2021-2022学年九年级数学上学期期末测试卷（人教版，广州专用）02（含考试版+全解全析+答题卡）

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参考答案
1．B
【分析】
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解析】
解：①，时不是一元二次方程；
②是一元二次方程；
③是分式方程；
④为任意实数）是一元二次方程；
⑤，是根式方程，是无理方程，不是一元二次方程；
综上所述，一元二次方程的个数是2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．B
【分析】
分别求出4个旋转对称图形的最小旋转角，再作出判断．
【解析】
第一个图形的最小旋转角为：360÷2=180°；
第二个旋转对称图形的最小旋转角为：360÷4=90°；
第三个旋转对称图形的最小旋转角为：360÷8=45°；
第四个旋转对称图形的最小旋转角为：360÷4=90°；
则旋转90°后能与自身重合的图案有3个．
故选：B．
【点睛】
本题考查旋转对称图形，求出最小旋转角是解题关键．
3．D
【分析】
根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．
【解析】
解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
设草鱼的条数为x，可得：，
∴x=2400，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴捞到鲢鱼的概率为：，
故选：D．
【点睛】
本题考察了概率、分式方程的知识，解题的关键是熟练掌握概率的定义，通过求解方程，从而得到答案．
4．C
【分析】
若两个二次函数的二次项系数的绝对值相等，则两条抛物线的形状完全相同，据此可完成解答．
【解析】
抛物线与的形状完全相同，则a=2或-2
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，关键是掌握二次函数的二次项系数决定抛物线的大小与形状，即a相同或互为相反数，则两条抛物线的形状完全相同．
5．B
【分析】
如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x﹣1）本，有x名学生，那么总互共送x（x﹣1）本，根据全组共互赠了132本图书即可得出方程．
【解析】
解：设全组共有名同学，那么每名同学送出的图书是本；
则总共送出的图书为；
又知实际互赠了132本图书，
则．
故选：B．
【点睛】
考查的是列一元二次方程，本题要读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x﹣1）本是解决本题的关键．
6．A
【分析】
根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【解析】
在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确，
∵，AO=DO=BO=CO
∴（SSS）
可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确；
而由题意不能推出，故A项结论错误．
故选：A
【点睛】
此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．
7．C
【分析】
直接利用y=ax2（a≠0）图象的性质分别分析得出答案．
【解析】
A 由函数的解析式y＝2x2，可知抛物线顶点坐标在原点，开口方向向上，故当x=0时y有最小值0，故A错误；
B 由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故B错误；
C 根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的绝对值越大，函数图象开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，故C正确；
D 不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2 (a≠0)的顶点都是坐标原点，故D错误
故选：C
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确y=ax2（a≠0）的图像的特点．
8．D
【分析】
根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】
解：、，
它的图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
、时，，
点在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
、，
当时，随的增大而增大，故本选项正确，不符合题意；
、，
在每一个象限内，随的增大而增大，
当，则，故本选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，随的增大而增大．
9．A
【解析】
解：当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，故A正确；
抛物线的顶点是最高点或最低点，故B正确；
二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同，故C正确；
抛物线与x轴交点的横坐标是对应的一元一次方程的解，故D正确.
故选：A
10．B
【分析】
根据圆内接正三角形和旋转的性质得到，，则，于是可得到；在△中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，，再利用“”可证明△△，则，所以；根据对顶角相等可得到；在△中利用勾股定理可得到，而，则，把代入得到．
【解析】
解：连接，，，，如图，
是正角三角形，按逆时针方向旋转后得到△，
△为等边三角形，
，
而点为△的内心，
，
又，，
△是等腰直角三角形，
，
，
，所以①正确；
，
而，
，
，，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，所以②错误；
，所以③正确；
在△中，，
，
，
而，
，
，所以④错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和圆内接正三角形的性质；会运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行几何运算．
11．
【分析】
先解一元二次方程，再分析三角形的第三边的取值范围，可得第三边为6，从而可得答案.
【解析】
解： x2﹣9x+18＝0，

或
解得：
三角形两边的长是3和7，设第三边长为
则
所以三角形的第三边为：
所以三角形的周长为：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，三角形的三边的关系，掌握“一元二次方程的解法与利用三角形三边的关系确定三角形的第三边”是解题的关键.
