2021学年第三章 勾股定理综合与测试课后复习题
展开这是一份2021学年第三章 勾股定理综合与测试课后复习题，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第3章勾股定理--章节巩固练习
（共28题，共120分）
一、选择题（共10题，共30分）
- （3分）如图，已知平行四边形 中，，，则下列运算不正确的是
A． B．
C． D．
- （3分）如图，直角三角形 中，两条直角边 ，，将 绕着 中点 旋转一定角度，得到 ，点 正好落在 边上， 和 交于点 ，则 的长为
A． B． C． D．
- （3分）如图，画线段 的垂直平分线交 于点 ，在这条垂直平分线上截取 ，以 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，则线段 与 的比是
A． B． C． D．
- （3分）如图，两个较大正方形的面积分别为 ，，则字母 所代表的正方形的边长为
A． B． C． D．
- （3分）如图，在 中，， 于 ．已知 ， 的周长为 ，则 的长为
A． B． C． D．
- （3分）如图，矩形 中，，，点 是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点 落在点 处，当 为直角三角形时， 的长为
A． B． 或 C． 或 D．
- （3分）如图，正方形 的边长为 ， 在正方形外，，过 作 于 ，直线 ， 交于点 ，直线 交直线 于点 ，则下列结论正确的是
① ；
② ；
③ ；
④若 ，则 ．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
- （3分）如图，在平行四边形 中，用直尺和圆规作 的平分线 交 于点 ．若 ，，则 的长为
A． B． C． D．
- （3分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创作了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图①所示）．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ，，，若 ，则 的值是
A． B． C． D．
- （3分）如图，在 中，，，点 ， 在边 上，且 ．将 沿 翻折，点 的对应点是 ，连接 ，若 ，，则 的长为
A． B． C． D．
二、填空题（共10题，共20分）
- （2分）如图，在 中，，，以 为直径的半圆交 于点 ， 是 上的一个动点，连接 ，则 的最小值为 ．
- （2分）如图， 为 的直径，弦 于点 ，已知 ，，则 的半径为 ．
- （2分）如图，在矩形 中，，对角线 ， 相交于点 ， 垂直平分 于点 ，则 的长为 ．
- （2分）如图，在 中，，， 是射线 上的一个动点，，则当 为直角三角形时， 的长为 ．
- （2分）如图，将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形 的边长为 ， 的边长为 ，则正方形 的面积为 ．
- （2分）如图，在 中，，，将 绕点 逆时针旋转 得到 （ 和 ， 和 分别是对应顶点），若 ，则 的周长为 ．
- （2分）如图，等腰直角 中，，， 为 中点，， 为 上一个动点，当 点运动时， 的最小值为 ．
- （2分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点 ， 分别在射线 ， 上， 长度始终保持不变，， 为 的中点，点 到 ， 的距离分别为 和 ．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 的最小值为 ．
- （2分）如图 ，将 放在每个小正方形的边长为 的网格中，点 ，， 均落在格点上．
（Ⅰ）线段 的长为 ；
（Ⅱ）点 是线段 上的动点．当 最短时，请你在图 所示的网格中，用无刻度的直尺画出点 的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明） ．
- （2分）已知直角三角形的两边 ， 的长满足 ，则第三边的长为 ．
三、解答题（共8题，共70分）
- （6分）如图，，，，，，求 的长．
- （6分）如图， 中，，，，．现在要将此直角三角形扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长直角边 请在图①，图 ②，图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形各不相同，并在横线上直接写出所画等腰三角形的面积（写出三种即可）．
- （8分）已知点 是正方形 内一点，连接 ，．
(1) 如图 ，连接 ，过点 作 于点 ，若 ，，四边形 的面积为 ．
①证明：；
②线段 的长．
(2) 如图 ，若 ，，，求线段 ， 的长．
- （8分）已知抛物线的顶点是 （， 为常数），并经过点 ，点 为一定点．
(1) 求含有常数 的抛物线的解析式；
(2) 设点 是抛物线上任意一点，过 作 轴．垂足是 ，求证：；
