专题03 导数多选题 （解析版）

专题03   导函数多选题

1.已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是(     )

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】令，，

则，

因为，

所以在上恒成立，

因此函数在上单调递减，

因此，即，即，故A错；

又，所以，所以在上恒成立，

因为，所以，故B错；

又，所以，即，故C正确；

又，所以，即，故D正确；

故选：CD.

2.【题源】若函数有两个极值点则的值可以为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】AB

【解析】

因为函数有两个极值点

则与轴有两个交点，

即解得

故满足条件的有

故选：

3.【题源】设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是（    ）

A．在单调递增 B．在单调递减

C．在上有极大值 D．在上有极小值

【答案】ABC

【解析】由x2f′（x）+xf（x）＝lnx得x＞0，

则xf′（x）+f（x），

即[xf（x）]′，

设g（x）＝xf（x），

即g′（x）0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，

即在单调递增，在单调递减，

即当x＝1时，函数g（x）＝xf（x）取得极小值g（1）＝f（1），

故选：ABC．

4.【题源】已知函数的定义域为，则（    ）

A．为奇函数

B．在上单调递增

C．恰有4个极大值点

D．有且仅有4个极值点

【答案】 BD

【解析】因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，

，

当时，，则在上单调递增.

显然，令，得，

分别作出，在区间上的图象，

由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点.

故选：BD.

5.【题源】对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在处取得极大值

B．有两个不同的零点

C．

D．若在上恒成立，则

【答案】 ACD

【解析】函数定义域为，,

当时，＞0，单调递增，当时，，单调递减，所以在时取得极大值，A正确；

，当时，，当时，，因此只有一个零点，B错误；

显然，因此，又，，

设，则， 时，，单调递减，而，∴，即，∴，

即，C正确；

令（），则，易知当时，，时，，在时取得极大值也是最大值，

∴在上恒成立，则，D正确．

故选：ACD．

6.【题源】定义在上的函数的导函数为,且对恒成立.下列结论正确的是（    ）

A．

B．若,则

C．

D．若,则

【答案】 CD

【解析】设函数，

则

因为,所以,

故在上单调递减,从而,整理得，

,故A错误,C正确.

当时,若,因为在上单调递减,所以

即,即.故D正确,从而B不正确.

即结论正确的是CD，

故选：CD.

7.【题源】若函数在上有最大值，则a的取值可能为（）

A． B． C． D．

【答案】 ABC

【解析】令，得，，

当时，；当或时，，

则的增区间为，减区间为，

从而在处取得极大值，

由，得，解得或，

又在上有最大值，

所以，即，

故选ABC.

8.【题源】设函数，若有4个零点，则的可能取值有（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】 BCD

【解析】因为函数定义域为，且，所以函数为偶函数，

故函数有4个零点等价于时， 有2个零点，

当时，，

则

当，当

由得，当时，，当时，，

如图：

所以有极小值，要使函数有个零点，只需即可，

即，

解得，

所以可取，故选BCD.

9.【题源】已知函数有两个零点，，且，则下列说法正确的是(    )

A． B．

C． D．有极小值点，且

【答案】 ABD

【解析】由题意，函数，则，

当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；

当时，令，解得，令，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

因为函数有两个零点且，

则，且，

所以，解得，所以A项正确；

又由，

取，则，

所以，所以，所以B正确；

由，则，但不能确定，所以C不正确；

由函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的极小值点为，且，所以D正确；

故选ABD.

10.【题源】如下的四个命题中真命题的标号为（    ）

A．已知实数，，满足，，则

B．若，则的取值范围是

C．如果，，，那么

D．若，则不等式一定成立

【答案】 ABCD

【解析】对A，由，．再由①，②，得：，即．，，，故A正确；

对B，，，，故B正确；

对C，由，则，当时，，在上单调递减，，，，故C正确；

对D，要证不等式成立，等价于证明，，显然成立，故D正确.

故选：ABCD.