12．
【分析】
根据“左加右减，上加下减”的平移规律写出平移抛物线解析式．
【解析】
将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣2）2+2﹣3，即y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式．
13．
【分析】
由二次项系数为1的抛物线判断出抛物线的开口向上，开口大小一定，进而判断出ab＞0，再根据完全平方公式判断出a＝b，且抛物线与x轴只有一个交点时，是ab的最大值的分界点，进而求出m＝n＝，进而求出a＝b＝，即可得出结论．
【解析】
∵函数是一个二次项系数为1的二次函数，
∴此函数的开口向上，开口大小一定，
∵抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∵（a−b）2＝a2＋b2−2ab≥0（a＝b时取等号），
即a2＋b2≥2ab（当a＝b时取等号），
∴当a＝b时，ab才有可能最大，
∵二次函数过A（0，b），B（3，a）两点，
∴当a＝b时，点A，B关于抛物线的对称轴对称，即抛物线的对称轴为直线x＝，
∵抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，
∴抛物线的顶点越接近x轴，ab的值越大，
即当抛物线与x轴只有一个交点时，是ab最大值的分界点，
当抛物线与x轴只有一个交点时，此时m＝n＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x−）2＝x2−3x＋，
∴a＝b＝，
∴ab＜（）2＝，
∴0＜ab＜，
故答案为：0＜ab＜．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，完全平方的非负性，判断出a＝b以及抛物线与x轴只有一个交点时，ab最大这个分界点是解本题的关键．
14．
【分析】
利用画树状图或列表法求概率的方法求解即可．
【解析】
解：设三辆校车分别为1、2、3，列表如下：
由表可知，一共有9种等可能的结果，其中小明和小慧同车的有3种，
∴小明和小慧同车的概率为=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查画树状图或列表法求概率，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法步骤是解答的关键．
15．
【分析】
作于点G．根据正方形的性质和题意，可知，即求出即可求出阴影部分面积．由扇形面积公式即可求出．根据题意易判断为等腰直角三角形，即易求出GE的长，再由三角形面积公式求出，最后由即可求出最后结果．
【解析】
根据题意结合正方形的性质可知：，，．
如图作于点G．
∵正方形对角线，
∴．
根据作图可知为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
．
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识．正确的作出辅助线是解答本题的关键．
16．
【分析】
通过抛物线的解析式可得对称轴为，过点，对分情况讨论或，分别求解即可．
【解析】
解：由可得，过点，
当时，开口向下，如下图：
此时整点有等等，显然超过9个，不符合题意；
当时，开口向上，如下图：
要保证封闭区域内（包括边界）共有个整点，需要满足
，，此时整数点为，，
即，解得
故答案为
【点睛】
此题考查了二次函数的新定义问题，涉及了二次函数的性质与一元一次不等式组的求解，解题的关键是理解题意，并列出不等式组．
17．（1）x1=5，x2=﹣1；（2）x1=3+，x2=3-；（3），；（4）x1=，x2=．
【分析】
（1）利用直接开平方法得出x﹣2=±3，然后解一元一次方程即可；
（2）利用配方法得出x2﹣6x+9=9+9，然后化为直接开平方法求解即可；
（3）利用公式解法得出，计算＞0，然后代入公式计算即可；
（4）利用因式分解法得出（2x+3）（2x+3-4）=0，然后转化为2x+3=0或2x﹣1=0，再解一元一次方程即可．
【解析】
解：（1）（x﹣2）2＝9，
解：两边开方得：x﹣2=±3，
解得：x1=5，x2=﹣1；
（2）x2﹣6x﹣9＝0，
解：移项得：x2﹣6x=9，
配方得：x2﹣6x+9=9+9，即（x﹣3）2=18，
开方得：x﹣3=±，
∴原方程的解是：x1=3+，x2=3-；
（3）2x2+3x﹣1＝0，
解：，＞0
代入公式得
∴，；
（4）（2x+3）2＝4（2x+3），
解：（2x+3）（2x+3-4）=0，
（2x+3）（2x-1）=0，
∴2x+3=0或2x﹣1=0，
∴x1=，x2=．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）m=-2
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）利用根与系数的关系求得x1+x2=m+2，x1x2=2m，代入x1+x2-x1x2=4，解方程即可求解．
【解析】
（1）证明：∵Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x1+x2=m+2，x1x2=2m，
∵x1+x2-x1x2=4，
∴m+2-2m=4．
解得m=-2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1•x2=．也考查了根的判别式．
19．（1），；（2）或；（3）4
【分析】
（1）利用待定系数法求函数的解析式；
（2）根据图象得出不等式的解集；
（3）以OD为底边，高为A、B两点的纵坐标的绝对值，代入面积公式计算即可．
【解析】
解：（1）∵一次函数与反比例函数的图象交于，
∴
∴，
∴反比例函数的表达式为
把，代入得
，
∴ ，
∴一次函数的表达式为为
（2）根据图象得，不等式的解集为或；
（3）如图，
设一次函数交x轴于D，则，
∴
∴
=

=4
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式及三角形面积的求法．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解坐标与图形特点．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）先得到点A、B、C绕原点旋转180°的对应点、、，然后顺次连接、、即可；
（2）先得到点B、C绕A点旋转90°的对应点、，然后顺次连接、、即可；
（3）先求出的坐标为（3，-2），设直线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可．
【解析】
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）∵是A（-3，2）绕原点旋转180°得到的，
∴的坐标为（3，-2），
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
【点睛】
本题主要考查了画旋转图形，绕原点旋转180度的点的坐标特征，求一次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握画旋转图形的方法．
21．（1）；（2）这个游戏不公平，见解析
【分析】
（1）直接利用概率公式求出答案；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸取的小球标号和为偶数与奇数的情况数，即可求出所求的概率．
