高中数学上教版（2020）必修 第二册8.3 向量的坐标表示课后作业题

第12讲 向量的坐标表示（练习）

夯实基础

一、单选题

1．（2020·天津市军粮城中学高一月考）向量，，，且，则实数λ=（    ）

A．3 B． C．7 D．

【答案】C

【分析】根据向量坐标的线性运算以及数量积运算求解即可.

【详解】，，

则，

若，且，

所以，

解得.

故选：C

2．（2020·天津市军粮城中学高一月考）已知，，M是线段的中点，那么向量的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】中点坐标公式可得答案.

【详解】由中点坐标公式得，即，所以.

故选：A.

3．（2021·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知向量=(1，2)，=(m，m+3)，若，则m=（    ）

A．-7 B．-3 C．3 D．7

【答案】C

【分析】根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得的值.

【详解】由于，所以，解得.

故选：C

4．（2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考）若向量，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由向量加法的坐标运算计算．

【详解】．

故选：A．

二、填空题

5．（2021·上海高一专题练习）设向量，若用表示，则________.

【答案】

【分析】根据平面向量基本定理进行求解即可.

【详解】设，则有，

得，所以，

故答案为：

6．（2021·上海高一专题练习）设向量．若向量与向量共线，则λ＝________.

【答案】2

【分析】根据平面向量坐标运算公式，结合共线向量的性质进行求解即可.

【详解】因为，所以，

又因为向量与向量共线，所以，

故答案为：2

7．（2021·天津市第八中学高一月考）向量，，则___________.

【答案】

【分析】求出的坐标，利用向量的模长公式可求得结果.

【详解】，因此，.

故答案为：.

8．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）在中，为边上的中线，E为的中点，则________．（用和表示）

【答案】

【分析】找一条路径，根据所给关系，向和进行转化，即可得解.

【详解】

.

故答案为：.

三、解答题

9．（2021·上海高一专题练习）在平行四边形ABCD中，，，

（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用分别表示.

（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.

【答案】（1），（2）.

【分析】（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可；

（2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.

【详解】（1），

；

（2）.

10．（2021·江苏淮安市·高一月考）已知.

（1）当为何值时，与共线？

（2）当为何值时，与垂直？

（3）当为何值时，与的夹角为锐角？

【答案】（1）；（2）；（3）且.

【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.

（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.

（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.

【详解】解：（1）.

与平行，，解得.

（2）与垂直，

，即，

（3）由题意可得且不共线，解得且.

11．（2012·全国高一课时练习）如图所示，在中， ，与与 相交于点，设 ，，试用 和表示向量 ．

【答案】

【试题分析】直接运用向量的共线关系建立方程组求解：

由A、M、D三点共线，

由C、M、B三点共线，

能力提升

一、单选题

1．（2021·江苏吴江中学高一月考）已知向量，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算出和的坐标，利用向量的模长公式可得出关于实数的等式，进而可求得结果.

【详解】已知向量，，则，，

由可得，解得.

故选：B.

2．（2021·天津市武清区杨村第一中学高一月考）已知，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据基底的构成条件：非零向量、不共线，由此进行逐项判断即可.

【详解】因为，所以与共线，

所以不能作为基底，

故选：B.

3．（2020·天津市军粮城中学高一月考）已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.

【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

由，，

所以，，，，

所以，

所以.

故选：B

【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.

4．（2021·江苏省昆山中学高一月考）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【分析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.

【详解】

因为点是的三等分点，则，

又由点三点共线，则，

，

当且仅当时，等号成立，

即的最小值为 ，则有,

解可得或(舍），故，

故选：B.

【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

5．（2021·天津南开中学高一月考）与的夹角为，与的夹角为，若，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】将沿与方向进行分解，易得，再在中，，代入相关值即可得到答案.

【详解】将沿与方向进行分解，延长、至、，以、为邻边、为对角线画出平行四边形，如图，

由平行四边形法则有，且，所以，

，又，，在中，，

即.

故选：D

【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，关键点是数形结合得到，考查了学生的计算能力.

6．（2020·湖北武汉市第十一中学高一月考）如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点R，CR的中点为P，若，则m，n对应的值为

A． B．

C． D．

【答案】A

试题分析：由题意可得 ，①

，②

由①②解方程求得 ,即，对应的值为，

考点：平面向量基本定理

二、填空题

7．（2020·天津市军粮城中学高一月考）与向量平行的单位向量为___________.

【答案】或.

【分析】设与向量平行的单位向量为，利用向量共线的坐标表示可得，再利用模长公式，，

即可求解.

