2012届高考数学一轮复习课件（理科）11.3 《变量间的相关关系》新人教版必修3

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§11.3 变量间的相关关系要点梳理1.两个变量的线性相关 （1）正相关 在散点图中，点散布在从 到 的区 域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称 为正相关. （2）负相关 在散点图中，点散布在从 到 的区 域，两个变量的这种相关关系称为负相关.左下角右上角左上角右下角基础知识 自主学习 （3）线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在 ，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.2.回归方程 （1）最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到它的 的方法叫做最小二乘法.一条直线附近距离的平方和最小（2）回归方程方程y= 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1,y1）,(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程，其中 , 是待定参数.=.基础自测1.下列关系中，是相关关系的为 （ ） ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 解析 ①中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性,是相关关系.②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系.③④都不具备相关关系.A2.设有一个回归方程为 =3-5x,变量x增加一个单位时 （ ） A.y平均增加3个单位 B.y平均减少5个单位 C.y平均增加5个单位 D.y平均减少3个单位 解析 -5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位时，y平均减少5个单位.B3.在一次实验中，测得（x,y）的四组值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）,则y与x之间的回归直线方程为 （ ） A. =x+1 B. =x+2 C. =2x+1 D. =x-1 解析 将（x,y）的四组值代入公式求得 、 即可，也可注意到所给的四组值，发现y总比x大1，故回归直线方程为 =x+1.A4.有关线性回归的方法，不正确的是 （ ） A.相关关系的两个变量是非确定关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的 关系 D.散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强 解析 散点图上的点大致分布在通过散点图中心的那条直线附近，整体上呈线性分布时，两个变量相关关系越强.D5.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的 中心为（4，5），则回归直线的回归方程是（ ） A. =1.23x+4 B. =1.23x+5 C. =1.23x+0.08 D. =0.08x+1.23 解析 当x=4时，y=1.23×4+0.08=5.C题型一 利用散点图判断两个变量的相关性【例1】山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg).（1）画出散点图；（2）判断是否具有相关关系. 题型分类 深度剖析思维启迪 （1）用x轴表示化肥施用量，y轴表示棉花产量，逐一画点.（2）根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系.解 （1）散点图如图所示（2）由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直 线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系. 散点图是由大量数据点分布构成的， 是定义在具有相关关系的两个变量基础之上的，对 于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地分 析它们有无关系及关系的密切程度.探究提高知能迁移1 科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm,℃)，并作了统计.（1）试画出散点图；（2）判断两个变量是否具有相关关系.解 （1）作出散点图如图所示，(2)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量是非线性相关关系.题型二 求回归直线方程【例2】 （12分）随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：（1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？（2）若二者线性相关，求回归直线方程.思维启迪 利用散点图观察收入x和支出y是否线性相关，若呈线性相关关系，可利用公式来求回归系数，然后获得回归直线方程.解 （1）作出散点图： 4分观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系. 6分（2） (0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8) =1.74, (0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5)=1.42， 8分 =1.42-1.74×0.813 6≈0.004 3， 11分∴回归方程 =0.813 6x+0.004 3. 12分探究提高 从本题可以看出，求回归直线方程，关键在于正确求出系数 , ，由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎，分层进行，避免因计算产生失误，特别注意，只有在散点图大体呈线性时，求出的回归直线方程才有意义.知能迁移2 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据：（1）请画出表中数据的散点图；（2）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程 解 （1）由题设所给数据，可得散点图如图.（2）对照数据，计算得： =32+42+52+62=86， =3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为： =3.5-0.7×4.5=0.35.因此，所求的线性回归方程为 =0.7x+0.35.题型三 利用回归直线方程对总体进行估计【例3】某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：（1）求出线性回归方程；（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？（3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？解 （1）n=6， =71+1.82×3.5=77.37.回归方程为 =77.37-1.82x. （2）因为单位成本平均变动 =-1.82＜0,且产量x的计量单位是千件,所以根据回归系数b的意义有:产量每增加一个单位即1 000件时,单位成本平均减少1.82元.(3)当产量为6 000件时,即x=6,代入回归方程，得 =77.37-1.82×6=66.45（元）当产量为6 000件时，单位成本为66.45元. 