新教材2020-2021学年高一数学期末复习试卷（人教版2019）

新教材2020-2021学年高一数学期末复习试卷（人教版2019）

一、单选题

1．已知向量，且，则（    ）

A． B．8 C．6 D．

2．若复数满足，则其共轭复数的模为（    ）

A． B． C． D．

3．已知两条不同的直线，和不重合的两个平面，，且，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

4．中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本.意思为：现有《毛诗》、《春秋》、《周易》种书共册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这种书，若人共读一本《毛诗》，人共读一本《春秋》，人共读一本《周易》，则刚好没有剩余.现要用分层抽样的方法从中抽取册，则要从《毛诗》中抽取的册数为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

6．“数字黑洞”指从0~9共10个数字中任取几个数构成一个无重复数字的数字串，如01234，数出它的偶数个数、奇数个数及所有数字的个数，就可得到3（3个偶数）、2（2个奇数）、5（总共5个数字），用这3个数组成下一个数字串325（第一步）；对325重复上述程序，得到数字串123（第二步）；对123重复上述程序，仍得到数字串123（第三步）…，则数字串01234从第二步便进入了“黑洞”.现任取4个数字的数字串，则第二步便进入“黑洞”的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，四边形ABCD满足：．若点M为线段BD上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列各对事件中，为相互独立事件的是（    ）

A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”

B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”

C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”

D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”

10．某学校为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展，制订了一套量化评价标准.下表是该校甲､乙两个班级在某次活动中的德､智､体､美､劳的评价得分(得分越高，说明该项教育越好).下列说法正确的是（    ）

A．甲班五项得分的极差为1.5

B．甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数

C．甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数

D．甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差

11．设向量，则下列命题中正确的有（    ）

A．的最小值为3 B．的最小值为3

C．若，则 D．若，则

12．如图是正四面体的展开图，，.若且，则下列结论正确的有（    ）

A．平面平面

B．与的夹角为

C．

D．与是异面直线

第II卷（非选择题）

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三、填空题

13．用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为1~400，按编号顺序平均分为20个组.若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第17组抽取的号码为________.

14．在复平面内，等腰直角三角形以为斜边（其中为坐标原点），若对应的复数，则直角顶点对应的复数_____________.

15．现有五个分别标有、、、、的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，每个盒子只能放一个小球，则、至少有一个在盒子中的概率为______．

16．如图圆锥内的球与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为，则圆锥侧面积的最小值为________．

四、解答题

17．在等腰梯形ABCD中，已知，M是DC的中点，．

（1）若，求的值；

（2）连接BD交AM于点E，若，求的值．

18．设复数，其中i为虚数单位，．

（1）若是纯虚数，求实数a的值；

（2）若，求复数的模．

19．如图，长方体中，，P是棱上的动点．

（1）若E，F分别是的中点，证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

20．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：

（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)

21．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.

（1）求和的值；

（2）试求两人共答对3道题的概率.

22．如图所示，在直角梯形中，，M为线段的中点，将沿折起，得到几何体．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）已知，求直线与平面所成角的正弦值．

参考答案

1．B

【分析】

根据向量垂直的坐标形式即可得到结果.

【详解】

∵向量，

∴，又，

∴，

∴.

故选：B.

2．A

【分析】

由复数的四则运算得出，再由模长公式得出共轭复数的模.

【详解】

故选：A

3．B

【分析】

根据线线、线面、面面之间的空间关系，结合平面的基本性质即可判断各选项的正误.

【详解】

A：，，则或，错误；

B：，，则，正确；

C：，，则或或或相交，错误；

D：，，则或或或相交，错误.

故选：B.

4．D

【分析】

设《毛诗》有册，《春秋》有册，《周易》有册，学生人数为，根据已知条件可得出关于、、、的方程组，解出这四个未知数的值，再利用分层抽样可求得结果.

【详解】

设《毛诗》有册，《春秋》有册，《周易》有册，学生人数为，

则，解得，

因此，用分层抽样的方法从中抽取册，则要从《毛诗》中抽取的册数为.

故选：D.

5．D

【分析】

根据三视图还原几何体的形状，进而得出各个面的形状和有关棱的长度，计算各个面的面积求和即得几何体的表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是如图所示三棱锥P-ABC，

由三视图可得底面，∴PC⊥AC,PC⊥BC.

