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高中数学上教版（2020）必修 第二册6.3 解三角形课堂检测
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这是一份高中数学上教版（2020）必修 第二册6.3 解三角形课堂检测，文件包含第5讲解三角形练习原卷版docx、第5讲解三角形练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
第5讲 解三角形（练习）
夯实基础
一、单选题
1．（2019·上海市张堰中学高一月考）在中，若，则是（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】利用正弦定理，结合已知可得，再利用二倍角的正弦公式即可判断三角形的形状．
【详解】在中，
，又由正弦定理得：，
，，或，
或．故是等腰三角形或直角三角形，故选D．
【点睛】本题考查三角形的形状判断，突出考查正弦定理与二倍角的正弦公式，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
2．（2019·上海市青浦高级中学高一月考）已知△ABC中,b=B=60°,若此三角形有两解,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理（为的外接圆的半径），做出三角形两解的示意图，得出两解的条件，解之可得的范围.
【详解】做出示意图如下图所示：做于，则，
要使△ABC有两解,则需，因为b=B=60°,所以解得，
故选：B.
【点睛】本题考查三角形的正弦定理的应用：三角形的解的问题，关键在于做出示意图，得出两解所满足的条件，属于基础题.
3．（2019·上海市向明中学高一期中）在锐角中，角所对的边长分别为，若且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由正弦定理可得，再结合为锐角三角形可得，代入求解即可.
【详解】解：因为且，由正弦定理可得：，
则，又为锐角三角形，
则 ，解得：，即，即，
故选：A.
【点睛】本题考查了正弦定理及正弦的二倍角公式，重点考查了三角函数的值域的求法，属中档题.
4．（2019·上海虹口区·上外附中高一期末）已知三角形ABC，如果，则该三角形形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上选项均有可能
【答案】B
【分析】由正弦定理化简已知可得：，由余弦定理可得，可得为钝角，即三角形的形状为钝角三角形.
【详解】由正弦定理，，
可得,化简得，
由余弦定理可得：，又，
为钝角，即三角形为钝角三角形.故选：B.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.
二、填空题
5．（2020·上海浦东新区·高一期中）在△中，若，，，则________
【答案】
【分析】利用正弦定理可直接求得结果.
【详解】由正弦定理得：.故答案为：.
【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.
6．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则是________三角形.
【答案】等腰
【分析】利用代入条件化简即可得解.
【详解】在中，，
又，可得，有：，
所以，即是等腰三角形.故答案为：等腰.
【点睛】本题主要考查了三角形中内角和为，及两角和的正弦展开，属于基础题.
7．（2020·上海高一课时练习）若船在A处发现灯塔B位于北偏东40°处，灯塔C位于船的南偏东45°处，则_________.
【答案】95°
【分析】根据方位角的概念求解即可.
【详解】因为船在A处发现灯塔B位于北偏东40°处，灯塔C位于船的南偏东45°处，
所以故答案为：95°
【点睛】本题考查方位角的概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．（2020·上海浦东新区·高一期中）某高一学生骑车行驶，开始看见塔在南偏东30°方向，沿南偏东60°方向骑行2千米后，看见塔在正西方向，则此时这名学生与塔的距离大约为________千米（结果保留两位有效数字）
【答案】
【分析】根据方位角和余弦定理可构造方程求得结果.
【详解】设该高一学生最初的位置为，骑行后千米后停留的位置为，塔的位置为，作，垂足为，如下图所示：
由题意可知：，，，
且，，
即，解得：（千米）.故答案为：.
【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，涉及到余弦定理和方位角的知识，属于基础题.
9．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则的形状是_________.
【答案】等腰三角形
【分析】根据余弦定理，由题意，先得到，化简整理，得到，进而可得出结果.
【详解】因为，由余弦定理得：，
即，即
即，即，
因为三角形中，两边之和大于第三边，所以，即，
故是等腰三角形.故答案为：等腰三角形.
【点睛】本题主要考查由余弦定理判定三角形形状，属于基础题型.
10．（2020·上海高一课时练习）山上有一塔，高，自山下地面某点测得塔顶仰角为75°，测得塔底仰角为45°，则山高_______.
【答案】
【分析】先设山下地面某点到山底距离为m，再根据条件列方程解得，最后根据山高为得结果.
【详解】设山下地面某点到山底距离为m，
则
因为测得塔底仰角为45°，所以山高为，故答案为：
【点睛】本题考查高度测量问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．（2020·上海高一课时练习）一船沿北偏西30°方向，以的速度航行，灯塔P原在船的北偏东10°处，后，灯塔P在船的北偏东70°处，则船和灯塔原来的距离为____________（精确到）.
【答案】22.7
【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求解即可
【详解】由题意如图所示： 易得
由正弦定理得22.7
故答案为：22.7
【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查距离测量问题，正确画出图形是关键，是基础题
12．（2020·上海高一课时练习）某人从某处出发向正东方向走米后，向右转150°，然后向前行走千米，结果他与出发点相距米，则___________（结果精确到米）.
【答案】1732米或3464米
【分析】利用余弦定理列方程即可解得结果.
【详解】设出发地为，向正东方向走米后到达，然后向右转150°并向前行走千米到达，如图：
则，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以，
所以+米，
或米.
故答案为：1732米或3464米.
【点睛】本题考查了利用余弦定理解三角形，要注意单位的统一，属于基础题.
13．（2020·上海高一课时练习）若汽车自A地出发以的速度向南偏东45°方向行驶后，又按原速度折向正南方向行驶后到达B地，则A，B两地的实际距离为_________（精确到）.
