2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区尚品中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）（Word解析版）

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2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区尚品中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一个几何体如图所示，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在庆祝中国共产党成立周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，个参赛班级按照成绩成绩各不相同取前名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这个参赛班级成绩的(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

4. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在矩形中，连接，将沿对角线折叠得到，交于点，恰好平分，若，则点到的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 下列命题正确的是(    )

A. 同位角相等
B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

8. 如图，是坐标原点，点在轴上，在中，，，点在反比例函数图象上，则的值(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，已知直线和上一点，过点作直线的垂线，步骤如下：
   
   第一步：以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点和点；
   第二步：分别以点和点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点；
   第三步：作直线，直线即为所求．
   下列关于的说法正确的是(    )

A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长

10. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 因式分解：______．
12. 在函数中，自变量的取值范围______ ．
13. 如图，，，两两不相交，且半径都等于，则图中三个扇形即阴影部分的面积之和为______结果保留

14. 如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的长为______．

15. 如图，由边长为的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点和点，则 ______ ．

16. 如图，，定长为的线段端点，分别在射线，上运动点，不与点重合，为的中点，作关于直线对称的，交于点，当是等腰三角形时，的度数为______．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
    某校计划举办以“庆祝建党百年，传承红色基因”为主题的系列活动，活动分为红歌演唱、诗歌朗诵、爱国征文及党史知识竞赛，要求每名学生都参加活动且只能选择一项活动为了解学生参加活动的情况，随机选取该学校部分学生进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
     

据以上信息，回答下列问题：
被调查的学生中，参加红歌演唱活动的学生人数为______ 人，参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为______ ；
本次调查的样本容量为______ ，样本中参加党史知识竞赛活动的学生人数为______ 人；
若该校共有名学生，请根据调查结果，估计参加诗歌朗诵活动的学生人数．

19. 本小题分
    为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
    A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
    B.疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
    C.接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
    D.疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
    志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
    小张从一套海报中随机抽取一张，抽到海报的概率是______．
    小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到海报的概率．
20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于，两点，交轴于点，若．
    求一次函数和反比例函数的表达式．
    求四边形的面积．

21. 本小题分
    为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．
    求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
    已知甲公司安装费每天元，乙公司安装费每天元，现需安装教室间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过元，则最多安排甲公司工作多少天？
22. 本小题分
    如图，内接于，是的直径，过外一点作，交线段于点，交于点，交于点，连接，，．
    求证：与相切；
    若，平分，，求的长．

23. 本小题分
    某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，销售单价为元时，每月的销售量为件，而销售单价每降低元，则每月可多售出件，且要求销售单价不得低于成本．
    求该商品每月的销售量件与销售单价元之间的函数关系式；不需要求自变量取值范围
    若使该商品每月的销售利润为元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
    超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
24. 本小题分
    在中，，，为线段上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．
    
    如图，当时，求证：≌；
    如图，当时，
    探究和之间的数量关系，并说明理由；
    若，是上一点，在点移动过程中，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由．
25. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，，点是抛物线第一象限上的一动点，过点作轴于点，交于点．
    求抛物线的解析式；
    如图，作于点，使，以，为邻边作矩形当矩形的面积是面积的倍时，求点的坐标；
    如图，当点运动到抛物线的顶点时，点在直线上，若以点、、为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点纵坐标的取值范围．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从左面看该几何体，所得到的图形如下：

故选：．
根据简单几何体的三视图的意义，画出左视图即可．
本题考查简单几何体的左视图，理解视图的意义，掌握“能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示”是正确判断的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、和不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：．
利用合并同项类，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则对各选项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，解答的关键是对合并同类项的法则，积的乘方的法则，负整数指数幂的法则，单项式除以单项式的法则的掌握与运用．
 

3.【答案】 

【解析】解：个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有个数，
故只要知道自己的班级成绩和中位数就可以知道自己的班级能否进入决赛．
故选：．
由于比赛取前名进入决赛，共有个参赛班级，根据中位数的意义分析即可．
本题考查了中位数意义．解题的关键是正确理解中位数的意义．
 

4.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集在数轴上的表示如下：

故选：．
分别求出每一个不等式的解集，再根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”在数轴上表示解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”在数轴上表示解集是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，
函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
，
在第二象限，在第四象限，
，，
．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据确定和所在的象限，即可得出结论．
本题考查的是反比例函数性质，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，则为点到的距离．
四边形为矩形，
，
将沿对角线折叠得到，
，
平分，
，，
，
，
，
，
故选：．
如图，作于点，则为点到的距离，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，由角平分线定义可得，即可得出，根据角平分线的性质可得，利用的正切值求出的值即可得到答案．
本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，符合题意；
故选：．
根据平行线的性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质等知识，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作，

，，，
，
在中，，
，
，
把代入，可得，
故选：．
过点作，利用等腰三角形的性质求出点的坐标即可解决问题．
本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作图可知，分别以点和点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点，此时，
故选：．
根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，结合三角形三边关系判断即可．
本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：直线与相交于点，
，
，
，
当时，，
关于的方程的解是，
故选：．
首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得：且，
解得
自变量的取值范围是．
故答案为：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

