高中数学上教版（2020）必修 第二册6.3 解三角形学案

解三角形

知识体系：

期末考情：（以2020-2021重庆七校联考为例）

知识清单：

解三角形

一、正弦定理

1.公式：(其中为三角形外接圆半径)

2.公式变形

(1)边化角：，，

(2)角化边：，，

(3)连比：

和比：

二、余弦定理

1.公式：

2.公式变形

三、综合应用

1.面积公式

(1)正弦面积公式：

推论：(是外接圆半径)

(2)海伦-秦九韶公式

设，我们称为半周长，则.

(3)面积公式：(是内切圆半径)

2.判断三角形形状

(1)大角对大边：

注：在三角函数中，不成立.

(2)余弦定理判断三角形的形状

若已知的三条边长，，，且，由“大角对大边”，知，所以：

若，则是锐角三角形；

若，则是直角三角形；

若，则是钝角三角形.

3.判断用哪个定理

在中，若已知：

(1)一边和两角，用正弦定理，由内角和公式，求角，再由正弦定理求出，.

(2)两边和夹角，用余弦定理，求出第三边，由正弦定理求出小边所对的角，再由求出另一角.

(3)三边，用余弦定理，求出三个角，，.

(4)两边和一个对角（如，，）

可用正弦定理，但是要注意解的个数的讨论；也可以用余弦定理，先求出，再求出其余两角，.

4.已知两边一对角，解的个数讨论

在中，若已知，，，求：

四、解三角形大题常见题型总结

1. 消角构造三角函数

由内角和公式，

，

，

类似地，，，可以将多余的角消去，

再利用辅助角公式化简。

【例题】在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的取值范围．

解：（Ⅰ），

，

，，

为锐角三角形，

（Ⅱ）为锐角三角形，，

，

为锐角三角形，，，

解得，，

，

，

的取值范围为，．

2. 对边对角模型

在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围。

结合余弦定理变式可得：

此公式在已知 ，的情况下，可得到和的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值。

【例题】中，．

（1）求；

（2）若，求周长的最大值．

解：（1）设的内角，，所对的边分别为，，，

因为，

由正弦定理可得，

即为，

由余弦定理可得，

由，可得；

（2）由题意可得，

又，可设，，，

由正弦定理可得，

可得，，

则周长为，

，

当，即时，的周长取得最大值．

另解：，，又，

，

由，则（当且仅当时，“”成立），

则周长的最大值为．:50:24；用户：刘晓楠；邮箱：152

3.正弦定理边角转化

在正弦定理中：

，

此时，只要知道任意一边和一角，即可结合内角和定理得到一组边角定量关系。

【例题】 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围．

解：（1），，，

，，，，

，

（2）由正弦定理得，

，

当且仅当，，，．

4. 齐次式结构

在这一部分中，我们经常会看到诸如：，等结构，

这种类型可利用正弦定理转化为纯角的结构：

，

我们需要消元，把三个角消成一个角，或用均值不等式，或用一元函数处理。

【例题】在中，，，分别为内角，，的对边，现有如下条件：

①；

②；

③，，求的面积；

④，，求的面积．

（1）在①和②中选择一个，作为已知条件，求角的大小．

（2）在（1）的条件下，在③和④中选择一个问题进行解答．

解：（1）若选①：由，

可得，，

，

，，，，

若选②：由，

得，

，，

，，

（2）若选③：由，

（3）得，

，

，

，，，

由（1）知，由余弦定理得，，

的面积为．

若选④：，，

由（1）知，由余弦定理得，，

，解得，，

的面积为．

数系扩充

知识体系：

期末考情：（以2020-2021重庆七校联考为例）

知识清单：

数系扩充

一、数系扩充和复数的概念

1.复数的概念和几何意义

(1)①虚数单位：方程的解，即.

②复数：形如的数

③实部：复数，其实部

④虚部：复数，其虚部

⑤复数集：全体复数构成的集合.