(3) 设过原点 的直线 与抛物线在笫一象限相交于 ， 两点，若 且 ．求 的值．
- （8分）解答下列问题．
(1) 初步思考：
如图（）所示，在 中，已知 ，， 为 上一点且 ，试证明 ．
(2) 问题提出：
如图（）所示，已知正方形 的边长为 ，圆 的半径为 ，点 是圆 上的一个动点，求 的最小值．
(3) 推广运用：
如图（）所示，已知菱形 的边长为 ，，圆 的半径为 ，点 是圆 上的一个动点，求 的最大值．
- （10分）如图，在四边形 中，，， 是 边的垂直平分线，连接 ．
(1) 求证：；
(2) 若 ，，求 的长．
- （12分）已知， 中，，， 为 的中点，若 在直线 上任意一点，，交直线 于 点， 为 的中点，延长 与 交于点 ．
(1) 若 在边 上．
①试说明 ；
②试说明 ；
(2) 若 ，，求边 的长．
- （12分）如图，用边长为 的正方形可以折叠出面积为 的正方形．进一步探究发现：这种折叠方法还能得到无理数 的几何意义： 是表示边长为 ， 的直角三角形的最长边，定义：像这样，用构造直角三角形表示无理数的方法叫做“长边法”．
学习了实数后，我们知道实数和数轴上的点是——对应的关系．于是，我们在数轴上就找到了表示 的点的位置．
(1) 用“长边法”在下面边长为 的正方形中找出表示无理数的线段长度是 ；并在数轴上找到表示它的点的位置．
(2) 图中折叠后的最小的正方形面积为 ．
(3) 请你用“长边法”在下面边长为 的正方形中，设计表示， 的线段的图形．
(4) 请你在数轴上找到 的位置并用点 表示．
答案
一、选择题（共10题，共30分）
1. 【答案】A
【解析】根据向量加法的平行四边形法则，，故选项A错误，选项B正确；
根据向量的加法法则，，
，所以 ，故选项C正确；
因为零向量与任意非零向量的和仍等于这个非零向量，所以 ，故D选项正确．
【知识点】平面向量的加法、勾股定理
2. 【答案】A
【解析】如图，连接 ，
，，
，
点 是 中点，
，
将 绕着 中点 旋转一定角度，得到 ，
，，，，
，
，
，
，
，
，，
，且 ，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理
3. 【答案】D
【解析】连接 ，
设 ，则 ，，
故 ，
线段 与 的比是 ．
故选D．
【知识点】勾股定理
4. 【答案】C
【解析】由勾股定理得，正方形 的面积 ，
字母 所代表的正方形的边长为 ，
故选：C．
【知识点】勾股定理
5. 【答案】D
【解析】 ，
，
设 ，则 ，
在 中，，
，
，
，，
，，
，，或 ，，
，
．
【知识点】勾股定理
6. 【答案】B
【知识点】矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质
7. 【答案】C
【解析】① ，
．
①正确．
② ，，
是 中垂线．
．
．
．
，
．
．
即 ．
，，
．
．
，
．
．
，
②正确．
③在 上截取 ，则 ．
．
是等腰直角三角形．
．
，
．
③正确．
④过 作 于 ，
为等腰直角三角形．
在 中，，．
．
．
由③可知，，，
在 中，，
．
．
．
．
．
④错误．
【知识点】等腰三角形“三线合一”、边边边、勾股逆定理
8. 【答案】C
【解析】连接 ， 与 交于点 ，如图，
， 平分 ，
，，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
，而 ，
，
在 中，，
．
【知识点】平行四边形及其性质、角平分线的性质、勾股定理
9. 【答案】C
【解析】 八个直角三角形全等，四边形 ，， 是正方形，
，，
，，，
．
【知识点】勾股定理
10. 【答案】B
【解析】如图，作 于 ．
，，
，，
，
，，
，
，，
，，
，，
在 中，，
．
【知识点】勾股定理、三角形的内角和、全等三角形的性质与判定
二、填空题（共10题，共20分）
11. 【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ，交半圆于点 ，在半圆上取点 ，连接 ，，
易知 ，
当 位于 处时， 取得最小值，
，，
．
故 的最小值为 ．
【知识点】勾股定理
12. 【答案】
【解析】连接 ，
为 的直径，，
，
设 的半径为 ，
则 ，，
在 中，，
，
解得：，
的半径为 ，
故答案为 ．
【知识点】垂径定理的应用、勾股定理
13. 【答案】
【解析】 四边形 是矩形，
，，，
，
垂直平分 ，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理、矩形的性质
14. 【答案】 或 或
【解析】当 时（如图 ），
，
，
，
，
为等边三角形，
，
；
当 时（如图 ），
，
，
，
在 中，；
如图 ，
，，
，
，
为等边三角形，
．
综上所述， 的长为 或 或 ．
【知识点】勾股定理、等边三角形的判定
15. 【答案】
【解析】如图：
根据正方形的性质得：，，
，，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中，
由勾股定理得：，
正方形 的面积为 ．
【知识点】勾股定理
16. 【答案】
【解析】 ,
又 ， ,
， .
