专题01 集合与常用逻辑用语多选题(解析版)

专题01     集合与常用逻辑用语

1．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据集合中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.

【详解】

对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误.

对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确.

对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.

对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.

故选：BC

【点睛】

本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.

2．设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

将分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明.

【详解】

∵，∴.

∵，∴.

∵，∴.

若，则存在使得，

则和的奇偶性相同.

若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；

若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.

3．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的 充 分不 必 要条件

B．命题“若,则”的 否 定 是“ 存 在,则”.

C．设,则“且”是“”的必要而不充分条件

D．设,则“”是“”的必要 不 充 分 条件

【答案】ABD

【解析】

【分析】

选项A:先判断由,能不能推出,再判断由,能不能推出,最后判断本选项是否正确；

选项B: 根据命题的否定的定义进行判断即可.

选项C:先判断由且能不能推出,然后再判断由能不能推出且,最后判断本选项是否正确；

选项D:先判断由能不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.

【详解】

选项A:根据反比例函数的性质可知：由,能推出,但是由,不能推出,例如当时,符合,但是不符合,所以本选项是正确的；

选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若,则”的 否 定 是“ 存 在,则”.所以本选项是正确的；

选项C:根据不等式的性质可知：由且能推出,本选项是不正确的；

选项D: 因为可以等于零,所以由不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.

故选：ABD

【点睛】

本题考查了充分性和必要性的判断,考查了命题的否定,属于基础题.

4．已知两条直线，及三个平面，，，则的充分条件是（    ）．

A．， B．，，

C．， D．，，

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据面面垂直的判定定理，即可得作出判断.

【详解】

由面面垂直定理可以判断正确，

对于选项，，，，也可以得到，故错.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是面面垂直的判定定理、充分条件的判断，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题.

5．下列命题中，是真命题的是（    ）

A．已知非零向量，若则

B．若则

C．在中，“”是“”的充要条件

D．若定义在R上的函数是奇函数，则也是奇函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】

对A，对等式两边平方；对B，全称命题的否定是特称命题；对C，两边平方可推得或；对D，由奇函数的定义可得也为奇函数.

【详解】

对A，，所以，故A正确；

对B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B正确；

对C，，

所以或，显然不是充要条件，故C错误；

对D，设函数，其定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数，故D正确；

故选：ABD.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C选项中得到的是的两种情况.

6．已知集合 A = {x | ax2},B ={2,} , 若 B ⊆ A，则实数 a 的值可能是（    ）

A．−1 B．1 C．−2 D．2

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由得到2,满足,列出不等式组即可求得的取值范围.

【详解】

因为B ⊆ A,所以,

,解得.

故选:ABC

【点睛】

本题考查子集的概念,属于基础题.

7．下列命题正确的有（    ）

A．命题：“，使得”，则：“，”.

B．已知集合,那么集合=.

C．函数的定义域为，则k<0或k>4.

D．1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数为3，90%分位数为9.5.

【答案】AD

【解析】

【分析】

分别对A，B，C，D四个选项进行判断，找出正确的选项.

【详解】

A. 命题：“，使得”， ，将存在

换成任意，再将结论否定，得：“，”，正确

B. 已知集合，那么

集合，应写成集合的形式，, B项错误.

C. 函数的定义域为，则恒大于0，

当，则有，恒成立，当，不等式不恒成立,

当，则，∴，C项错误.

D. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，一共十个数字，，

故25%分位数为3，90%分位数为9.5.正确.

故选：AD.

【点睛】

考查命题的否定，集合的形式，对数函数的定义域，以及求分位数的问题.属中档题.分位数补充：一般地，一组数据的第百分数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据大于等于这个值.可以通过以下步骤计算一组n个数的第百分位数：第一步，按从小到大排列原始数据.第二步，计算.第三步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据，若不是整数，则第百分位数为第与第项数据的平均值.

8．下列选项正确的为（    ）

A．已知直线：，：，则的充分不必要条件是

B．命题“若数列为等比数列，则数列为等比数列”是假命题

C．棱长为正方体中，平面与平面距离为

D．已知为抛物线上任意一点且，若恒成立，则

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

A．分析“”与“”的互相推出情况，由此确定是否为充分不必要条件；

B．分析特殊情况：时，，由此判断命题真假；

C．将面面距离转化为点到面的距离，从而可求出面面距离并判断对错；

D．根据线段长度之间的关系列出不等式，从而可求解出的取值范围.

【详解】

A．当时，，，显然；

当时，，解得，

所以的充分不必要条件是正确；

B．当时，，所以此时为等比数列，

但不是等比数列，所以命题是假命题，故正确；

C．如图所示：

由图可知：，所以平面平面，

所以平面与平面距离即为到平面的距离，记为，

由等体积可知：，所以，故正确；

D．设，因为，所以，

所以且，所以，

当时显然符合，当时，所以，

综上可知：.故正确.

