期末复习【真题训练】-2020-2021学年新教材高一数学（必修一）单元复习一遍过（沪教版2020）

期末复习【真题训练】

(考试时间：120分钟  试卷满分：150分)

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．（2019·上海市建平中学高一期末）已知集合，，则_______，

【答案】

【分析】根据集合中的条件，求出对应的元素即可

【详解】因为，当时，；当时，；当时，

故集合

答案为：

【点睛】本题考查根据限定条件求出集合中对应元素，考点较为基础，能读懂题是关键

2．（2020·上海市七宝中学高二期末）不等式对任意恒成立的充要条件是__________．

【答案】

【分析】先根据一元二次不等式恒成立得，再根据充要条件概念即可得答案.

【详解】解：当时，显然满足条件，

当时，由一元二次不等式恒成立得：，解得：

综上，，

所以不等式对任意恒成立的充要条件是，

故答案为：

【点睛】本题考查充要条件的求解，一元二次不等式恒成立问题，是基础题.

3．（2020·上海市七宝中学高二期末）已知集合，，则中元素的个数是__________．

【答案】2

【分析】集合A、B均是点集，中元素的个数即为单位圆与直线交点的个数.

【详解】集合A、B均是点集，中元素的个数即为单位圆 与直线 交点的个数，而直线经过圆的圆心，故有两个交点，即中元素个数是2个.

答案是2个.

【点睛】本题考查了集合的运算以及点集合的特点，属于简单题，解题中需要将点集的特点合理应用，结合解析几何知识，确定出两个集合交集中元素个数.

4．（2020·上海浦东新·华师大二附中高二期末）集合的真子集的个数是______；

【答案】7

【分析】对进行分类，求出集合，再根据集合元素个数和真子集的个数关系，即可求出结果.

【详解】当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

所以集合，集合的真子集的个数为.

故答案为：7.

【点睛】本题主要考查了集合的真子集个数，属于基础题.

5．（2020·上海市进才中学高二期末）已知集合，且，则实数的值为________．

【答案】或0

【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性,即可得到答案.

【详解】若则或

当时，，符合元素的互异性；

当时，，不符合元素的互异性，舍去

若则或

当时，，符合元素的互异性；

当时，，不符合元素的互异性，舍去；

故答案为：或0.

【点睛】本题考查元素与集合的关系，集合元素的互异性是关键点，属基础题.

6．（2020·上海普陀·曹杨二中高一期末）对于任意非空集合、，定义，若，则________（用列举法表示）

【答案】

【分析】根据集合的新定义，分别求出两个集合中各取一个元素求和的所有可能情况.

【详解】由题：对于任意非空集合、，定义，

若，各取一个元素形成有序数对，

所有可能情况为，所有情况两个数之和构成的集合为：

故答案为：

【点睛】此题考查集合的新定义问题，关键在于读懂定义，根据定义找出新集合中的元素即可得解.

7．（2020·广东湛江·高二期末）不等式的解集是______．

【答案】或

【分析】利用移项通分，转化为整式不等式组，即得答案．

【详解】，，．

．

或，

或．

不等式的解集是或．

故答案为或．

【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于简单题.

8．（2019·上海市建平中学高一期末）设，，是三个正实数，且，则的最大值为______.

【答案】3

【分析】

由得到，代入转化为，令，，得到，利用基本不等式求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

令，所以

，

当且仅当，即时，取等号，

所以

所以的最大值为3

故答案为：3

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.

9．（2020·上海市控江中学高一期末）设，满足，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】令，将用表示，转化为求关于函数的最值.

【详解】

，令，

则

，

，

当且仅当时等号成立.

故答案为:.

【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.

10．（2016·上海徐汇·高一期末）已知幂函数的图像过点，则___________.

【答案】

【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再代入求值即可;

【详解】解：设幂函数，

幂函数的图象过点，

，

解得，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及函数值的计算，属于基础题.

11．（2019·上海市建平中学高一期末）已知且，则关于的不等式的解集为______.

【答案】

【分析】先由且，得到，利用对数函数的单调性，将不等式 ，转化为求解.

【详解】

因为且，

所以，在 上递减，

因为不等式 ，

所以，即 ，

解得 ，

所以不等式的解集是，

故答案为：

【点睛】本题主要考查对数不等式的解法和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

12．（2019·上海嘉定·期末）已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】本题要根据数形结合法将函数的图象向下平移到一定的程度，使得函数的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m的取值范围．

【详解】解：由题意，在区间上的图象如下图所示：

根据题意，对任意实数a，关于x的不等式在区间上总有解，

则只要找到其中一个实数a，使得函数的最大值最小即可，

如图，函数向下平移到一定才程度时，函数的最大值最小．

此时只有当时，才能保证函数的最大值最小．

设函数图象向下平移了个单位，（）．

，解得.

∴此时函数的最大值为．

根据绝对值函数的特点，可知

实数的取值范围为：．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．（2020·上海市进才中学高二期末）原命题：设，若“，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．4个

【答案】C

【分析】根据等价命题的真假性知只需判断原命题与逆命题的真假性即可.

【详解】解：原命题：若，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；

逆命题为：设，若“，则”.由知，∴由不等式的基本性质得，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.

故选：C.

【点睛】本题考查四种命题及其真假性问题，是基础题.

14．（2018·上海市新中高级中学高一期末）若，则下列不等式中不成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题根据不等式的性质逐一判断即可.

【详解】A选项：∵，∴ 即，∴ A选项正确；

B选项：∵，∴ 即，∴ B选项错误；

C选项：∵，∴ ，∴ C选项正确；

D选项：∵，∴ 即，∴ D选项正确.

