2021-2022学年九年级数学上学期期末测试卷（北师大版，广东专用）01（含考试版+全解全析+答题卡）

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2021–2022学年上学期期末测试卷01（北师大版，广东专用）
九年级数学·全解全析
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（2021·山西实验中学九年级期中）下列点在反比例数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
反比例上的点坐标符合解析式，即，分别把点A、B、C、D坐标代入解析式中即可解题．
【详解】
解：反比例上的点坐标符合解析式，即，，
仅A符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级期中）将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．3，5 B．3，﹣5 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣5
【答案】B
【分析】
将一元二次方程转化为一般形式，然后求解．
【详解】
解：将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式为
则二次项系数为，一次项系数为
故选B
【点睛】
本题考查的知识点是二元一次方程的一般形式，解题关键是熟记其一般形式为．
3．（2021·辽宁本溪·九年级期中）如图所示的几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】
从上面看得到的图形是
故选D
【点睛】
本题考查了三视图的知识，掌握从上边看得到的图形是俯视图是关键．
4．（2021·山东省青岛第二十六中学九年级期中）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．任意写一个正整数，它能被5整除的概率
D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
【答案】B
【分析】
根据统计图可得，实验结果在0.33附近波动，故概率，计算四个选项的概率即可得出答案．
【详解】
A. 抛一枚硬币两次，出现得结果有（正，正），（正，反），（反，正）和（反，反）四种，所以连续两次出现正面的概率，故A排除；
B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故B正确；
C. 任意写一个正整数，它能被5整除的概率为，故C排除；
D. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故D排除．
故选：B
【点睛】
本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率，在解答过程中掌握概率公式是解决本题的关键．
5．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（　　）

A．4 B．6 C．7 D．12
【答案】B
【分析】
根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】
解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB：BC＝2：3，EF＝9，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，理解基本定理，准确找到对应线段是解题关键．
6．（2021·辽宁大东·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．36 B．24 C．12 D．6
【答案】B
【分析】
证明△ABC是等边三角形，再求出AB=AC=2AO，故可求解．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，AC=2AO=6
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=6
∴菱形ABCD的周长为4AB=24
故选B．
【点睛】
此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知等边三角形的判定与性质、菱形的特点．
7．（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）一个不透明的袋子中有1个红球，1个绿球和个白球， 这些球除颜外都相同． 从袋中随机摸出一个球， 记录其颜色， 然后放回． 大量重复该实验， 发现摸到绿球的频率稳定于， 则白球的个数的值可能是 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
由大量重复实验，摸到绿球的频率估计摸到绿球的概率，根据概率公式列式计算即可求得n的数值．
【详解】
解:∵大量重复实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，
∴

∴
故选：B
【点睛】
本题考查频率估计概率，准确计算是解题的关键．
8．（2021·河南·郑州中原一中实验学校九年级月考）已知m，n是方程x2＋x－2021＝0的两个不等实数根，则m2＋2m＋n的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到m2＋m＝2021，则m2＋2m＋n＝2021＋m＋n，再利用根与系数的关系得到m＋n＝−1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
∵m是一元二次方程x2＋x−2021＝0的实数根，
∴m2＋m−2021＝0，
∴m2＋m＝2021，
∴m2＋2m＋n＝m2＋m＋m＋n＝2021＋m＋n，
∵m，n是一元二次方程x2＋x−2021＝0的两个实数根，
∴m＋n＝−1，
∴m2＋2m＋n＝2021−1＝2020．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝，也考查了一元二次方程的解．
9．（2021·辽宁·沈阳市光明中学九年级期中）如图，点A是反比例函教的图象上一点，过点M作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数的图象于点C，则△OAC的面积为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
根据反比例函数k的几何意义和△OAC的面积为△OAB的面积减去△OBC的面积即可解决问题．
【详解】
解：∵AB⊥x轴，点A是反比例函数y＝的图象上一点，点B是反比例函数y＝的图象上一点，
∴S△AOB＝＝3，S△BOC＝＝1，
∴S△AOC＝S△AOB－S△BOC＝3－1＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活应用k的几何意义．
10．（2021·辽宁苏家屯·八年级期中）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE沿AE折叠后点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为（ ）


