
21．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；
（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．
【解答】解：（1）由题意可得：
点B（3，﹣2）在反比例函数图象上，
∴，则m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（﹣1，n）代入，
得：，即A（﹣1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
|a﹣2|＝4，即|a﹣2|＝4，
解得：a＝1或a＝3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
五、（本题10分）
22．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 　2x　件，每件商品盈利 　（50﹣x）　元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数＝2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
【解答】解：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝50﹣x，故答案为2x；50﹣x；
（2）由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100（0≤x＜50）
化简得：x2﹣35x+300＝0，即（x﹣15）（x﹣20）＝0，
解得：x1＝15，x2＝20
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x＝20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
六、（本题10分）
23．（10分）已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，12），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（﹣9，3）．
（1）求直线l1，l2的表达式；
（2）点C为直线OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF．
①设点C的纵坐标为n，求点D的坐标（用含n的代数式表示）；
②若矩形CDEF的面积为48，请直接写出此时点C的坐标．

【分析】（1）从图中看以看出l1是正比例函数，l2是一次函数，根据点A、B的坐标，用待定系数法即可求得l1、l2的解析式；
（2）已知点C的纵坐标及点C在直线l1上，求得点C的横坐标；进而知道了点D的横坐标，点D在直线l2上，易得点D的坐标；根据矩形的面积＝长×宽，即可求得矩形CDEF的坐标．
【解答】解：（1）设直线l1的表达式为y＝k1x，
∵过点B（﹣9，3），
∴﹣9k1＝3，
解得：k1＝﹣，
∴直线l1的表达式为y＝﹣x；
设直线l2的表达式为y＝k2x+b，
∵过点A （0，12），B（﹣9，3），
∴，解得：，
∴直线l2的表达式y＝x+12；
（2）①∵点C在直线l1上，且点C的纵坐标为n，
∴n＝﹣x，
解得：x＝﹣3n，
∴点C的坐标为（﹣3n，n），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标为﹣3n，
∵点D在直线l2上，
∴y＝﹣3n+12，
∴D（﹣3n，﹣3n+12）；
②∵C（﹣3n，n），D（﹣3n，﹣3n+12），
∴CF＝|3n|，CD＝|﹣3n+12﹣n|＝|﹣4n+12|，
∵矩形CDEF的面积为60，
∴S矩形CDEF＝CF•CD＝|3n|×|﹣4n+12|＝48，
解得n＝﹣1或n＝﹣4，
当n＝﹣1时，﹣3n＝3，故C（3，﹣1）；
当n＝4时，﹣3n＝1﹣12，故C（﹣12，4）．
综上所述，点C的坐标为：（3，﹣1）或C（﹣12，4）．
七、（本题12分）
24．（12分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 　BP＝CE　，BC与CE的位置关系是 　BP⊥CE　；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出△APE的面积．

【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；
（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；
（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．
【解答】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝60°+30°＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠CHD＝∠BCH＝90°，
∴CE⊥AD；
故答案为：BP＝CE，CE⊥AD；

（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，

∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DCE+∠ADC＝90°，
∴∠CHD＝90°，
∴CE⊥AD；
∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立；

（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，
∴BD＝6，
由（2）知CE⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC，
∵BE＝2，BC＝AB＝2，
∴CE＝＝8，
由（2）知BP＝CE＝8，
∴DP＝2，
∴OP＝5，
∴AP＝＝＝2，
∵△APE是等边三角形，
∴S△AEP＝×（2）2＝7，
如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝＝＝2，

∴S△AEP＝×（2）2＝31，
八、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，OB＝5，点D是此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是 　2　；
（3）①点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
②在①的条件下，当△BCE的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）求出A（﹣1，0），B（5，0），再将这两点代入y＝ax2+2x+c，即可求函数解析式；
（2）求出D（2，），C（0，），即可求CD；
（3）①过点E作EF⊥x轴交BC于点F，求出直线BC的解析式为y＝﹣x+，设E（m，﹣m2+2m+），则F（m，﹣m+），则S△BCE＝﹣（x﹣）2+，即可求解；②过E点作x轴的平行线，且HE＝PM，则四边形PMEH是平行四边形，可得HE＝HP，作B点关于y轴的对称点B'，所以当B'、P、H三点共线时，EM+MP+PB的值最小，分别求出E（，），H（，），B'（﹣5，0），在求出直线B'H的解析式为y＝x+，直线与y轴的交点为P（0，），则M（2，）．
【解答】解：（1）∵OA＝1，OB＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
将A、B两点代入y＝ax2+2x+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+2x+；
（2）∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，
∴D（2，），
令x＝0，则y＝，
∴C（0，），
∴CD＝2，
故答案为：2；
（3）①如图1，过点E作EF⊥x轴交BC于点F，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+，
设E（m，﹣m2+2m+），则F（m，﹣m+），
∴EF＝﹣m2+2m++m﹣＝﹣m2+m，
∴S△BCE＝×5×（﹣m2+m）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△BCE有最大值；
②存在，理由如下：
当x＝时，E（，），
∵D（2，），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵PM垂直对称轴，
∴PM∥x轴，PM＝2，
如图2，过E点作x轴的平行线，且HE＝PM，
∴四边形PMEH是平行四边形，
∴HE＝HP，
作B点关于y轴的对称点B'，
∴BP＝B'P，
∴EM+MP+PB＝PH+2+B'P≥B'H+2，
当B'、P、H三点共线时，EM+MP+PB的值最小，
∵E（，），HE＝PM＝2，
∴H（，），
∵B（5，0），
∴B'（﹣5，0），
设直线B'H的解析式为y＝tx+n，
∴，
解得，
∴y＝x+，
∴P（0，），
∴M（2，），
∴当M（2，）时EM+MP+PB存在最小值．