【答案】278
【分析】设汽车自A地出发以的速度向南偏东45°方向行驶后到，再根据与的长度，结合的大小，利用余弦定理求解即可.
【详解】设汽车自A地出发以的速度向南偏东45°方向行驶后到，则由题意可得，，且，故，解得.
故.
故答案为：278
【点睛】本题主要考查了余弦定理在测距中的运用，需要根据题意确定三角形的边角关系，属于基础题.
14．（2020·上海高一课时练习）若圆内接正五边形的边长为1，则圆的半径为___________（答案保留两位小数）.
【答案】0.85
【分析】在中，由，即可求得圆的半径.
【详解】作，垂足为C，由题，得，
在中，，即，解得.
故答案为：0.85
【点睛】本题主要考查圆的内接正五边形的相关问题，涉及到解直角三角形，属基础题.
15．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则________.
【答案】1或2
【分析】根据余弦定理，代入条件即可得解.
【详解】中，，则，
由余弦定理，代入可得，
化简可得，即，解得或，故答案为：1或2.
【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的简单应用，属于基础题.
16．（2020·上海高一课时练习）在中，，则_________.
【答案】
【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
【详解】解：因为，由正弦定理可得，又由余弦定理，所以，因为，所以
故答案为：
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题.
17．（2020·上海高一课时练习）在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为________．
【答案】等腰三角形
【解析】∵a＝2bcos C，∴sin A＝2sin Bcos C，
而sinA＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，∴cos Bsin C＝sin Bcos C，
即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，∴sin(B－C)＝0.又－180°
点睛：判断三角形形状注意区分，sinA=sinB等价于A=B；sin2A=sin2B等价于A=B或A+B=.
18．（2020·上海高一课时练习）在中，，则边上的高为__________.
【答案】
【解析】中，，，
所以，， h=
故答案为
19．（2020·上海高一课时练习）在中，已知，则角=_______．
【答案】
试题分析：根据三角形的正弦定理，则可知的三个角所对应的三个边的比，根据三角形的余弦定理，则有，故．
考点：1．正弦定理；2．余弦定理．
三、解答题
20．（2020·上海高一课时练习）某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C,D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?
【答案】这人还要再走15千米可到达城A
【分析】设，先利用余弦定理求出，，则，可求，在中，由正弦定理求得，答案可得.
【详解】如图所示，设.
在中，由余弦定理的推论得，
∴.
∴.
在中，由正弦定理得，
∴(千米).∴这人还要再走15千米可到达城A.
【点睛】本题主要考查了解三角新的实际应用.解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得答案.
21．（2020·上海高一课时练习）在地面某处测得塔顶的仰角为，由此向塔底沿直线走，测得塔顶的仰角为，再向塔底沿同一直线走，测得塔顶仰角为（三个测量点都在塔的同一侧），试求与塔高.
【答案】，塔高
【分析】作出草图，先根据题意确定和值，在中应用余弦定理求得值，进而可确定的值，然后在中可求得的长度，从而确定答案.
【详解】如图：依题意有，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，，在中，可得，
故，塔高.
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查应用余弦定理解决实际问题的能力，属于基础题.
22．（2020·上海高一课时练习）已知三角形两边之和是8，其夹角为，求这个三角形周长的最小值和面积的最大值.
【答案】周长最小值为12，面积最大值为
【分析】根据基本不等式求得，结合余弦定理即可确定周长的最小值；由不等式及三角形面积公式即可求得面积的最大值.
【详解】三角形两边之和是8，其夹角为，
设两条边分别为，第三条边为，则，
由不等式性质可知，即，
所以，即，
由余弦定理可知，代入可得，
即，因为，所以，即，
所以周长的最小值为；三角形面积为，
由，，可知.
【点睛】本题考查了基本不等式与正弦定理和余弦定理的综合应用，三角形周长和面积最值的求法，属于基础题.
23．（2020·上海高一课时练习）已知中，，，分别为角，，的对边，，且，求的值.
【答案】
【分析】根据已知条件先求得，代入三角形面积公式可得，结合余弦定理即可求得的值.
【详解】在中，，，所以.
而，，由面积公式可知，
所以，即，由余弦定理可知，
代入可得，即，
所以，因为，代入可得，
所以.
【点睛】本题考查了三角形面积公式的简单应用，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
24．（2020·上海高一课时练习）已知在中，，求c以及.
【答案】当时，；当时，
【分析】根据余弦定理，代入已知条件可求得，结合三角形面积公式即可得解.
【详解】在中，，根据余弦定理，
代入可得，化简可得，
即，解得或；
由三角形面积公式可知，当时，；
当时，；
【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的简单应用，三角形面积公式的用法，属于基础题.
25．（2020·上海高一课时练习）在中，，求a的值.
【答案】
【分析】首先利用三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理即可求解.
【详解】由，则，
解得，在中，由余弦定理可得
，即
【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理解三角形，需熟记公式与定理，属于基础题.
26．（2020·上海高一课时练习）解下列三角形：
（1）在中，，，，求、；
（2）在中，，，，求、、；
（3）在中，，，，求、.
【答案】（1），；（2），，；（3），.
【分析】（1）利用三角形内角和定理可求得角的值，利用正弦定理可求的值，再利用三角形的面积公式可求得；
（2）利用余弦定理求出，判断出的形状，进而可求得角、的值；
（3）利用余弦定理可求的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用三角形的面积公式可求.
【详解】（1）由三角形的内角和定理得.
由正弦定理，得.
，
；
（2）由余弦定理得，.，则为等腰三角形，，；
（3）由余弦定理得，
又，.因此，.
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题.
27．（2020·上海高一课时练习）在中，，求的值.