13.【答案】 

【解析】解：三个扇形的半径都是，
而三个圆心角的和是，
图中的三个扇形即三个阴影部分的面积之和为．
故答案为：．
根据三个扇形的半径都是，由扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
考查了扇形面积的计算，因为三个扇形的半径相等，所以不需知道各个扇形的圆心角的度数，只需知道三个圆心角的和即可．
 

14.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质求出是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：为直径，
，
在中，，
，
．
故答案为．
先利用圆周角定理得到，，再利用正切的定义得到，从而得到的值．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了锐角三角函数的定义．
 

16.【答案】或 

【解析】解：，为的中点，
，
，，
又由折叠性质可得，
，
设，则，，，，
当时，，
，
解得，
；
当时，，
，方程无解，
此情况不存在；
当时，，
，
解得：，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得，设，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出，，，，从而利用分类讨论思想解题．
本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握相关性质并注意分类讨论思想解题是关键．
 

17.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

18.【答案】解：，；

，；

样本中参加爱国征文活动的学生人数：人，
样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数：人，
人，
答：估计参加诗歌朗诵活动的学生人数为人． 

【解析】解：由频数分布表可得参加红歌演唱活动的学生人数为人，
由扇形图可得参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为，
故答案为：，；
被调查的学生总数为人，
人，
故答案为：，；
见答案．
由频数分布表可得参加红歌演唱活动的学生人数，由扇形图可得参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比；
由参加红歌演唱活动的学生人数及其频率可得本次调查的样本容量，根据参加党史知识竞赛活动的学生人数的频率即可求解；
求出样本中参加爱国征文活动的学生人数，根据样本容量求出样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数，可得样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数所占比例，即可求解．
本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息，求出本次调查的样本容量是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：
画树状图如图：

共有种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到海报的结果有种，
小张和小李两个人中有一个人抽到海报的概率为． 

【解析】小张从一套海报中随机抽取一张，抽到海报的概率是，
故答案为：；
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到海报的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：将代入中，
，
反比例函数的解析式为；
过点作轴，过点作轴，

，
∽，
，
，
将代入中，
，
解得：，
点坐标为，
将，代入中，
可得，
解得：，
一次函数的解析式为；
设直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
由，设直线的解析式为，
将代入可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
点坐标为，
，
在中，当时，，
解得：，
点坐标为，
，
，

．
解法二：在中，当时，，
点坐标为，
又，
∽，
，
，
△AED.
四边形的面积为． 

【解析】先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；
根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得点和点坐标，然后用的面积减去的面积求解．
本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
 

21.【答案】解：设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，
则，
答：甲公司每天安装间教室，乙公司每天安装间教室；
设安排甲公司工作天，则乙公司工作  天，
根据题意得：，
解这个不等式，得：，
答：最多安排甲公司工作天． 

【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；找出不等关系，列出一元一次不等式．
设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，由题意：乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．列出分式方程，解方程即可；
设安排甲公司工作天，则乙公司工作  天，由题意：甲公司安装费每天元，乙公司安装费每天元，想尽快完成安装工作且安装总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
 

22.【答案】证明：如图，延长至，

，
，
，
，
是的直径
，
，
，
，
，
与相切；
解：如图，连接，

平分，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
．
解法二：如图，连接，
，
，
中，，
中，，
，
由勾股定理得：． 

【解析】如图，延长至，证明，根据切线的判定可得与相切；
如图，连接，先根据垂径定理证明，再证明∽，列比例式可得，即的半径为，根据勾股定理可得的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，垂径定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第问关键是证明∽．
 

23.【答案】解：依题意，得：，
与的函数关系式为；
依题意得：，
即，
解得：，，
，
当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元；
设每月总利润为，依题意得，
，此图象开口向下，
当时，有最大值为元，
为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元． 

【解析】明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；
根据题意，按照等量关系“销售量售价成本”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；
设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图中，

，，
是等边三角形，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌．

解：结论：．
如图中，过点作于．
，
可以假设，，则，，
，
，，，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
．

如图中，过点作交的延长线于作点关于的对称点，连接，，过点作于．
，
由可知，，，，
∽，，，
全等三角形对应边上的高的比等于相似比，
，
点的运动轨迹是射线，
，关于对称，
，
，
，
，
，
，
的最小值为． 

【解析】首先证明，都是等边三角形，再根据证明三角形全等即可．
结论：利用相似三角形的性质解决问题即可．
如图中，过点作交的延长线于作点关于的对称点，连接，，过点作于利用相似三角形的性质求出，推出点的运动轨迹是射线，利用面积法求出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，确定点的运动轨迹是最后一个问题的突破点，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为；
对于，令，解得或，
故点的坐标为，则，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
设点的坐标为，则点，
则矩形的面积，
解得或，
故点的坐标为或；
由抛物线的表达式知，其对称轴为，故点的坐标为，
当为直角时，如图，

设交轴于点，
由直线的表达式知，，则，
故设直线的表达式为，
该直线过点，故，
则直线的表达式为，
当时，，
即；
当为直角时，
过点作直线轴交轴于点，交过点与轴的平行线于点，

，，
，
，
即，则，
解得；
当为直角时，
同理可得，；
综上，以点、、为顶点的三角形是锐角三角形，则不为直角三角形，
故点纵坐标的取值范围为或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由矩形的面积，即可求解；
当为直角时，求出直线的表达式为，得到；当为直角时，利用解直角三角形的方法求出；当为直角时，同理可得，，进而求解．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．