2020-2021学年8.4 向量的应用精练

第13讲     向量的应用（练习）

夯实基础

一、单选题

1．（2020·湖北武汉市第十一中学高一月考）已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（    ）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

2．（2021·浙江高三专题练习）在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（    ）

A． B． C． D．

”是“为钝角三角形”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

4．（2018·上海浦东新区·高二期末）在四边形中，若，且，则四边形是

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形

二、填空题

5．（2020·上海市七宝中学）设点在内部，且，则与的面积之比为________.

6．（2020·上海高二课时练习）在静水中划船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发，最终船垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向与水流方向所成角是________．

7．（2020·上海高二课时练习）已知三个力，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力________．

8．（2020·上海嘉定区·）若向量和都是单位向量，并且夹角大小为，则以和为邻边的平行四边形的较长的对角线的长度为____________.

9．（2020·上海市南洋模范中学高二月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为______.

10．（2020·上海市金山中学高二期中）有一山坡倾斜角为30°，若在斜坡平面内沿着一条与斜坡线成45°角的直路前进了100米，则升高了________米.

11．（2020·上海长宁区·高二期末）一条河两岸平行,河宽2km,一快艇从河一岸的岸边某处驶向对岸．若船速为26km/h,水流速度为10km/h,则该快艇到达对岸的最快时间为________分钟．

12．（2018·上海闵行区·高二期末）一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功为______．

三、解答题

13．（2020·上海高二课时练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，．设，，求的值．

14．（2020·上海嘉定区·）已知向量、的夹角为.

（1）求·的值

（2）若和垂直，求实数的值.

15．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高二月考）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.

（1）若，且，求的坐标；

（2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围.

能力提升

一、单选题

1．（2020·上海徐汇区·位育中学高二月考）对于非零向量、，定义运算“”：，其中为、的夹角，有两两不共线的三个向量、、，下列结论：①若，则；②；③若，则；④；⑤；其中正确的个数有（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2019·上海市进才中学高二期中）如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆的圆心在边和上移动（包含端点、、），是圆上及其内部的动点，设（），则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2020·上海市市西中学高二月考）中，，则一定是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

4．（2019·上海师大附中）在四边形ABCD中,若,且||=||,则这个四边形是(　　)

A．平行四边形 B．矩形

C．等腰梯形 D．菱形

二、填空题

5．（2020·上海市杨浦高级中学高二期中）正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面内一点，且满足，则的最小值为__________.

6．（2020·浦东新区·上海师大附中高二期中）已知，，O为坐标原点，，则的最小值为______．

7．（2020·上海市行知中学高二期中）如图，等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围为_________.

8．（2020·上海徐汇区·位育中学高二月考）已知平行四边形，，，A为锐角，且，点是边上一定点，点P是边上一动点，若恒成立，则______.

9．（2020·上海高二课时练习）大小相等的三个力作用于同一点，欲使其合力为零，每两个力之间的角度大小均应为_______．

三、解答题

10．（2020·上海市控江中学高二期中）已知，，向量与向量的夹角为，设向量，向量．

（1）求的值；

（2）设，求的表达式；若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

11．（2020·上海市行知中学高二月考）已知.

（1）求；

（2）若，求的取值范围；

（3）设△的三边分别是、、，周长为1，若，求△面积的最大值.

12．（2020·上海高二课时练习）如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为和物体，另在两滑轮中间的一段绳子的点O处悬挂质量为m的另一物体，已知，且系统保持平衡（滑轮半径、绳子质量均忽略不计）．求证：

（1）为定值；

（2）．