【答案】
【分析】先利用面积公式以及余弦定理求出边，再利用正弦定理求解比值．
【详解】解：由题意，
，，，
【点睛】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．
28．（2020·上海高一课时练习）某船在海面处测得灯塔在北偏东方向，与相距海里，测得灯塔在北偏西方向，与相距海里，船由向正北方向航行到处，测得灯塔在南偏西方向，这时灯塔与相距多少海里？在的什么方向？
【分析】作AE⊥BD于E，CF⊥AD于F，根据题意求出∠B的度数，根据正弦的概念求出AE的长，得到AD的长，根据直角三角形的性质求出DF、CF的长，得到答案．
【详解】解：作AE⊥BD于E，CF⊥AD于F，
由题意得，AB＝海里，AC＝海里，∠BAD＝75°，∠ADB＝60°，则∠B＝45°，
∴AE＝×AB＝15海里，∵∠ADB＝60°，∴∠DAE＝30°，∴AD＝30，
∵∠DAC＝30°，AC＝10海里，∴CF＝AC＝5海里，AF＝15海里，
∴DF＝15海里，又FC＝5海里，∴CD＝＝10海里，则∠CDF＝30°，
∴灯塔C与D相距10海里，C在D南偏东30°方向．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确作出辅助线、构造直角三角形、灵活运用三角函数的概念是解题的关键．
能力提升
一、填空题
1．（2020·上海高一课时练习）中，a，b，c分别是的对边，，则_________.
【答案】
【分析】由，结合余弦定理得到求解.
【详解】因为，所以，
即：，因为，所以，故答案为：
【点睛】本题主要考查三角形面积公式与余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
2．（2020·上海高一课时练习）在山顶上有一座高为的铁塔，从塔顶A和塔底B分别测得地面上一点C的俯角为和，则山高为________.
【答案】
【分析】在和分别表示出，
【详解】设，由题意，，，所以，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，掌握俯角定义是解题关键．本题属于基础题．
3．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则_________.
【答案】
【分析】根据正弦定理求得，由三角形内角和求得，进而求得，再根据三角形的面积公式即可得到答案.
【详解】解：由正弦定理得，，
因为,
所以
,
所以.故答案为：.
【点睛】本题主要考查正弦定理，三角形面积公式，两角和的正弦公式，考查学生的计算能力及公式得掌握程度，属于中档题.
4．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则_______．
【答案】
【分析】由余弦定理结合已知条件即可求出的值．
【详解】由余弦定理
， 即答案为．
【点睛】本题考查了余弦定理的应用，是基础题．
二、解答题
5．（2020·上海高一课时练习）在中，已知，分别根据下列条件求（精确到0.01°）.
（1）①；②；③；④；⑤；
（2）根据上述计算结果，讨论使有一个解、两个解、无解时，的取值情况.
【答案】（1）①无解；②；③或；④；⑤（2）当时，无解；当或时，有一个解；当时，有两个解
【分析】（1）由条件利用正弦定理求得，再结合大边对大角，判断角的个数；
（2）结合（1）的结果，讨论使有一解、两解、无解时的取值情况.
【详解】解：（1）根据正弦定理可得，，
①当，时，，
因为且，所以不存在使得，即无解；
②当，时，，
因为且，所以；
③当，时，，
因为且，所以或；
④，时，，
因为且，所以或，
又因为，所以，所以，只取；
⑤，时，，
因为且，所以或，
又因为，所以，所以，只取.
（2）因为，
所以，当时，无解；当或时，有一个解；当时，有两个解.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，大边对大角，三角形解的个数的判断，属于基础题.
6．（2020·上海高一课时练习）已知三角形三边长是三个连续自然数.
（1）且三角形为钝角三角形，求三边长；
（2）且最大角是最小角的倍，求三边长.
【答案】（1）三边长为、、；（2）三边长为、、.
【分析】（1）设钝角为，三边长为、、，根据余弦定理和三角形三边关系列不等式组解得的取值范围，可求得正整数的值，进而可得出三角形的三边长；
（2）设三边长为、、，最小角为，则最大角为，利用正弦定理可得出，再利用余弦定理可得出，由此可得出关于的等式，求出的值，进而可得出三角形的三边长.
【详解】（1）设钝角为，三边长分别为、、，
则，化简得，，
，，所以三边长分别为、、；
（2）设三边长分别为、、，，最小角为，则最大角为，
由正弦定理，即，.
由余弦定理，得.
，解得，所以三边长为、、.
【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
7．（2020·上海高一课时练习）（1）已知在中，，求；
（2）已知在中，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【分析】（1）由余弦定理求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据面积公式计算可得；
（2）由表示出，，，利用三角形面积公式表示出，利用同角三角函数间的基本关系及余弦定理化简，将表示出的各项代入整理即可得证；
【详解】解：（1）因为
由余弦定理即
所以，又，所以
因为，所以，所以
（2）证明： ，
，，，则
即；
【点睛】本题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
8．（2020·上海高一课时练习）在中，若.
（1）试判断的形状；
（2）如果三角形面积等于4，求三角形周长的最小值.
【答案】（1）直角三角形；（2）
【分析】（1）将已知等式化为，展开化简得，即可判断三角形的形状；
（1）由（1）得，设三个角所对的边分别为，由已知得，的周长为，利用基本不等式即可求出结论.
【详解】（1），
，
得，
，所以是直角三角形；
（2）设三个角所对的边分别为，
又，，
的周长为，
当且仅当时，等号成立，所以的周长最小值为.
【点睛】本题考查三角恒等变换判断三角形的形状，利用基本不等式求周长的最值，考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
9．（2020·上海高一课时练习）在中，根据条件，判断的形状.