(2)对于复数，

①实数：当时，它是实数，特别地，当时，它是实数0；

②虚数：当时，它是虚数；

③纯虚数：当且时，它是纯虚数。

(3)  复数的几何意义

①复平面：用于表示复数的直角坐标系平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴

②几何意义：复平面内的点或向量表示

③复数的模或绝对值：，其中。

④共轭复数：两个复数实部相等，虚部相反。即复数，其共轭复数

二、复数的四则运算法则

(1)设，是任意两个复数，则

①加法：；

②减法：；

③乘法：；

④除法：（其中）。

(2)复数的四则运算律

对任意的，

①加法的交换律：；

②加法的结合律：；

③乘法的交换律：；

④乘法的结合律：；

⑤乘法的分配律：。

(3)复数的乘方

①复数的乘方：，其运算法则与指数运算相同

②的乘方：，，，，，……，

一般地（周期为4），其中。

三、复数与三角

(1)任意复数可以写成的形式，即复数的三角形式。其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，称为辐角，规定范围内的辐角的值为辐角主值，记作。

(2)三角形式下的复数乘除法

设，，则

①乘法：积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和，即；

②除法：商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，即；

③乘方：；

期末押题：

一．单选题（共3小题）

1．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为　　

A． B． C． D．1

2．中，，，是角，，的对边，，其外接圆半径，且，则　　

A．1 B． C． D．

3．在锐角中，角、、的对边分别为、、．若，且，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二．多选题（共4小题）

4．中，，，是角，，的对边，，则　　

A．若，则 

B．若，则的面积为 

C．若，则角的角平分线 

D．若为锐角三角形，，则边长

5．为了测量障碍物两侧，之间的距离，一定能根据以下数据确定长度的是 

A．，， B．，， C．，， D．，，

6．已知复数，则下列叙述正确的是　　

A．的虚部为 

B．在复平面内对应的点位于第一象限 

C． 

D．

7．设，为复数，下列命题中正确的是　　

A． B． 

C． D．

三．填空题（共1小题）

8．已知的内角，，所对边的长分别为，，，已知的面积满足，则角的值为 　　．

四．解答题（共3小题）

9．中，内角，，的对边分别为，，，．

（1）求角的大小；

（2）若，，为边上的中点，求的长．

10．在中，内角，，的对边分别为，，，且．

（1）若，求面积的最大值；

（2）若，且为锐角三角形，求周长的取值范围．

11．如图，在平面四边形中，，．，．

（1）若，求线段的长；

（2）求线段长的最大值．

参考答案与试题解析

一．单选题（共3小题）

1．【解答】解：根据正弦定理：由得，则由得，则的面积．

故选：．

2．【解答】解：在中，角，，对应的边分别为，，，其外接圆半径，

则，即，，

又，则，

则，则，，

因为，又，

则，则，

即，则，，

则，，

．

故选：．

3．【解答】解：中，由，

得，

，得；

，，

解得舍去），则．

由正弦定理得，

，；

由，得，，且．

，

且为锐角，，得，

，得．

的取值范围是，．

故选：．

二．多选题（共4小题）

4．【解答】解：由及余弦定理：得，，

由正弦定理有：，

，

，，，，．

若，则，故正确；

若，则．

由得，，

又为角的角平分线，，

，，故正确，错误；

若为锐角三角形，，则且，

，

，，，故正确．

故选：．

5．【解答】解：对于项，由余弦定理可知，可求得，即正确；

对于项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故错误；

对于项，由正弦定理可知，即正确；

对于项，同上由正弦定理得，即正确；

故选：．

6．【解答】解：，

则的虚部为2，故错误，

在复平面内对应的点位于第一象限，故正确，

，则，故正确，

，故错误．

故选：．

7．【解答】解：设，，

对于，则，

，故正确；

对于，，

当，是虚数，一定是实数，不可能相等，故错误；

对于，由复数模的运算性质可知，，故正确；

对于，，，故正确．

故选：．

三．填空题（共1小题）

8．【解答】解：由已知得，

根据余弦定理和三角形面积公式，得，

化简为，

由于，所以，

化简得，

即，

解得，或（舍，

由于，所以．

故答案为：．

四．解答题（共3小题）

9．【解答】解：（1）由．

得，，，

，；

（2）由，得，解得，

为边上的中点，，

，

．

10．【解答】解：（1）由余弦定理有：，

因为，

所以，由重要不等式有：

，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以，

所以面积的最大值为；

（2）因为为锐角三角形，

所以，，，

因为，，

由正弦定理有：，

由余弦定理有：，

所以，解得，

同理由有：，

所以，解得，所以，

同理由，有：，

所以，解得：，

所以，所以周长，

又由，，有：，

又，所以，

所以，所以，

所以周长的取值范围为．

11．【解答】解：（1）在中，，由余弦定理得：

，即，解得，

在中，，，由余弦定理得：

，

所以；

（2）设，

在中，由余弦定理得：，

由正弦定理得：，

在中，由余弦定理得：当且仅当，即时取“”，此时，

所以当时，线段长取最大值6．