故选：B.

【点睛】本题考查不等式的性质，是基础题.

15．（2017·上海浦东新·华师大二附中高一期末）若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先化简得，再化简得，再化简即得解.

【详解】∵，

∴，

∴，

可得.

故选C.

【点睛】本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

16．（2020·湖南娄底·高三期末（文））已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的图象求出、的范围，从而得到函数的单调性及图象特征，从而得出结论．

【详解】由函数的图象可得，，故函数是定义域内的减函数，且过定点.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（2016·上海杨浦·复旦附中高一期末）若函数满足：对于其定义域内的任何一个自变量，都有函数值，则称函数在上封闭.

（1）若下列函数：，的定义域为，试判断其中哪些在上封闭，并说明理由.

（2）若函数的定义域为，是否存在实数，使得在其定义域上封闭？若存在，求出所有的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.

（3）已知函数在其定义域上封闭，且单调递增，若且，求证：.

【答案】（1）在上封闭，理由见解析；（2）存在，，证明见解析；（3）证明见解析

【分析】（1）根据定义域，求得函数的值域，利用新定义，即可得到结论；

（2）根据函数封闭定义转化为不等式恒成立问题，再利用变量分离法求解，可求a的值．

（3）函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增，假设，根据单调函数性质可证假设不成立，由此能证明f（x0）=x0．

【详解】（1）当时，，

∴在上不封闭；

，

∴在上封闭.

（2）设存在实数，使得在上封闭，

即对一切，恒成立，

∵，∴，

即恒成立，

∵∴；

∵∴.

综上，满足条件的.

（3）假设，

①若，∵，在上单调递增，

∴，即，矛盾；

②若，∵，，在上单调递增，

∴，即，矛盾.

∴假设不成立，.

【点睛】本题考查函数的综合运用,根据函数封闭的定义与函数定义域、值域、单调性等知识点进行综合的考查，考查转化能力与函数基础知识的应用，属于中等题.

18．（2017·上海青浦·高一期末）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到千辆/时）？

（2）若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？

【答案】（1）当时，车流量最大，最大车流量为（千辆/时）；（2）.

【分析】（1）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果，由等号成立求得对应的值，即可得解；

（2）解不等式即可求得的取值范围，进而可得解.

【详解】

（1）依题意，当且仅当等号成立，

最大车流量（千辆/时）；

（2）由条件得，整理得，解得.

故汽车的平均速度应该在范围内.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

19．（2020·宝山·上海交大附中高一期末）已知函数，，且.

（1）若为整数，且，试确定一个满足条件的的值；

（2）设的反函数为，若，试确定的取值范围；

（3）若，此时的反函数为，令，若对一切实数，，，不等式恒成立，试确定实数的取值范围.

【答案】（1）2 （2） （3）

【分析】（1）将代入方程,结合指数式与对数式的转化,即可的关于的方程,化简后即可求得一个的值.

（2）根据所给,可求得反函数解析式.根据不等式,先求得右端的最小值及相应的,将代入左段并解不等式即可求得的取值范围

（3）代入可得反函数解析式.将反函数解析代入,即可求得的解析式.利用换元法,将化为的表达式.结合反比例函数单调性及不等式,即可求得的取值范围.

【详解】

（1）为整数, 且.且

代入可得

即

化简可得

则

所以

故满足条件的的值可以是

（2）的反函数为

则

令,代入可得

则,

所以平方化简可得

所以

则

成立,则即可

令,令,

即,由打勾函数图像与性质可知当时为单调递增函数

所以当时

则不等式化为

即,且且.

化简可得

即,解得

综上可知,的取值范围为

（3）由（2）可知

当时,

代入

可得

令

则

当,即时,函数在上单调递增

所以此时的值域为

若满足对一切实数,,,不等式恒成立

则只需即可,解得

当,即时, ,不等式恒成立

当时,即.函数在上单调递减

此时函数的值域为

若满足对一切实数,,,不等式恒成立

则只需,解不等式可得

综上所述, 的取值范围为

【点睛】本题考查了对数方程的化简求解,指数方程的解法,反函数的求法及性质应用,不等式恒成立问题的解法,换元法求参数的取值范围,综合性强,属于难题.

20．（2020·上海杨浦·复旦附中高二期末）设函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若，且关于的方程在[－2，6]上有实数解，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据对数函数的单调性结合定义域列出不等式组即可求解.

（2）分离常数后利用复合函数的单调性求得函数的最值即可求解.

【详解】

（1）由题意，知，则

解得，故，原不等式的解集为

（2），

即在[－2，6]上递增

时，；时，

所以，实数的取值范围是．

【点睛】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性的应用，意在考查学生的数形结合思想及数学运算的学科素养，属中档题.

21．（2019·上海嘉定·期末）已知函数，其中为常数.

（1）当时，解不等式；

（2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的反函数；

（3）若在上存在个不同的点，，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．

（2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数．

（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果．

【详解】

解：（1）解不等式

当时，，所以

当时，，所以，

综上，该不等式的解集为

（2）当时，，

因为是以2为周期的偶函数，

所以，

由，且，得，

所以当时，

所以当时，

，

所以函数的反函数为

（3）①当时，在上，是上的增函数，所以

所以，得；

②当时，在上，是上的增函数，所以

所以，得；

③当时，在上不单调，所以

，，

在上，.

，不满足.

综上，的取值范围为.

③当时，则，所以在上单调递增，在上单调递减，于是

令，解得或，不符合题意；

④当时，分别在、上单调递增，在上单调递减，

令，解得或，不符合题意.

综上，所求实数的取值范围为.

【点睛】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．