（1）；
（2）.
【答案】（1）等腰三角形；（2）等腰三角形或直角三角形
【分析】（1）根据降幂公式代入化简可知，代入等式，结合诱导公式及余弦和角公式化简，可得，再根据余弦差角公式的性质及余弦函数性质即可判断三角形的形状.
（2）根据正弦定理，将边化为角，化简变形后结合正弦二倍角公式及正弦函数的性质即可判断三角形的形状.
【详解】（1）由降幂公式可知，代入等式可知，
化简变形可得，由诱导公式及余弦和角公式可知
，
代入上式可得，
移项可得，，即，
所以为等腰三角形.
（2）由正弦定理可知，（为外接圆半径），
所以可化为，
化简变形可得，即，
所以，
两边同时乘以2，由正弦二倍角公式可知，
由正弦函数性质可知或，所以或，
即为等腰三角形或直角三角形.
【点睛】本题考查了三角形形状的判断，边角转化及三角恒等变形的简单应用，属于中档题.
10．（2020·上海高一课时练习）在中，已知，求证：.
【分析】利用降幂公式将已知等式化为，要证，只需证明，利用正弦定理边角互化，即可证明结论.
【详解】设的外接圆半径为，
，
，.
【点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换解三角形，合理分析找到解题突破口，考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
11．（2020·上海高一课时练习）在△ABC中，求证：.
【分析】利用余弦定理，将和代入中，整理可得出结论.
【详解】由余弦定理可得：
，
所以.
【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.
12．（2020·上海高一课时练习）在△ABC中，已知，试判断这个三角形的形状.
【答案】等腰三角形或直角三角形.
【分析】利用余弦定理将转化为边的关系，进而化简可得到，从而可得到或，即可判断出三角形的形状.
【详解】利用余弦定理可得，
则，
即，从而，
所以，因此或.
当时，a=b，此时△ABC是等腰三角形；
当时，，此时△ABC是直角三角形.
故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
【点睛】本题考查三角形形状的判断，利用余弦定理是解决本题的一种方法，也可以利用正弦定理并结合三角函数知识判断，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题.
13．（2020·上海高一课时练习）在中，若.
（1）求角A的大小；
（2）若，分别求的值.
【答案】（1）；（2），或，.
【分析】（1）利用三角恒等变换中的倍角公式，求得，再根据三角形中角的范围，得到；
（2）利用余弦定理得到，再结合，构造方程，解方程得到
的值.
【详解】（1）由及倍角公式可得：
解得：，因为，所以.
（2）由（1）知，又因为，
所以，解得：，可设是方程两根，
解得：，或， .
【点睛】本题考查三角恒等变换、余弦定理，在第（1）问中求得，要记得写上，才能得到；第（2）问中有两组解，不能遗漏.
14．（2020·上海高一课时练习）在△ABC中，求证：
【分析】作差a（a﹣ccosB）﹣b（b﹣ccosA），利用余弦定理证明其等于0，再利用正弦定理即可得出．
【详解】∵a（a﹣ccosB）﹣b（b﹣ccosA）
＝a2﹣b2﹣accosB+bccosA
＝a2﹣b2
＝0．
∴，．
∴．
【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（2020·上海高一课时练习）在中，角的对边分别为，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积.
【答案】（1）.(2) .
试题分析：（Ⅰ）由同角三角函数关系式由可得．由诱导公式和两角和差公式可得．（Ⅱ）由正弦定理可求得,根据三角形面积公式可求得三角形面积．
试题解析：解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，
∴，
∴ 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴．
∴△ABC的面积 12分
考点：1诱导公式,两角和差公式;2正弦定理．
16．（2018·上海静安区·高一期末）如图是一景区的截面图，是可以行走的斜坡，已知百米，是没有人行路（不能攀登）的斜坡，是斜坡上的一段陡峭的山崖.假设你（看做一点）在斜坡上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）.
（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡的长的方案，用字母表示所测量的角，计算出的长，并化简；
（2）设百米，百米，，，求山崖的长.（精确到米）
【答案】（1）米，详见解析 （2）205米
【分析】（1）由题意测得，，在中利用正弦定理求得的值；
（2）解法一，中由余弦定理求得，中求得和的值，在中利用余弦定理求得的值．
解法二，中求得，中利用余弦定理求得，利用三角恒等变换求得，在中利用余弦定理求得的值．
【详解】解：（1）据题意，可测得，，
在中，由正弦定理，有，即.
解得（米）.
（2）解一：在中，百米，百米，百米，
由余弦定理，可得，解得，
∴.又由已知，在中，，
可解得，从而的.∵，
在中，由余弦定理得米
所以，的长度约为205米.
解二：（2）在中，求得.
在中，由余弦定理，得，
进而得，再由可求得，
.
在中，由余弦定理，得.
所以，的长度约为205米.
【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了三角函数模型应用问题，是中档题．
17．（2018·上海普陀区·曹杨二中高一期中）如图,学校升旗仪式上，主持人站在主席台前沿D处，测得旗杆AB顶部的仰角为俯角最后一排学生C的俯角为最后一排学生C测得旗杆顶部的仰角为旗杆底部与学生在一个水平面上，并且不计学生身高.
(1)设米,试用和表示旗杆的高度AB(米)；
(2)测得米，若国歌长度约为50秒，国旗班升旗手应以多大的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B处?
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）在中，由题意可得,则可求，然后利用正弦定理求得，然后在中利用求得答案（2）根据（1）求出旗杆长，根据时间50秒算出速度即可.
【详解】（1）由题意可知，，
，由正弦定理可知,
,
在.