A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
设CE的长为x，由折叠可得AF＝10cm，EF＝DE＝8﹣x；由勾股定理求出BF，再根据勾股定理列出方程求出x的值即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，
由折叠可得，∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，
设CE＝xcm，则DE＝EF＝CD﹣CE＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，（负值舍去）
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），
在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，
即（8﹣x）2＝x2+42，
∴64﹣16x+x2＝x2+16，
∴x＝3（cm），
即CE＝3cm．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，设未知数列出方程．



第Ⅱ卷
二、填空题（每小题4分，共28分）

11．（2021·福建省惠安第一中学九年级期中）已知，则=_______．
【答案】5
【分析】
根据比例设a=3k，b=2k，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴设a=3k，b=2k，
则，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
12．（2021·辽宁·沈阳实验中学九年级期中）如果反比例函数y＝的图象位于第二、四象限内，那么k的取值范围为　 ______．
【答案】
【分析】
由题意可得，求解即可．
【详解】
解：反比例函数y＝的图象位于第二、四象限
∴，即
故答案为
【点睛】
此题考查了反比例函数图像与系数的关系，解题的关键是掌握反比例函数的有关性质．
13．（2021·山西省灵石县教育局教学研究室九年级期中）如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，如果设道路的宽为x m，则根据题意可列出方程____________________________．

【答案】（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12
【分析】
利用平移可把草坪把为一个长为(20-x)m，宽为(12-x)m的矩形，从而根据题中的等量关系：草坪面积=整个矩形面积×，即可得出方程．
【详解】
如图，把水平方向的道路向上平移，竖直方向的道路向右平移，得到如图所示的图形，则
草坪变为一个的长为(20-x)m，宽为(12-x)m的矩形
由题意得：（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12
故答案为：（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12

【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．
14．（2021·北京·二模）如图，小亮从一盏9米高的路灯下处向前走了米到达点处时，发现自己在地面上的影子CE是米，则小亮的身高DC为____________米．

【答案】1.8
【分析】
同一时刻下物体高度的比等于影长的比，构造相似三角形计算即可．
【详解】
如图，由题意知米，米，米，且，

∴米，
∵，
∴
又∵
∴，
∴，即，
解得（米），即小亮的身高为1.8米；
故答案为：1.8.
【点睛】
本题考查平行投影的相关知识点，能够根据题意构造相似是解题关键点．
15．（2021·四川成都·九年级期中）从、、、四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为_________．
【答案】
【分析】
利用一元二次方程的判别式可得，再根据此事件是抽取不放回，然后根据树状图求出所有等可能的结果数及使的情况数，利用概率公式可求解．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程有实数解，
∴，即，
∴，
画树状图得：

由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中使的有6种结果，
∴关于的一元二次方程有实数解的概率为．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的判别式及应用，树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式和树状图法求概率．
16．（2021·青岛广雅中学（山东省青岛实验初级中学市北分校）九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE=1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为________

【答案】6
【分析】
连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可．
【详解】
解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF＝DF，
∴△BFE的周长＝BF＋EF＋BE＝DE＋BE，此时△BEF的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点E在AB上且BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE＝＝5，
∴△BFE的周长＝5＋1＝6，
故答案为：6．
【点睛】
此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接DE交AC于点F时△BFE的周长有最小值，这是解题的关键．
17．（2021·河南·郑州中原一中实验学校九年级月考）如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．

【答案】或2
【分析】
设经过t秒时，与相似，则,,,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．
【详解】
解：设经过t秒时，与相似，
则,,,
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上所述：经过或秒时，与相似，
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．