又∵，，，，

∴，

取AB中点M,连接PM,可得PM⊥AB,且,

该几何体的表面积为.

6．C

【分析】

由题意可知任取4个数字的数字串，其中偶数个数、奇数个数及数字个数的分类有：0，4，4；1，3，4；2，2，4；3，1，4；4，0，4，然后根据题意可分两步得到数字串，从而可求出第二步便进入“黑洞”的概率

【详解】

由题任取4个数字的数字串，其中偶数个数、奇数个数及数字个数的分类有：0，4，4；1，3，4；2，2，4；3，1，4；4，0，4．

则第一步得到数字串依次为044，134，224，314，404；第二步得到的数字串依次为303，123，303，123，303．

故第二步便进入“黑洞”的概率为，

故选：C．

7．B

【分析】

由题设有、，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴构建直角坐标系，则，设，利用向量数量积的坐标表示、结合二次函数的性质求最小值.

【详解】

由题意知：，有且，即，

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴构建直角坐标系，

设点，且满足，点，

∴，其中，

当时，的最小值为，

故选：B．

【点睛】

关键点点睛：构建坐标系，设且在上，利用向量数量积的坐标表示及二次函数性质求最值.

8．C

【分析】

首先根据PM⊥PC求得三棱锥的侧棱长为，再找到外接球球心的位置，最后利用勾股定理求解即可.

【详解】

由图，设，则，而，

因为PM⊥PC，所以由勾股定理得即解得，

由对称性可知：三棱锥P－ABC外接球的球心在三棱锥P－ABC的高PD上，

假设为O点，则，因为,

所以，

又由于点D是三角形ABC的外心，且三角形ABC为等边三角形，

所以,

在三角形ODC中，由勾股定理得,

即，

解得，

所以三棱锥P－ABC外接球的体积为.

故选：C

【点睛】

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

9．ABD

【分析】

利用相互独立事件的定义一一验证即可.

【详解】

在A中，样本空间，事件，事件，事件，

∴，，，

即，故事件M与N相互独立，A正确.

在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；

在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；

在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.

故选：ABD.

【点睛】

判断两个事件是否相互独立的方法：

（1）直接法：利用生活常识进行判断；（2）定义法：利用判断.

10．AC

【分析】

直接根据已知数据计算极差、平均数和中位数，比较判定ABC，写出甲乙的成绩的方差，作差比较即可判定D.

【详解】

甲班的极差为,故A正确；

甲班的平均数,

乙班的平均数,故B错误；

甲班的成绩从低到高：8，9，9.5，9.5，9.5，中位数为9.5,

乙班的成绩从低到高排列：8.5，9，9，9.5，9.5，中位数9，故C正确；

甲班的成绩的方差为,

乙班的成绩的方差为,

,

故D错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查极差，平均数，中位数，方差的求法和大小比较，属基础题.关键在于理解有关概念，并熟练进行计算.

11．BCD

【分析】

根据向量模、向量共线、向量垂直的坐标运算求解判断．

【详解】

由题意，时取等号，A错；

，时取等号，B正确；

若，则，，C正确；

若，则，，D正确．

故选：BCD．

12．ABC

【分析】

作出四面体的直观图，利用面面平行的判定定理可判断A选项的正误，利用异面直线所成角的定义可判断B选项的正误，利用线面垂直的性质可判断C选项的正误，利用异面直线的定义可判断D选项的正误.

【详解】

如图，把展开图还原成正四面体.

因为，，且，

所以、、分别为棱、、的中点，所以，，

平面，平面，平面，同理可证平面，

,所以，平面平面，故A正确；

因为，所以，异面直线与所成的角为，故B正确；

连接、，因为为等边三角形，为的中点，则，

同理可得，，所以平面，

平面，所以，故C正确；

与交于点，故D错误.

故选：ABC.

【点睛】

方法点睛：求异面直线所成角的一般步骤为“一作､二证､三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择端点､中点､等分点等，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题.

13．331

【分析】

分段抽样由抽取时的分段间隔是20，利用等差数列知识得解.

【详解】

由抽取时的分段间隔是20.即抽取20名同学，其编号构成首项为11，公差为20的等差数列，第17组抽取的号码

故答案为：331

【点睛】

本题考查系统抽样，属于基础题.