（2）因为米，所以米，
因为国歌长度约为50秒，所以，
即国旗班升旗手应以米/秒的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B处.
【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，属于难题.
第5讲 解三角形（练习）
夯实基础
一、单选题
1．（2019·上海市张堰中学高一月考）在中，若，则是（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】利用正弦定理，结合已知可得，再利用二倍角的正弦公式即可判断三角形的形状．
【详解】在中，
，又由正弦定理得：，
，，或，
或．故是等腰三角形或直角三角形，故选D．
【点睛】本题考查三角形的形状判断，突出考查正弦定理与二倍角的正弦公式，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
2．（2019·上海市青浦高级中学高一月考）已知△ABC中,b=B=60°,若此三角形有两解,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理（为的外接圆的半径），做出三角形两解的示意图，得出两解的条件，解之可得的范围.
【详解】做出示意图如下图所示：做于，则，
要使△ABC有两解,则需，因为b=B=60°,所以解得，
故选：B.
【点睛】本题考查三角形的正弦定理的应用：三角形的解的问题，关键在于做出示意图，得出两解所满足的条件，属于基础题.
3．（2019·上海市向明中学高一期中）在锐角中，角所对的边长分别为，若且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由正弦定理可得，再结合为锐角三角形可得，代入求解即可.
【详解】解：因为且，由正弦定理可得：，
则，又为锐角三角形，
则 ，解得：，即，即，
故选：A.
【点睛】本题考查了正弦定理及正弦的二倍角公式，重点考查了三角函数的值域的求法，属中档题.
4．（2019·上海虹口区·上外附中高一期末）已知三角形ABC，如果，则该三角形形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上选项均有可能
【答案】B
【分析】由正弦定理化简已知可得：，由余弦定理可得，可得为钝角，即三角形的形状为钝角三角形.
【详解】由正弦定理，，
可得,化简得，
由余弦定理可得：，又，
为钝角，即三角形为钝角三角形.故选：B.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.
二、填空题
5．（2020·上海浦东新区·高一期中）在△中，若，，，则________
【答案】
【分析】利用正弦定理可直接求得结果.
【详解】由正弦定理得：.故答案为：.
【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.
6．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则是________三角形.
【答案】等腰
【分析】利用代入条件化简即可得解.
【详解】在中，，
又，可得，有：，
所以，即是等腰三角形.故答案为：等腰.
【点睛】本题主要考查了三角形中内角和为，及两角和的正弦展开，属于基础题.
7．（2020·上海高一课时练习）若船在A处发现灯塔B位于北偏东40°处，灯塔C位于船的南偏东45°处，则_________.
【答案】95°
【分析】根据方位角的概念求解即可.
【详解】因为船在A处发现灯塔B位于北偏东40°处，灯塔C位于船的南偏东45°处，
所以故答案为：95°
【点睛】本题考查方位角的概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．（2020·上海浦东新区·高一期中）某高一学生骑车行驶，开始看见塔在南偏东30°方向，沿南偏东60°方向骑行2千米后，看见塔在正西方向，则此时这名学生与塔的距离大约为________千米（结果保留两位有效数字）
【答案】
【分析】根据方位角和余弦定理可构造方程求得结果.
【详解】设该高一学生最初的位置为，骑行后千米后停留的位置为，塔的位置为，作，垂足为，如下图所示：
由题意可知：，，，
且，，
即，解得：（千米）.故答案为：.
【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，涉及到余弦定理和方位角的知识，属于基础题.
9．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则的形状是_________.
【答案】等腰三角形
【分析】根据余弦定理，由题意，先得到，化简整理，得到，进而可得出结果.
【详解】因为，由余弦定理得：，
即，即
即，即，
因为三角形中，两边之和大于第三边，所以，即，
故是等腰三角形.故答案为：等腰三角形.
【点睛】本题主要考查由余弦定理判定三角形形状，属于基础题型.
10．（2020·上海高一课时练习）山上有一塔，高，自山下地面某点测得塔顶仰角为75°，测得塔底仰角为45°，则山高_______.
【答案】
【分析】先设山下地面某点到山底距离为m，再根据条件列方程解得，最后根据山高为得结果.
【详解】设山下地面某点到山底距离为m，
则
因为测得塔底仰角为45°，所以山高为，故答案为：
【点睛】本题考查高度测量问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．（2020·上海高一课时练习）一船沿北偏西30°方向，以的速度航行，灯塔P原在船的北偏东10°处，后，灯塔P在船的北偏东70°处，则船和灯塔原来的距离为____________（精确到）.
【答案】22.7
【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求解即可
【详解】由题意如图所示： 易得
由正弦定理得22.7
故答案为：22.7
【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查距离测量问题，正确画出图形是关键，是基础题
12．（2020·上海高一课时练习）某人从某处出发向正东方向走米后，向右转150°，然后向前行走千米，结果他与出发点相距米，则___________（结果精确到米）.
【答案】1732米或3464米
【分析】利用余弦定理列方程即可解得结果.
【详解】设出发地为，向正东方向走米后到达，然后向右转150°并向前行走千米到达，如图：
则，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以，
所以+米，
或米.
故答案为：1732米或3464米.
【点睛】本题考查了利用余弦定理解三角形，要注意单位的统一，属于基础题.
13．（2020·上海高一课时练习）若汽车自A地出发以的速度向南偏东45°方向行驶后，又按原速度折向正南方向行驶后到达B地，则A，B两地的实际距离为_________（精确到）.
【答案】278
【分析】设汽车自A地出发以的速度向南偏东45°方向行驶后到，再根据与的长度，结合的大小，利用余弦定理求解即可.