故选：ABCD.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，难度一般.(1)判断命题是命题的何种条件时，注意从两方面入手：充分性、必要性；(2)立体几何中求解点到平面的距离，采用等体积法较易.

9．下列命题正确的是（    ）

A． B．，使得

C．是的充要条件 D．，则

【答案】AD

【解析】

【分析】

对A．当时，可判断真假，对B.  当时，，可判断真假，对C.  当时，可判断真假，对D可用作差法判断真假.

【详解】

A．当时，不等式成立，所以A正确.
B.  当时，，不等式不成立，所以B不正确.
C.  当时，成立，此时，推不出.所以C不正确.
D.  由，因为，则,所以D正确.
故选：A D.
本题考查命题真假的判断，充要条件的判断，作差法比较大小，属于中档题.

10．下面选项中错误的有（    ）

A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”

B．“”是“”的充分不必要条件

C．命题“，使得”的否定是“，均有”

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据原命题与它的否命题的关系判断；

根据充分与必要条件的定义判断；

根据特称量词命题的否定是全称命题判断；

根据互为逆否命题的两个命题同真假可判断；

【详解】

解：对于，命题“若，则”的否命题为：“若，则”

错误；

对于，由“”是得不到“”，即“”是“”不充分条件，

由 “”可知“”，即“”是“”必要条件，故“”是“”必要不充分条件，错误；

对于，命题“，使得”的否定是“，使得”， 错误；

对于，命题“若，则”为真命题，根据互为逆否命题的两个命题同真假，可知，命题“若，则”的逆否命题为真命题，正确；

故选：

【点睛】

本题考查命题的真假的判断与应用，考查四种命题的逆否关系，命题的否定以及充要条件的判断，是基本知识的综合应用．

11．下列命题正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】

【分析】

利用集合的交、并、补运算法则直接求解．

【详解】

对A，因为，故错误；

对B，因为，故B错误；

对C，，故正确；

对D，，故正确．

故选：CD．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查集合的交、并、补运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

12．不等式成立的充分不必要条件为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】

【分析】

解出不等式，再利用集合间的关系，即可判断出结论．

【详解】

由不等式，解得：或，

A,B选项中的集合是不等式解集的真子集，

不等式成立的充分不必要条件为A,B．

故选：AB．

【点睛】

本题考查不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

13．关于下列命题正确的是（    ）

A．一次函数图象的恒过点是

B．

C．的最大值为9

D．若为假命题，则为真命题

【答案】AC

【解析】

【分析】

由直线恒过定点的求法可判断；由立方和公式可判断；由基本不等式可得所求最大值，可判断；由复合命题的真值表可判断．

【详解】

对A，由，即，可令，即，，可得，故直线恒过定点，故A正确；

对B，由两数的立方和公式可得，，，故B错误；

对C，，可得，，则，当且仅当时取得最大值为9，故C正确；

对D，若为假命题，则为真命题，为假命题，故D错误．

故选：AC．

【点睛】

本题考查命题的真假判断，考查直线恒过定点和基本不等式的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．

14．已知＝{x∈R|x≥2}，a＝π，有下列四个式子：(1)a∈M；(2) {}⊆；(3)⊆；(4) .其中正确的是（    ）

A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)

【答案】AB

【解析】

【分析】

因为集合A中的元素是大于等于2的所有实数，而a＝π，所以元素a在集合M中，根据集合与元素及集合与集合之间的关系逐一判断各选项．

【详解】

由于M＝{x∈R|x≥2}，知构成集合M的元素为大于等于2的所有实数，因为a＝π＞2，

所以元素a∈M，且{a}⫋M，同时{a}∩M＝{π}，所以（1）和（2）正确，

故选：AB．

【点睛】

本题考查了元素与集合、集合与集合之间的关系，解答的关键掌握概念，属基础题．

15．下列叙述中不正确的是（    ）

A．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

B．若，则“”的充要条件是“”

C．“”是“”的充分不必要条件

D．若,则“”的充要条件是“”

【答案】AB

【解析】

【分析】

对A，B，C，D四个选项条件和结论进行推导，判断是否正确.

【详解】

A.令，方程有一个正根和一个

负根，则，则有，∴“”是“方程

有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，错误.

B.当时，若“”成立，而，充分性不成立

,错误.

C.,∴“”是“”的充分不必要条

件，正确

D.可以推出，而也可以推

出，正确.

故选：AB.

【点睛】

考查命题的充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件.运用了二次函数的性质，基本不等式的性质.