山东省高中数学（新课标人教A版）必修三《2.3.1-2.3.2两个变量的相关性》训练评估

2.3　变量间的相关关系

2.3.1　变量之间的相关关系

2.3.2　两个变量的线性相关

双基达标　限时20分钟

1．线性回归方程＝x＋必过                                              (　　)．

A．(0,0)             B．(0，)            C．(，0)           D．(，)

解析　回归直线方程一定过样本点的中心(，)．

答案　D

2．设有一个回归方程＝2－1.5x，当变量x增加1个单位时                     (　　)．

A．y平均增加1.5个单位  B．y平均减少1.5个单位

C．y平均增加2个单位  D．y平均减少2个单位

解析　′＝2－1.5(x＋1)＝2－1.5x－1.5＝－1.5.即x增加一个单位时，y平均减少1.5个单位．

答案　B

3．已知x与y 之间的一组数据：

则y与x的线性回归方程＝bx＋a必过点                                  (　　)．

A．(1,2)           B．(1.5,0)           C．(2,2)        D．(1.5,4)

解析　＝＝1.5，＝＝4.

答案　D

4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为＝0.72x－58.2，张红同学(20岁)身高178 cm，她的体重应该在________kg左右．

解析　用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．

答案　69.96

5．下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体；

②回归方程一般都有局限性；

③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；

④回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．

正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．

解析　样本或总体具有线性相关关系时，才可求回归方程，而且由回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此回归方程有一定的局限性．所以①④错．

答案　②③

6．已知每立方米混凝土的水泥用量x(单位：kg)与28天后混凝土的抗压强度y(单位：N/m2)之间具有线性相关关系．有如下数据：

求两变量间的回归方程．

解　列表：

＝＝≈0.304，

＝－ ＝72.6－0.304×205＝10.28，

于是所求的回归方程是＝0.304x＋10.28.

综合提高　限时25分钟

7．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归直线方程为＝50＋80x，下列判断正确的是                                                           (　　)．

A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元

B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元

C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元

D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元

解析　回归直线斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．

答案　B

8．为了考察两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人得到的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别都是s、t，那么下列说法正确的是  (　　)．

A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)

B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)

C．必有直线l1∥l2

D．l1和l2必定重合

解析　回归直线一定经过样本中心点(，)，即(s，t)点．

答案　A

9．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且回归直线方程＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．

解析　设该地区人均工资收入为，

则＝0.7＋2.1，

当＝10.5时，＝＝12.

×100%＝87.5%.

答案　87.5%

10．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．

解析　令两人的总成绩分别为x1，x2.

则对应的数学成绩估计为

1＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2，

所以|1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.

答案　20

11．一个工厂在某年里每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有一组数据如下表所示：

(1)画出散点图；

(2)求月总成本y与月产量x之间的回归方程．

解　(1)以x轴表示月产量，以y轴表示月总成本，可画出散点图如下图所示．

(2)由散点图，可知y与x呈线性相关关系．所以设回归方程为＝ x＋.

代入公式计算，得＝1.216，＝0.973.

所以＝1.216x＋0.973.

12．(创新拓展)20世纪初的一项关于16艘轮船的研究显示，轮船的吨位从192～3 246吨，船员的数目从5～32人，对船员人数关于轮船的吨位数的回归分析得：船员人数＝9.5＋0.006 2×轮船吨位．

(1)假设两轮船吨位相差1 000吨，船员人数平均相差多少？

(2)对于最小的轮船估计的船员人数是多少？对于最大的轮船估计的船员人数是多少？

解　(1)由＝9.5＋0.006 2x可知，当x1与x2相差1 000吨时，船员平均人数相差1－2＝(9.5＋0.006 2x1)－(9.5＋0.006 2x2)＝0.006 2×1 000≈6(人)．

(2)当取最小吨位192时，预计船员人数为

＝9.5＋0.006 2×192≈10(人)．

当取最大吨位3 246时，预计船员人数为

＝9.5＋0.006 2×3 246≈29(人)．