【详解】设汽车自A地出发以的速度向南偏东45°方向行驶后到，则由题意可得，，且，故，解得.
故.
故答案为：278
【点睛】本题主要考查了余弦定理在测距中的运用，需要根据题意确定三角形的边角关系，属于基础题.
14．（2020·上海高一课时练习）若圆内接正五边形的边长为1，则圆的半径为___________（答案保留两位小数）.
【答案】0.85
【分析】在中，由，即可求得圆的半径.
【详解】作，垂足为C，由题，得，
在中，，即，解得.
故答案为：0.85
【点睛】本题主要考查圆的内接正五边形的相关问题，涉及到解直角三角形，属基础题.
15．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则________.
【答案】1或2
【分析】根据余弦定理，代入条件即可得解.
【详解】中，，则，
由余弦定理，代入可得，
化简可得，即，解得或，故答案为：1或2.
【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的简单应用，属于基础题.
16．（2020·上海高一课时练习）在中，，则_________.
【答案】
【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
【详解】解：因为，由正弦定理可得，又由余弦定理，所以，因为，所以
故答案为：
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题.
17．（2020·上海高一课时练习）在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为________．
【答案】等腰三角形
【解析】∵a＝2bcos C，∴sin A＝2sin Bcos C，
而sinA＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，∴cos Bsin C＝sin Bcos C，
即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，∴sin(B－C)＝0.又－180°
点睛：判断三角形形状注意区分，sinA=sinB等价于A=B；sin2A=sin2B等价于A=B或A+B=.
18．（2020·上海高一课时练习）在中，，则边上的高为__________.
【答案】
【解析】中，，，
所以，， h=
故答案为
19．（2020·上海高一课时练习）在中，已知，则角=_______．
【答案】
试题分析：根据三角形的正弦定理，则可知的三个角所对应的三个边的比，根据三角形的余弦定理，则有，故．
考点：1．正弦定理；2．余弦定理．
三、解答题
20．（2020·上海高一课时练习）某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C,D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?
【答案】这人还要再走15千米可到达城A
【分析】设，先利用余弦定理求出，，则，可求，在中，由正弦定理求得，答案可得.
【详解】如图所示，设.
在中，由余弦定理的推论得，
∴.
∴.
在中，由正弦定理得，
∴(千米).∴这人还要再走15千米可到达城A.
【点睛】本题主要考查了解三角新的实际应用.解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得答案.
21．（2020·上海高一课时练习）在地面某处测得塔顶的仰角为，由此向塔底沿直线走，测得塔顶的仰角为，再向塔底沿同一直线走，测得塔顶仰角为（三个测量点都在塔的同一侧），试求与塔高.
【答案】，塔高
【分析】作出草图，先根据题意确定和值，在中应用余弦定理求得值，进而可确定的值，然后在中可求得的长度，从而确定答案.
【详解】如图：依题意有，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，，在中，可得，
故，塔高.
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查应用余弦定理解决实际问题的能力，属于基础题.
22．（2020·上海高一课时练习）已知三角形两边之和是8，其夹角为，求这个三角形周长的最小值和面积的最大值.
【答案】周长最小值为12，面积最大值为
【分析】根据基本不等式求得，结合余弦定理即可确定周长的最小值；由不等式及三角形面积公式即可求得面积的最大值.
【详解】三角形两边之和是8，其夹角为，
设两条边分别为，第三条边为，则，
由不等式性质可知，即，
所以，即，
由余弦定理可知，代入可得，
即，因为，所以，即，
所以周长的最小值为；三角形面积为，
由，，可知.
【点睛】本题考查了基本不等式与正弦定理和余弦定理的综合应用，三角形周长和面积最值的求法，属于基础题.
23．（2020·上海高一课时练习）已知中，，，分别为角，，的对边，，且，求的值.
【答案】
【分析】根据已知条件先求得，代入三角形面积公式可得，结合余弦定理即可求得的值.
【详解】在中，，，所以.
而，，由面积公式可知，
所以，即，由余弦定理可知，
代入可得，即，
所以，因为，代入可得，
所以.
【点睛】本题考查了三角形面积公式的简单应用，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
24．（2020·上海高一课时练习）已知在中，，求c以及.
【答案】当时，；当时，
【分析】根据余弦定理，代入已知条件可求得，结合三角形面积公式即可得解.
【详解】在中，，根据余弦定理，
代入可得，化简可得，
即，解得或；
由三角形面积公式可知，当时，；
当时，；
【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的简单应用，三角形面积公式的用法，属于基础题.
25．（2020·上海高一课时练习）在中，，求a的值.
【答案】
【分析】首先利用三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理即可求解.
【详解】由，则，
解得，在中，由余弦定理可得
，即
【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理解三角形，需熟记公式与定理，属于基础题.
26．（2020·上海高一课时练习）解下列三角形：
（1）在中，，，，求、；
（2）在中，，，，求、、；
（3）在中，，，，求、.
【答案】（1），；（2），，；（3），.
【分析】（1）利用三角形内角和定理可求得角的值，利用正弦定理可求的值，再利用三角形的面积公式可求得；
（2）利用余弦定理求出，判断出的形状，进而可求得角、的值；
（3）利用余弦定理可求的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用三角形的面积公式可求.
【详解】（1）由三角形的内角和定理得.
由正弦定理，得.
，
；
（2）由余弦定理得，.，则为等腰三角形，，；
（3）由余弦定理得，
又，.因此，.
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题.
27．（2020·上海高一课时练习）在中，，求的值.