利用线性回归方程可以进行预测，线性回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制,依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据，有广泛的应用.探究提高知能迁移3 某产品的广告支出x（单位：万元)与销 售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：（1）画出表中数据的散点图；（2）求出y对x的回归直线方程；（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？解 （1）作出的散点图如图所示（2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下表：故y对x的回归直线方程为（3）当x=9时，故当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元.方法与技巧1.线性相关关系的理解：相关关系与函数关系不同. 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系.例如 正方形面积S与边长x之间的关系S=x2就是函数关系. 相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随 机变量与随机变量之间的关系.例如商品的销售额 与广告费是相关关系.两个变量具有相关关系是回 归分析的前提.思想方法 感悟提高2.求回归方程，关键在于正确求出系数 , ，由于 , 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进 行，避免因计算而产生错误.（注意回归直线方程 中一次项系数为 ,常数项为 ,这与一次函数的 习惯表示不同.）3.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主 要解决:（1）确定特定量之间是否有相关关系， 如果有就找出它们之间贴近的数学表达式； （2）根据一组观察值，预测变量的取值及判断变 量取值的变化趋势；（3）求出回归直线方程.失误与防范1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义.2.根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值.一、选择题1.（2009·海南、宁夏，3）对变量x,y有观测数据（xi,yi）(i=1,2,…,10)，得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui,vi）(i=1,2，…,10)，得散点图（2），由这两个散点图可以判断（ ）定时检测A.变量x与y正相关，u与v正相关B.变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D.变量x与y负相关，u与v负相关解析 图（1）中的数据随着x的增大而y减小，因此变量x与变量y负相关；图（2）中的数据随着u的增大，v也增大，因此u与v正相关.答案 C2.已知变量x,y呈线性相关关系，回归方程为 =0.5+ 2x,则变量x,y是 （ ） A.线性正相关关系 B.由回归方程无法判断其正负相关 C.线性负相关关系 D.不存在线性相关关系 解析 随着变量x增大，变量y有增大的趋势，则x、 y称为正相关，则A是正确的.A3.下表是某厂1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是则 等于 ( ）A.10.5 B.5.15 C.5.2 D.5.25解析 =2.5， =3.5，∵回归直线方程过定点∴3.5=-0.7×2.5+ .∴ =5.25.D4.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、 乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且 利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2， 已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的 平均值都相等，且分别是s、t，那么下列说法正 确的是 （ ） A.直线l1和l2一定有公共点（s,t） B.直线l1和l2相交，但交点不一定是（s，t） C.必有l1∥l2 D.l1与l2必定重合 解析 线性回归直线方程为 ∴(s,t)在回归直线上. ∴直线l1和l2一定有公共点（s,t).A5.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程 中，回归系数 （ ） A.可以小于0 B.大于0 C.能等于0 D.只能小于0 解析 因为 =0时，r=0，这时不具有线性相关关 系，但 能大于0也能小于0.A6.下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归方程 必过 （ ） A.点（2，2） B.点（1.5，2） C.点（1，2） D.点（1.5，4） 解析 回归方程必过样本中心点（x,y），经计算得（1.5，4）.D二、填空题7.人的身高与手的扎长存在相关关系，且满足 =0.303x-31.264(x为身高，y为扎长，单位:cm)，则当扎长为24.8 cm时，身高为 cm. 解析 将y=24.8代入，得x=185.03 (cm).185.038.已知三点（3，10），（7，20），（11，24）的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，则其线性回归方程是 . 解析 ∵线性回归方程过点（ , ）,∴18= ∴ ∴回归方程为y=9.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 由表中数据得线性回归方程 中 =-2,预测当气温为-4℃时，用电量的度数约为 . 解析 =10, =40，回归方程过点（ , ）, ∴40=-2×10+ .∴ =60.∴ =-2x+60. 令x=-4,∴ =(-2)×(-4)+60=68.68三、解答题10.在某地区的12~30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系.解 以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关.11.在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：由资料看y与x呈线性相关，试求回归方程.解 =30,∴回归方程为 =0.880 9x+67.173.12.炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据如下表所示：（1）作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？（2）求回归直线方程；（3）预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？解 （1）以x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，可作散点图如图所示:从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关.（2）列出下表，并用科学计算器进行计算：设所求的回归直线方程为 ,其中的 , 使Q= （yi-bxi-a）2的值最小.所求回归直线方程为 =1.267x-30.47.（3）当x=160时， =1.267×160+(-30.47)=172.25.即当钢水含碳量为160时，应冶炼172.25分钟. 返回