三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（2021·贵州石阡·九年级期中）解方程
（1）x2﹣6x＋1＝0； （2）x（2﹣3x）＋（3x﹣2）＝0
【答案】（1）x1＝1+2，x2＝1﹣2；（2）x1＝，x2＝1
【分析】
（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（1），
，
则，即，
，
，；
（3），
，
则，
或，
解得，．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
19．（2021·浙江·杭州市惠兴中学九年级期中）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．
（1）请用列表法或画树状图法，求两位老师所有可能出现的支付方式；
（2）求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率．
【答案】（1）见解析，（2）
【分析】
（1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表可得所有结果；
（2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】
（1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，
列表如下：

A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，
∴马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的概率为．
【点睛】
此题考查的是列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（2021·四川·成都实外七年级期中）如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图．
（1）这个几何体的名称是________．
（2）若从正面看到的长方形的宽为4cm，长为9cm，从左面看到的宽为3cm，从上面看到的直角三角形的斜边为5cm，这个几何体中所有棱长的和是多少？它的侧面积是多少？

【答案】（1）直三棱柱；（2）所有棱长的和是51cm，它的侧面积为108cm2
【分析】
（1）直接利用三视图可得出几何体的形状；
（2）利用已知各棱长分别得出棱长和与侧面积．
【详解】
（1）这个几何体是直三棱柱；
故答案为：直三棱柱
（2）由题意可得：
它的所有棱长之和为：
（3+4+5）×2+9×3=51（cm）；
它的侧面积为：
（3+4+5）×9=108(cm2)
答：所有棱长的和是51cm，它的侧面积为108cm2．
【点睛】
此题主要考查了由三视图判断几何体的形状，正确得出物体的形状是解题关键．


四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（2021·辽宁大东·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CFBD交OE的延长线于点F，连接DF．

（1）求证：四边形OCFD是矩形；
（2）若DF＝2，CF＝3，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析（2）12
【分析】
（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE＝∠FCE，根据线段中点的定义可得CE＝DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD＝FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直得出∠COD＝90°，即可得出结论
（2）根据矩形与菱形的性质求出AC、BD，根据菱形的面积公式即可求解．
【详解】
证明：（1）∵CFBD，
∴∠ODE＝∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中，，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
∴OD＝FC，
∵CFBD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCFD是矩形．
（2）∵四边形OCFD是矩形，DF＝2，CF＝3，
∴OC=DF=2，OD=CF=3
∵四边形ABCD是菱形
∴AC=2OC=4，BD=2OD=6
∴菱形ABCD的面积为．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（2021·河南·淅川县基础教育教学研究室九年级期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF（点A，B，C分别对应点D，E，F），且△ABC与△DEF的相似比为2：1
（1）画出△DEF；
（2）线段AC上一点（x，y）经过变换后对应的点的坐标为________；
（3）求△DEF的周长．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）直接利用位似图形的性质得出答案；
（2）利用（1）中所画图形得出答案；
（3）根据勾股定理解答即可.
【详解】
解：(1)△DEF如图所示．

(2)由（1）得：（x，y）经过变换后对应的点的坐标为：（x，y）
(3)由题意得：DE=1，EF=，DF=，
∴△DEF的周长是DE＋EF＋DF＝1＋＋.
【点睛】
本题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键．
23．（2021·广西覃塘·九年级期中）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，D是AB边的中点，反比例函数y（x＞0）的图象经过点D，与BC边交于点E．
（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（2）若点P在y轴上，当△PDE的周长最小时，求出此时点P的坐标．