【答案】
【分析】先利用面积公式以及余弦定理求出边，再利用正弦定理求解比值．
【详解】解：由题意，
，，，
【点睛】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．
28．（2020·上海高一课时练习）某船在海面处测得灯塔在北偏东方向，与相距海里，测得灯塔在北偏西方向，与相距海里，船由向正北方向航行到处，测得灯塔在南偏西方向，这时灯塔与相距多少海里？在的什么方向？
【分析】作AE⊥BD于E，CF⊥AD于F，根据题意求出∠B的度数，根据正弦的概念求出AE的长，得到AD的长，根据直角三角形的性质求出DF、CF的长，得到答案．
【详解】解：作AE⊥BD于E，CF⊥AD于F，
由题意得，AB＝海里，AC＝海里，∠BAD＝75°，∠ADB＝60°，则∠B＝45°，
∴AE＝×AB＝15海里，∵∠ADB＝60°，∴∠DAE＝30°，∴AD＝30，
∵∠DAC＝30°，AC＝10海里，∴CF＝AC＝5海里，AF＝15海里，
∴DF＝15海里，又FC＝5海里，∴CD＝＝10海里，则∠CDF＝30°，
∴灯塔C与D相距10海里，C在D南偏东30°方向．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确作出辅助线、构造直角三角形、灵活运用三角函数的概念是解题的关键．
能力提升
一、填空题
1．（2020·上海高一课时练习）中，a，b，c分别是的对边，，则_________.
【答案】
【分析】由，结合余弦定理得到求解.
【详解】因为，所以，
即：，因为，所以，故答案为：
【点睛】本题主要考查三角形面积公式与余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
2．（2020·上海高一课时练习）在山顶上有一座高为的铁塔，从塔顶A和塔底B分别测得地面上一点C的俯角为和，则山高为________.
【答案】
【分析】在和分别表示出，
【详解】设，由题意，，，所以，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，掌握俯角定义是解题关键．本题属于基础题．
3．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则_________.
【答案】
【分析】根据正弦定理求得，由三角形内角和求得，进而求得，再根据三角形的面积公式即可得到答案.
【详解】解：由正弦定理得，，
因为,
所以
,
所以.故答案为：.
【点睛】本题主要考查正弦定理，三角形面积公式，两角和的正弦公式，考查学生的计算能力及公式得掌握程度，属于中档题.
4．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则_______．
【答案】
【分析】由余弦定理结合已知条件即可求出的值．
【详解】由余弦定理
， 即答案为．
【点睛】本题考查了余弦定理的应用，是基础题．
二、解答题
5．（2020·上海高一课时练习）在中，已知，分别根据下列条件求（精确到0.01°）.
（1）①；②；③；④；⑤；
（2）根据上述计算结果，讨论使有一个解、两个解、无解时，的取值情况.
【答案】（1）①无解；②；③或；④；⑤（2）当时，无解；当或时，有一个解；当时，有两个解
【分析】（1）由条件利用正弦定理求得，再结合大边对大角，判断角的个数；
（2）结合（1）的结果，讨论使有一解、两解、无解时的取值情况.
【详解】解：（1）根据正弦定理可得，，
①当，时，，
因为且，所以不存在使得，即无解；
②当，时，，
因为且，所以；
③当，时，，
因为且，所以或；
④，时，，
因为且，所以或，
又因为，所以，所以，只取；
⑤，时，，
因为且，所以或，
又因为，所以，所以，只取.
（2）因为，
所以，当时，无解；当或时，有一个解；当时，有两个解.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，大边对大角，三角形解的个数的判断，属于基础题.
6．（2020·上海高一课时练习）已知三角形三边长是三个连续自然数.
（1）且三角形为钝角三角形，求三边长；
（2）且最大角是最小角的倍，求三边长.
【答案】（1）三边长为、、；（2）三边长为、、.
【分析】（1）设钝角为，三边长为、、，根据余弦定理和三角形三边关系列不等式组解得的取值范围，可求得正整数的值，进而可得出三角形的三边长；
（2）设三边长为、、，最小角为，则最大角为，利用正弦定理可得出，再利用余弦定理可得出，由此可得出关于的等式，求出的值，进而可得出三角形的三边长.
【详解】（1）设钝角为，三边长分别为、、，
则，化简得，，
，，所以三边长分别为、、；
（2）设三边长分别为、、，，最小角为，则最大角为，
由正弦定理，即，.
由余弦定理，得.
，解得，所以三边长为、、.
【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
7．（2020·上海高一课时练习）（1）已知在中，，求；
（2）已知在中，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【分析】（1）由余弦定理求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据面积公式计算可得；
（2）由表示出，，，利用三角形面积公式表示出，利用同角三角函数间的基本关系及余弦定理化简，将表示出的各项代入整理即可得证；
【详解】解：（1）因为
由余弦定理即
所以，又，所以
因为，所以，所以
（2）证明： ，
，，，则
即；
【点睛】本题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
8．（2020·上海高一课时练习）在中，若.
（1）试判断的形状；
（2）如果三角形面积等于4，求三角形周长的最小值.
【答案】（1）直角三角形；（2）
【分析】（1）将已知等式化为，展开化简得，即可判断三角形的形状；
（1）由（1）得，设三个角所对的边分别为，由已知得，的周长为，利用基本不等式即可求出结论.
【详解】（1），
，
得，
，所以是直角三角形；
（2）设三个角所对的边分别为，
又，，
的周长为，
当且仅当时，等号成立，所以的周长最小值为.
【点睛】本题考查三角恒等变换判断三角形的形状，利用基本不等式求周长的最值，考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
9．（2020·上海高一课时练习）在中，根据条件，判断的形状.
（1）；
（2）.