【详解】设与向量平行的单位向量为，

则，

因为是单位向量，所以，

解得：，

当时，，

当时，，

所以或

故答案为：或.

8．（2021·天津静海区·静海一中高一月考）已知，，若，b的夹角为钝角，则x的取值范为__________．

【答案】

【分析】依题意可得，且与不共线，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】解：因为，，若，b的夹角为钝角，则，且与不共线，所以，解得且，故

故答案为：

9．（2021·天津静海区·静海一中高一月考）与共线反向的单位向量坐标__________．

【答案】

【分析】首先求出的模，再根据计算可得；

【详解】解：因为，所以，所以与共线反向的单位向量为

故答案为：

10．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）已知，则的值为__________

【答案】14

【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算公式，准确运算，即可求解.

【详解】由题意，向量，

可得，

则.

故答案为：.

11．（2021·临澧县第一中学高一月考）已知平面向量，则向量的夹角等于_______.

【答案】

【分析】根据向量夹角的坐标公式运算即可.

【详解】,

,

故答案为：

12．（2020·广东深圳市·高一期末）如图所示，已知，点是点关于点的对称点，，和交于点，若，则实数的值为_______．

【答案】

【分析】设，可得，，又因为，即可求解．

【详解】如图所示：

设，由于，所以，

由于点是点关于点的对称点，则为中点，

所以，得

所以

由于 ，又因为

得 ．

故答案为：

【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

13．（2021·赣州市赣县第三中学高一月考（文））已知边长为4的正方形中，与交于点，且、分别是线段和线段的中点，则__________．

【答案】

【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，则

三、解答题

14．（2021·上海高一专题练习）（1）在中，点分别在上，线段过三角形的重心，设，，，，试求的值．

（2）在中，点是的中点，点是上一点，且，与相交于点，设，，试用表示．

【答案】（1）3；（2）．

【分析】（1）利用三角形重心的向量性质，结合向量的线性运算性质进行求解即可；

（2）根据平面向量基本定理，结合向量的线性运算性质进行求解即可

【详解】（1）设，因为三角形的重心是，

所以有，

，

所以有，

；

（2）设，一方面有：

又一方面有：

，

于是有：，

所以.

15．（2021·上海高一专题练习）已知，是直线上一点，若，求点的坐标.

【答案】

【分析】设，根据向量共线的坐标运算求解.

【详解】因为，

所以，

因为，

所以，

解得，

即

16．（2021·上海高一专题练习）已知＝(10，－5)，＝(3，2)，＝(－2，2)，试用，表示.

【答案】＝－.

【分析】根据平面向量的基本定理，利用坐标运算即可.

【详解】设＝λ＋μ (λ，μ∈R)．

则(10，－5)＝λ(3，2)＋μ(－2，2)＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．

∴解得

∴＝－.

17．（2020·湖北武汉市第十一中学高一月考）已知向量，，，．

（1）若，求实数的值；

（2）当取最小值时，求与的夹角的余弦值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用平面向量垂直表示可得出关于的等式，进而可求得实数的值；

（2）利用平面向量数量积的运算法则以及二次函数的基本性质可求得的值，可求出的值，进一步可求出的值，利用平面向量数量积可求得与的夹角的余弦值．

【详解】（1）由已知条件可得，

，则，

解得；

（2）

.

当时，取最小值.

，则，

因此，.

【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法：

（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；

（2）坐标法：若非零向量、，则.

18．（2020·天津市军粮城中学高一月考）已知向量，，且与的夹角为.

（1）求；

（2）若与垂直，求实数λ的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由向量的夹角为即可得，进而得，再根据模的计算即可得答案；

（2）由（1）得，，再根据向量垂直的坐标表示即可得答案.

【详解】解：（1）由向量夹角的坐标表示得：

，解得：，

所以

所以

（2）由（1）知，故，

由于与垂直，

所以，解得：.

【点睛】方法点睛：已知，

则，

19．（2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考）已知中是直角，，点是的中点，为上一点．

（1）设，，当，请用，来表示，；

（2）当时，试求．

【答案】（1），；（2）0.

【分析】（1）利用向量的线性运算求解；

（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．

【详解】（1），，点是的中点，

，

，

．

（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，

设，点坐标为，另设点坐标为，点是的中点，

点坐标为，

又，，，，

所以，，

所以．

【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积．掌握数量积的定义是解题关键．在有垂直的平面图形中，可以建立平面直角坐标系，得出各点坐标后，求得向量的坐标，用向量数量积的坐标运算求解．