【解析】
解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：．
（2）这个游戏不公平．
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况
∴P（甲胜）=，P（乙胜）=，
∴P（甲胜）≠P（乙胜），故这个游戏不公平．
【点睛】
本题考查了游戏公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，正确列出所有可能是解题的关键．
22．（1）；（2）；（3）当售价定为元时，商场每天获得利润最大，为元
【分析】
（1）求得涨价金额，确定销售量减少的量，即可求解；
（2）售价为x（元），求得涨价金额，确定销售量减少的量，即可求解；
（3）设利润为元，求得利润与售价x之间的关系，再根据二次函数的性质求解即可．
【解析】
解：（1）商品售价为每个15元时，售价上涨3元，销售量减少个，
此时销售量为个
故答案为
（2）售价为x（元），售价上涨为元，销售量减少个
此时销售量
故答案为
（3）设利润为元，则
化简得
∵
∴，利润最大，为元
答，当售价定为元时，商场每天获得利润最大，为元
【点睛】
此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到等量关系，正确列出函数解析式．
23．（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）2或-4；（3）存在，点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）
【分析】
（1）直线y＝x+3中，分别令x＝0和y＝0可得点A和B的坐标，将点A和B的坐标分别代入抛物线的解析式中列方程组，解出即可；
（2）由图象可知，当抛物线经过点B或点A时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点，求得平移后的解析式，代入A、B的坐标，即可求得m的值；
（3）先计算△ABP的面积，根据S△ABQ＝2S△ABP，可得△ABQ的面积，分两种情况：点Q在对称轴的左侧和右侧，根据面积公式列方程可得结论．
【解析】
解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
当y＝0时，x+3＝0，
∴x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
把A（﹣3，0）和B（0，3）代入二次函数y＝﹣x2+bx+c中得：
，解得：，
∴这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
将抛物线向右平移m个单位，P对应点为（﹣1+m，4），
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+1﹣m）2+4，
把B（0，3）代入得，3＝﹣（1﹣m）2+4，
解得m1＝2，m2＝0（舍去），
把A（﹣3，0）代入得0＝﹣（﹣2﹣m）2+4，
解得m3＝﹣4，m4＝0（舍去），
故m的值为2或﹣4；
（3）∵S△ABP＝S△APD+S梯形PDOB﹣S△AOB＝+×（3+4）×1﹣＝3，
∴S△ABQ＝2S△ABP＝6，
设点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），
分两种情况：
①如图1，当Q在对称轴的左侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QEy轴交直线AB于E，
∴S△ABQ＝（a+3+a2+2a﹣3）（﹣a+3+a）＝6，
解得：a1＝﹣4，a2＝1（舍），
∴Q（﹣4，﹣5）；
②如图2，当Q在对称的右侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QEy轴交直线AB于E，
同理可得a＝1，
∴Q（1，0），
综上，点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与几何变换，第二问明确当抛物线只经过点B或点A时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点是解题的关键．
24．（1）120°；（2）；（3）≤OE≤
【分析】
(1)利用圆内接四边形对角互补构建方程解决问题即可．
(2)将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；
(3)由题知 AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2＝2﹣（AC2+BD2），设AC＝m，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解析】
解：(1)如图1中，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A：∠C＝1：2，
∴设∠A＝x，∠C＝2x，则x+2x＝180°，
解得，x＝60°，
∴∠C＝2x＝120°．
(2)如图2中，
∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∵点C为弧BD的中点，
∴BC＝CD，∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝30°，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，如图2所示：
则∠E＝∠CAD＝∠CAB＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，
∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣∠CAB﹣∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝360°﹣（∠CAB+∠ACB+∠ABC）＝360°﹣180°＝180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC＝CE，
∴AM＝EM＝AE＝（AB+AD）＝×（3+5）＝4，
在Rt△AMC中，AC＝．
(3) 过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，
∵OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2，ON2＝OD2﹣DN2，AM＝AC，DN＝BD，AC⊥BD，
∴四边形OMEN是矩形，
∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2，
∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣（AC2+BD2）
设AC＝m，则BD＝3﹣m，
∵⊙O的半径为1，AC+BD＝3，
∴1≤m≤2，
OE2＝2﹣ [（AC+BD）2﹣2AC×BD]＝﹣m2+m﹣＝﹣（m﹣）2+，
∴≤OE2≤，
∴≤OE≤．
【点睛】
本题主要考查的是圆和四边形的综合应用，掌握圆和四边形的基本性质结合题目条件分析题目隐藏条件是解题的关键.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
D
C
B
A
C
D
A
B