数学2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系巩固练习

平面和平面的位置关系

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知直线l⊥平面，直线m平面，则下列命题中正确的是 （    ）

              A． B． C． D．

2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是   （    ）

                A．α、β都垂直于平面r.

                B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.

                C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.

              D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β.

3．下列命题正确的是    （    ）

A. 过平面外的一条直线只能作一平面与此平面垂直

B. 平面⊥平面于，，，则

C. 一直线与平面的一条斜线垂直，则必与斜线的射影垂直

D. 、、是两两互相垂直的异面直线，为、的公垂线，则∥

4．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥—的体积为                 （    ）

              A.             B.              C.           D.

5．在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA， E∈AB,F∈CD 且AE：EB=CF：FD= λ

（0＜ λ ＜1 ＝ 设EF与AC、BD所成的角分别是 α 、 β ，则 α+β=  （    ）

A.大于90°          B.小于90°          C.等于90°                       D.与 λ 的值有关

6．把正方体各个面伸展成平面，则把空间分为的部分数值为　　　　　　　　　　　(　　 )　　

A．13　　　 B．19        C．21　　　　  D．27

7．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是   （    ）

                A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n

              C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，，则α⊥β

8．已知平面平面,直线且则   （    ）

A．内必存在直线与平行，且存在直线与垂直

B．内不一定存在直线与平行，但必存在直线与垂直

C．内不一定存在直线与平行，且不存在直线与垂直

D．内必存在直线与平行，但不存在直线与垂直

9．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（    ）

A.    B.   C.   D.

10．已知AB是异面直线a、b的公垂线段，AB=2，且a与b成30°角，在直线a上取AP=4，则点P到直线b的距离为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（    ）

A． B．4 C．2 D．或2

11．二面角α—l—β的棱l上有一点P，射线PA在α内，且与棱l成45°角，与面β成

30°角则二面角α—l—β的大小为　　　　　　   （    ）

A．30°或150°　B．45°或135° C．60°或120°　D．90°

12．在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a<b，E、F分别是

AD、BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起，

当时，二面角C—EF—B的平面角的余

弦值等于                              （     ）

              A．0 B．   C． D．

二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.

13．设是直二面角，

∠BAN=∠CAN=45°，则∠BAC=_____________．

14．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则                                              ”．

15．与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________．

16．、是两个不同的平面，、是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：

①⊥ ②⊥  ③⊥ ④⊥

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： _________________________.

三、解答题：本大题满分74分.

17．（本小题满分10分）已知矩形ABCD的边AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，PA=1，问

BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由.

18．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC.

   （Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；

   （Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；

   （Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.

19．（本小题满分12分）已知空间四边形ABCD的边长都是1，又BD=，当三棱锥A—BCD的体积最大时，求二面角B—AC—D的余弦值．

20．（本小题满分12分）

有一矩形纸片ABCD，AB=5，BC=2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=CF=1，把纸片沿EF折成直二面角．

（1）求BD的距离；

（2）求证AC，BD交于一点且被这点平分．

21．（本小题满分12分）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，

∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

              （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

              （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

22．（本小题满分13分）棱长为a的正方体OABC—O′A′B′C′中，E、F分别为棱AB、BC上的中点， 如图所示，以O为原点，直线OA、OC、OO′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

              （Ⅰ）求证：A′F⊥C′E；

              （Ⅱ）求二面角B′—EF—B的大小.

参考答案

一．  选择题

1．A  2．D  3．D  4．D  5．C  6．D  7．D  8．B  9．C  10．A  11．B  12．C

4．解：取BD的中点为O，BD⊥平面OAC，，则=。选D

12．解 由图可知   CE=BE=   当时，CB=。 为所求平面角，由余弦定理得cos。 选（C）。

二、填空题

13．60°；   14. ；

15．解：如图中，截面ACD1和截面ACB1均符合题意要求，这样的截面共有8个；

16．或.

三、解答题

17．解：连接AQ，因PA⊥平面ABCD，所以PQ⊥QDAQ⊥QD，即以AD为直经的圆与BC有交点．

当AD=BC=aAB=1,即a1时，在BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD；．．．．．．．．．5分

当0<a<1时，在BC边上不存在点Q，使得PQ⊥QD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

18．（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1， ∴ 四边形BDB1C1是平行四边形， ∴BC1//DB1.

又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1， ∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD ，

∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，  ∵BD=BC=AB， ∴E是AD的中点，

在Rt△B1BE中，∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°…………10分

（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，

∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=

 即三棱锥C1—ABB1的体积为…………15分

   解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，

        即为三棱锥C1—ABB1的体积．

19．解 如图，取AC中点E，BD中点F，由题设条件知道

（1）BED即二面角B—AC—D的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）当AF面BCD时，VA—BCD达到最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

这时ED2=AD2-AE2=1-AE2=1-=1-

=1-，

又 BE2=ED2，

∴ cos．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

                                  　　　　　　 A            

              　　　　　　　　　　　　　　E

B     　　　　　　　　 F       　　　　　　　D      

              　　　　　　　　　　　　　　　C

20．分析：将平面BF折起后所补形成长方体AEFD-A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线．

（1）解：因为AE，EF，EB两两垂直，

所以BD恰好是以AE，EF，EB为长、宽、高的长方体的对角线，

．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）证明：因为AD EF，EF BC，所以AD BC．

所以ACBD在同一平面内，

且四边形ABCD为平行四边形．

所以AC、BD交于一点且被这点平分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21．证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，

              ∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.………………………………3分

              又

              ∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,

              ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC…………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.………………8分

∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴

由AB2=AE·AC 得

故当时，平面BEF⊥平面ACD.………………………………………………12分

22．证明：（Ⅰ）、

、，

……4分

              .……………………………6分

（Ⅱ）取EF的中点M，连BM⊥EF，根据三垂线定理知EF⊥B′M，

 即为二面角B′—EF—B的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

在Rt△BMF中，

              在Rt△B′BM中，

              ∴二面角B′—EF—B的大小是.……………………………………13分