高中数学上教版（2020）必修 第二册6.3 解三角形课堂检测

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第5讲 解三角形（练习）
夯实基础
一、单选题
1．（2019·上海市张堰中学高一月考）在中，若，则是（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】利用正弦定理，结合已知可得，再利用二倍角的正弦公式即可判断三角形的形状．
【详解】在中，
，又由正弦定理得：，
，，或，
或．故是等腰三角形或直角三角形，故选D．
【点睛】本题考查三角形的形状判断，突出考查正弦定理与二倍角的正弦公式，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
2．（2019·上海市青浦高级中学高一月考）已知△ABC中,b=B=60°,若此三角形有两解,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理（为的外接圆的半径），做出三角形两解的示意图，得出两解的条件，解之可得的范围.
【详解】做出示意图如下图所示：做于，则，
要使△ABC有两解,则需，因为b=B=60°,所以解得，
故选：B.

【点睛】本题考查三角形的正弦定理的应用：三角形的解的问题，关键在于做出示意图，得出两解所满足的条件，属于基础题.
3．（2019·上海市向明中学高一期中）在锐角中，角所对的边长分别为，若且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由正弦定理可得，再结合为锐角三角形可得，代入求解即可.
【详解】解：因为且，由正弦定理可得：，
则，又为锐角三角形，
则 ，解得：，即，即，
故选：A.
【点睛】本题考查了正弦定理及正弦的二倍角公式，重点考查了三角函数的值域的求法，属中档题.
4．（2019·上海虹口区·上外附中高一期末）已知三角形ABC，如果，则该三角形形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上选项均有可能
【答案】B
【分析】由正弦定理化简已知可得：，由余弦定理可得，可得为钝角，即三角形的形状为钝角三角形.
【详解】由正弦定理，，
可得,化简得，
由余弦定理可得：，又，
为钝角，即三角形为钝角三角形.故选：B.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.
二、填空题
5．（2020·上海浦东新区·高一期中）在△中，若，，，则________
【答案】
【分析】利用正弦定理可直接求得结果.
【详解】由正弦定理得：.故答案为：.
【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.
6．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则是________三角形.
【答案】等腰
【分析】利用代入条件化简即可得解.
【详解】在中，，
又，可得，有：，
所以，即是等腰三角形.故答案为：等腰.
【点睛】本题主要考查了三角形中内角和为，及两角和的正弦展开，属于基础题.
7．（2020·上海高一课时练习）若船在A处发现灯塔B位于北偏东40°处，灯塔C位于船的南偏东45°处，则_________.
【答案】95°
【分析】根据方位角的概念求解即可.
【详解】因为船在A处发现灯塔B位于北偏东40°处，灯塔C位于船的南偏东45°处，
所以故答案为：95°
【点睛】本题考查方位角的概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．（2020·上海浦东新区·高一期中）某高一学生骑车行驶，开始看见塔在南偏东30°方向，沿南偏东60°方向骑行2千米后，看见塔在正西方向，则此时这名学生与塔的距离大约为________千米（结果保留两位有效数字）
【答案】
【分析】根据方位角和余弦定理可构造方程求得结果.
【详解】设该高一学生最初的位置为，骑行后千米后停留的位置为，塔的位置为，作，垂足为，如下图所示：


由题意可知：，，，
且，，
即，解得：（千米）.故答案为：.
【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，涉及到余弦定理和方位角的知识，属于基础题.
9．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则的形状是_________.
【答案】等腰三角形
【分析】根据余弦定理，由题意，先得到，化简整理，得到，进而可得出结果.
【详解】因为，由余弦定理得：，
即，即
即，即，
因为三角形中，两边之和大于第三边，所以，即，
故是等腰三角形.故答案为：等腰三角形.
【点睛】本题主要考查由余弦定理判定三角形形状，属于基础题型.
10．（2020·上海高一课时练习）山上有一塔，高，自山下地面某点测得塔顶仰角为75°，测得塔底仰角为45°，则山高_______.
【答案】
【分析】先设山下地面某点到山底距离为m，再根据条件列方程解得，最后根据山高为得结果.
【详解】设山下地面某点到山底距离为m，
则
因为测得塔底仰角为45°，所以山高为，故答案为：
【点睛】本题考查高度测量问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．（2020·上海高一课时练习）一船沿北偏西30°方向，以的速度航行，灯塔P原在船的北偏东10°处，后，灯塔P在船的北偏东70°处，则船和灯塔原来的距离为____________（精确到）.
【答案】22.7
【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求解即可
【详解】由题意如图所示： 易得
由正弦定理得22.7
故答案为：22.7

【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查距离测量问题，正确画出图形是关键，是基础题
12．（2020·上海高一课时练习）某人从某处出发向正东方向走米后，向右转150°，然后向前行走千米，结果他与出发点相距米，则___________（结果精确到米）.
【答案】1732米或3464米
【分析】利用余弦定理列方程即可解得结果.
【详解】设出发地为，向正东方向走米后到达，然后向右转150°并向前行走千米到达，如图：

则，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以，
所以+米，
或米.
故答案为：1732米或3464米.
【点睛】本题考查了利用余弦定理解三角形，要注意单位的统一，属于基础题.
13．（2020·上海高一课时练习）若汽车自A地出发以的速度向南偏东45°方向行驶后，又按原速度折向正南方向行驶后到达B地，则A，B两地的实际距离为_________（精确到）.
【答案】278
【分析】设汽车自A地出发以的速度向南偏东45°方向行驶后到，再根据与的长度，结合的大小，利用余弦定理求解即可.
【详解】设汽车自A地出发以的速度向南偏东45°方向行驶后到，则由题意可得，，且，故，解得.
故.
故答案为：278
【点睛】本题主要考查了余弦定理在测距中的运用，需要根据题意确定三角形的边角关系，属于基础题.
14．（2020·上海高一课时练习）若圆内接正五边形的边长为1，则圆的半径为___________（答案保留两位小数）.
【答案】0.85
【分析】在中，由，即可求得圆的半径.
【详解】作，垂足为C，由题，得，
在中，，即，解得.
故答案为：0.85

【点睛】本题主要考查圆的内接正五边形的相关问题，涉及到解直角三角形，属基础题.
15．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则________.
【答案】1或2
【分析】根据余弦定理，代入条件即可得解.
【详解】中，，则，
由余弦定理，代入可得，
化简可得，即，解得或，故答案为：1或2.
【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的简单应用，属于基础题.
16．（2020·上海高一课时练习）在中，，则_________.
【答案】
【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
【详解】解：因为，由正弦定理可得，又由余弦定理，所以，因为，所以
故答案为：
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题.
17．（2020·上海高一课时练习）在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为________．
【答案】等腰三角形
【解析】∵a＝2bcos C，∴sin A＝2sin Bcos C，
而sinA＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，∴cos Bsin C＝sin Bcos C，
即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，∴sin(B－C)＝0.又－180°