， .
.
【知识点】勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半
17. 【答案】
【解析】过 作 于 ，并延长 到 使 ，连接 交 于点 ，
，，
垂直平分 ，
，
， 关于 对称，
，
，
，， 共线时， 最小，最小值即 长，
过 作 于点 ，
设 ，
是 中点，
，
在 中，，
，
解得 ，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在 中，
，
即 最小值为 ．
【知识点】勾股定理、垂直平分线的判定、等腰直角三角形
18. 【答案】
【解析】如图，
当 ，， 三点共线，距离最小，
， 为 的中点，
，，
，
故答案为：．
【知识点】勾股定理
19. 【答案】 ；画法：取格点 并连接 交网格于点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求．
【知识点】勾股定理
20. 【答案】 或
【解析】因为 ，，
所以 ，，
即 ，，
在直角三角形中，
（）边长为 的边是斜边，则第三边的长为 ；
（）边长为 的边是直角边，则第三边即斜边的长为 ．
【知识点】勾股定理
三、解答题（共8题，共70分）
21. 【答案】过点 向上作 ，，
连接 ，，则 ，
易证 ，，
．
【知识点】勾股定理
22. 【答案】 ；；
【解析】如图①以 为底，
则 ；
如图②以 为底，
设 ，则 ，
在 中，，
解得：，
，
；
如图③以 为底，
则 ．
【知识点】勾股定理、等腰三角形的概念
23. 【答案】
(1) 如图 ，
① 是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
② ，
，
设 ，
四边形 的面积为 ，
，
即 ，
解得：，（舍），
，，
．
(2) 如图 ，过 作 于 ，连接 ，
则 ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，即：，
，即 ，
是等腰直角三角形，，
，
，
，，
．
【知识点】等腰直角三角形的性质、正方形的性质、角角边、勾股定理
24. 【答案】
(1) 设抛物线的解析式为 ，
经过点 ，，
．
则抛物线的解析式为 ．
(2) 连接 ，设抛物线上一点 ，过 作 轴， 轴，
在 中，由勾股定理得 ，
，
．
．
．
(3) 过 作 ，，由（2）的结论：，，
，
．
．
是 的中点．
是 的中点，连接 ，
，过 作 ，
，
，．
．
．
，
．
，．
．
．
．
，
．
【知识点】二次函数的解析式、勾股定理
25. 【答案】
(1) 如图（）所示．
，，，
，，
，
．
又 ，
，
，
．
(2) 如图（）所示，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
，，
，，
，
，
，
，
，
当 ，， 共线时， 的值最小，最小值为 ．
(3) 同（）中证法，如图（）所示．
取 ，，
当点 在 的延长线上时， 取最大值，最大值为 的长 ．
【知识点】两边成比例且夹角相等、两角分别相等、对应边成比例、勾股定理
26. 【答案】
(1) 因为 是 边的垂直平分线，
所以 ，，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，，
所以 ．
所以 ．
(2) 过点 作 于点 ，
可得，，
设 ，则 ，
在 中，，
即 ，
解之，，（不合题意，舍），
即 ．
所以 ．
【知识点】垂直平分线的性质、边边边、等腰直角三角形、勾股定理
27. 【答案】
(1) ①连接 ，如图 所示：
，， 为 的中点，
，，，，
，
，
，
在 和 中，
，
．
②连接 ，如图 所示：
， 为 的中点，
，
， 为 的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
(2) 分两种情况：
①当 在线段 上时，，
，
由（）①知：，
，
在 中，由勾股定理得：，
；
②当 在线段 延长线上时，如图 所示：
，
综上所述，．
【知识点】等腰三角形的判定、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形
28. 【答案】
(1) ；
(2)
(3)
(4)
【解析】
(1) 图中无理线段长为 ．
(2) 图中折叠后的最小的正方形面积是 ．
(3) 正方形 的边长为 ， 的长即表示 ．
【知识点】勾股定理、在数轴上表示实数
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