14．或

【分析】

根据复数的几何意义 由，得到，点的坐标为，设点的坐标为，再根据三角形是以为斜边的等腰直角三角形，则有，再运算求解..

【详解】

因为，

所以，点的坐标为.

设点的坐标为，

则.

由题意得，，

所以，

解得或，

所以复数或.

故答案为：或.

【点睛】

本题主要考查了复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

15．

【分析】

计算出、都不在盒子中的概率，利用对立事件的概率公式可求得结果.

【详解】

记事件从五个分别标有、、、、的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，则、至少有一个在盒子中，

则事件从五个分别标有、、、、的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，则、都不在盒子中，

所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，

事件所包含的基本事件为：，共种，

故.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：

（1）列举法；

（2）列表法；

（3）数状图法；

（4）排列组合数的应用.

16．

【分析】

设圆锥的底面圆半径为，，根据题意得到，而圆锥的侧面积转化为，最后利用换元法求解最小值即可.

【详解】

设圆锥的底面圆半径为，，

设球与侧面相切于点，在中，．

因为，则，

即，所以．

在中，，

故圆锥的侧面积

令，，则，

故

当且仅当，即，时，取等号，所以圆锥侧面积的最小值为．

【一题多解】

解法一：设，在中，

，．

因为，

则，即，

所以，，

于是圆锥的侧面积

，

令，则，则，

当且仅当，即时取等号，所以圆锥侧面积的最小值为．

解法二：设，．

，且，

即，

，，

圆锥的侧面积

当且仅当时等号成立，故圆锥侧面积的最小值为．

故答案为：.

【点睛】

本题考查圆锥的内切球、圆锥中相关量的计算，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算直观想象核心素养．

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）用表示出，然后可建立方程组求解答案；

（2）以点为原点如图建立直角坐标系，然后求出直线和直线的方程，然后求出点的坐标，然后求出的坐标即可.

【详解】

（1）因为

所以，解得，所以

（2）以点为原点如图建立直角坐标系

则有

所以直线的方程为，直线的方程为

联立可得点

所以，，

18．（1）；（2）．

【分析】

（1）计算出，再由复数的分类求解；

（2）计算出，然后由模的定义得结论．

【详解】

（1）由题意，它为纯虚数，

则，解得；

（2）若，则，所以．

19．（1）见解析；（2）6；

【分析】

（1）证明即可得到线面平行；

（2）直接利用三棱锥的体积公式进行求解；

【详解】

（1）E，F分别是的中点，，

又平面，平面，

平面；

（2）作于，则为三棱锥的高，且，

；

【点睛】

本题考理线面平行判定定理的运用，三棱锥体积的求解，考查基本运算求解能力.

20．（1）众数为为85，平均数为；（2）每天应该进98千克苹果.

【分析】

（1）在图中找最高的矩形对应的值即为众数，利用平均数公式求平均数；

（2）由题意分析需要找概率为0.8对应的数，类比在频率分布直方图中找中位数的方法即可求解.

【详解】

（1）如图示：区间频率最大，所以众数为85，

平均数为：

（2）日销售量[60，90)的频率为，日销量[60，100)的频率为，

故所求的量位于

由得

故每天应该进98千克苹果.

【点睛】

从频率分布直方图可以估计出的几个数据：

(1)众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；

(2)平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；

(3)中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．

21．（1），；（2）.

【分析】

（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得；

（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．

【详解】

解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.

设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，

则，.

由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，

.

由题意可得

即解得或

由于，所以，.

（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.

由题意得，，，

，.

设{甲乙二人共答对3道题}，则.

由于和相互独立，与相互互斥，

所以.

所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.

【点睛】

关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．

22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【分析】

（Ⅰ）取中点，连结，，推导出，，，从而，进而平面，由此证明；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的图像，推导出为与平面所成角，进而求解即可

【详解】

（Ⅰ）证明，取中点，连结，，是中点，，，

是中位线，，由题意得，，，，平面，平面，

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的图像，在等腰直角三角形中，易得，，由（Ⅰ）得，又由，根据勾股定理，可得中，，又由，由（Ⅰ）得，，，所以，面，所以，面，则为与平面所成角，

又由，，所以，，

，直线与平面所成角的正弦值为

【点睛】

关键点睛：解题得关键在根据图像做辅助线，取中点，连结，，，连结，进而得到以及为与平面所成角，进而求解，难度属于中档题