【答案】（1），点E的坐标为(2，2)；（2）(0，)
【分析】
（1）根据矩形的性质先求得的坐标，进而待定系数法求反比例函数的解析式，再求得点的坐标；
（2）作点E关于y轴的对称点F，连接DF交y轴于点P，连接PE，则此时△PDE的周长最小，根据对称性求得点F的坐标，设直线DF的表达式为y=mx+b， 待定系数法求一次函数的解析式，令，进而求得点的坐标．
【详解】
解：（1）∵在矩形OABC中，AB=2，BC=4，D是AB边的中点，
∴AD=1,OA=4,则点D的坐标为（1，4），
∵反比例函数的图象经过点D（1，4），
∴,
∴反比例函数的表达式为.
∵OC=AB=2, ∴点E的横坐标为2，
当x=2时，，
∴点E的坐标为(2，2).
(2)如图，作点E关于y轴的对称点F，连接DF交y轴于点P，连接PE，

△PDE的周长,
则此时△PDE的周长最小.
∵点E的坐标为(2，2)，
∴点F的坐标为(-2，2)，
设直线DF的表达式为y=mx+b，
则，
解得，
∴设直线DF的表达式为，
令，得，则点P的坐标为(0，)
【点睛】
本题考查了矩形的性质，反比例函数与一次函数综合，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，关于坐标轴对称的点的坐标特点，根据对称性求最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．


五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（2021·山西太原·九年级期中）今年是中国共产党建党100周年，中华人民共和国成立72周年！在国庆前夕，社区便民超市调查了某种水果的销售情况获得如下信息：
信息一：进价是每千克12元；
信息二：当销售价为每千克27元时，每天可售出120千克；
若每千克售价每降低2元，则每天的销售量将增加80千克．根据以上信息解答问题：该超市每天想要获得3080元的销售利润，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售单价应为多少元．

【答案】这种水果的销售单价为19元
【分析】
设这种水果的销售单价为x元，则有销售量为千克，然后根据利润=销售量×单个利润即可求解．
【详解】
解：设这种水果的销售单价为x元，由题意得：
，
解得：，
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：这种水果的销售单价为19元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
25．（2021·山西省灵石县教育局教学研究室九年级期中）综合与实践
如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC 上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．

（证明与推断）
（1）①四边形CEGF的形状是______________；
②的值为_______________；
（探究与证明）
（2）在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°<α<45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（拓展与运用）
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF 在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，探究AG和GE的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）①正方形； ②；（2）AG=BE，理由见解析；（3）AG⊥GE，理由见解析
【分析】
（1）①由两个垂直及正方形的性质可得四边形CEGF是矩形，根据对角线的性质可得CE=GE，从而可得四边形CEGF是正方形；
②根据平行线分线段成比例定理可得，再由四边形CEGF是正方形即可求得比值；
（2）AG=BE；连接CG，及折叠的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质可证得
△ACG∽△BCE，从而相似三角形的性质即可得AG与BE之间的数量关系；
（3）AG与GE的位置关系是垂直；由点B、E、F三点共线及△ACG∽△BCE，可得∠AGC= ∠BEC=135°，从而可得点A，G，F三点共线，进而易得AG与GE垂直．
【详解】
解：（1）①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=∠B=90°,∠BCA=45°．
∵GE⊥BC，GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,
∴四边形CEGF是矩形．
∵∠CGE=∠BCA=45°，
∴CE=GE，
∴四边形CEGF是正方形．
故答案为：正方形
②∵∠B=∠CEG=90°，
∴GE∥AB，
∴．
∵四边形CEGF是正方形，
∴CE=GE，
∴由勾股定理得：．
∴．
故答案为：
（2）AG=BE，理由如下：
如图所示，连接CG． 由旋转可得∠BCE=∠AGG=，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴，
由①得四边形GECF是正方形，
∴∠GEC=∠ECF=90°，GE=EC，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴△ACG∽△BCE，
∴．
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE．

（3）AG⊥GE，
理由如下∶如图所示，连接CG，
∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°．
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC= ∠BEC=135°．
∴∠AGF=∠AGC+∠CGF=135°+45°=180°，
∴点A，G，F三点共线，
∴∠AGE=∠AGF-∠EGF=180°-90°=90°，
∴AG⊥GE．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，旋转的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，掌握这些知识是解题的关键．