【答案】（1）等腰三角形；（2）等腰三角形或直角三角形
【分析】（1）根据降幂公式代入化简可知，代入等式，结合诱导公式及余弦和角公式化简，可得，再根据余弦差角公式的性质及余弦函数性质即可判断三角形的形状.
（2）根据正弦定理，将边化为角，化简变形后结合正弦二倍角公式及正弦函数的性质即可判断三角形的形状.
【详解】（1）由降幂公式可知，代入等式可知，
化简变形可得，由诱导公式及余弦和角公式可知
，
代入上式可得，
移项可得，，即，
所以为等腰三角形.
（2）由正弦定理可知，（为外接圆半径），
所以可化为，
化简变形可得，即，
所以，
两边同时乘以2，由正弦二倍角公式可知，
由正弦函数性质可知或，所以或，
即为等腰三角形或直角三角形.
【点睛】本题考查了三角形形状的判断，边角转化及三角恒等变形的简单应用，属于中档题.
10．（2020·上海高一课时练习）在中，已知，求证：.
【分析】利用降幂公式将已知等式化为，要证，只需证明，利用正弦定理边角互化，即可证明结论.
【详解】设的外接圆半径为，
，
，.
【点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换解三角形，合理分析找到解题突破口，考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
11．（2020·上海高一课时练习）在△ABC中，求证：.
【分析】利用余弦定理，将和代入中，整理可得出结论.
【详解】由余弦定理可得：
，
所以.
【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.
12．（2020·上海高一课时练习）在△ABC中，已知，试判断这个三角形的形状.
【答案】等腰三角形或直角三角形.
【分析】利用余弦定理将转化为边的关系，进而化简可得到，从而可得到或，即可判断出三角形的形状.
【详解】利用余弦定理可得，
则，
即，从而，
所以，因此或.
当时，a=b，此时△ABC是等腰三角形；
当时，，此时△ABC是直角三角形.
故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
【点睛】本题考查三角形形状的判断，利用余弦定理是解决本题的一种方法，也可以利用正弦定理并结合三角函数知识判断，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题.
13．（2020·上海高一课时练习）在中，若.
（1）求角A的大小；
（2）若，分别求的值.
【答案】（1）；（2），或，.
【分析】（1）利用三角恒等变换中的倍角公式，求得，再根据三角形中角的范围，得到；
（2）利用余弦定理得到，再结合，构造方程，解方程得到
的值.
【详解】（1）由及倍角公式可得：
解得：，因为，所以.
（2）由（1）知，又因为，
所以，解得：，可设是方程两根，
解得：，或， .
【点睛】本题考查三角恒等变换、余弦定理，在第（1）问中求得，要记得写上，才能得到；第（2）问中有两组解，不能遗漏.
14．（2020·上海高一课时练习）在△ABC中，求证：
【分析】作差a（a﹣ccosB）﹣b（b﹣ccosA），利用余弦定理证明其等于0，再利用正弦定理即可得出．
【详解】∵a（a﹣ccosB）﹣b（b﹣ccosA）
＝a2﹣b2﹣accosB+bccosA
＝a2﹣b2
＝0．
∴，．
∴．
【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（2020·上海高一课时练习）在中，角的对边分别为，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积.
【答案】（1）.(2) .
试题分析：（Ⅰ）由同角三角函数关系式由可得．由诱导公式和两角和差公式可得．（Ⅱ）由正弦定理可求得,根据三角形面积公式可求得三角形面积．
试题解析：解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，
∴，
∴ 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴．
∴△ABC的面积 12分
考点：1诱导公式,两角和差公式;2正弦定理．
16．（2018·上海静安区·高一期末）如图是一景区的截面图，是可以行走的斜坡，已知百米，是没有人行路（不能攀登）的斜坡，是斜坡上的一段陡峭的山崖.假设你（看做一点）在斜坡上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）.
（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡的长的方案，用字母表示所测量的角，计算出的长，并化简；
（2）设百米，百米，，，求山崖的长.（精确到米）
【答案】（1）米，详见解析 （2）205米
【分析】（1）由题意测得，，在中利用正弦定理求得的值；
（2）解法一，中由余弦定理求得，中求得和的值，在中利用余弦定理求得的值．
解法二，中求得，中利用余弦定理求得，利用三角恒等变换求得，在中利用余弦定理求得的值．
【详解】解：（1）据题意，可测得，，
在中，由正弦定理，有，即.
解得（米）.
（2）解一：在中，百米，百米，百米，
由余弦定理，可得，解得，
∴.又由已知，在中，，
可解得，从而的.∵，
在中，由余弦定理得米
所以，的长度约为205米.
解二：（2）在中，求得.
在中，由余弦定理，得，
进而得，再由可求得，
.
在中，由余弦定理，得.
所以，的长度约为205米.
【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了三角函数模型应用问题，是中档题．
17．（2018·上海普陀区·曹杨二中高一期中）如图,学校升旗仪式上，主持人站在主席台前沿D处，测得旗杆AB顶部的仰角为俯角最后一排学生C的俯角为最后一排学生C测得旗杆顶部的仰角为旗杆底部与学生在一个水平面上，并且不计学生身高.
(1)设米,试用和表示旗杆的高度AB(米)；
(2)测得米，若国歌长度约为50秒，国旗班升旗手应以多大的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B处?
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）在中，由题意可得,则可求，然后利用正弦定理求得，然后在中利用求得答案（2）根据（1）求出旗杆长，根据时间50秒算出速度即可.
【详解】（1）由题意可知，，
，由正弦定理可知,
,
在.
（2）因为米，所以米，
因为国歌长度约为50秒，所以，
即国旗班升旗手应以米/秒的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B处.
【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，属于难题.
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