高中数学人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性课后复习题

第3讲   简单的线性规划问题

随堂演练巩固

1.如图,表示图中阴影部分的二元一次不等式组是…  (    )

A.              B.

C.  D.

【答案】 C

2.在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)|且},则平面区域B={(x+y,x-y)|}的面积为(    )

A.2 

B.1

C. 

D.

【答案】 B

【解析】 令 则

∵ ∴

作出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,是等腰直角三角形,可求出其面积

选B.

3.若实数x,y满足不等式组 则3x+4y的最小值是(    )

A.13 

B.15

C.20 

D.28

【答案】 A

【解析】 由题意得x,y所满足的区域如图所示:

令u=3x+4y,则

先作:如图所示,将平行移动至过点B时,u取得最小值,

联立 解得

∴.

4.已知变量x,y满足约束条件 则的取值范围是(    )

A.

B.

C.

D.(3,6]

【答案】 A

【解析】 作出可行域(如图中阴影部分所示).可看作可行域内的点与原点连线的斜率,

由图易得的取值范围为.

5.不等式组 所确定的平面区域记为D.点(x,y)是区域D内的点,若圆O:上的所有点都在区域D内,则圆O的面积的最大值是       .

【答案】

【解析】 画出不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示,

其中离原点最近的距离为故r的最大值为所以圆O的面积的最大值是.

 课后作业夯基

基础巩固

1.设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=5x+y的最大值为(    )

A.2                      B.3

C.4 D.5

【答案】 D

【解析】 如图,由z=5x+y,得y=-5x+z,目标函数在点(1,0)处取最大值,即.

2.已知x,y满足 则使目标函数z=4x+y-10取得最小值的最优解有(    )

A.1个 B.2个

C.3个 D.无数多个

【答案】 D

【解析】 画出可行域如图,

作直线:4x+y=0.由z=4x+y-10得y=-4x+z+10,

所以求z的最小值,即求直线y=-4x+z+10在y轴上截距的最小值,

因为将向右上方平移到与4x+y-4=0重合时z最小,故最优解有无数多个,故选D.

3.设变量x,y满足 则x+2y的最大值和最小值分别为(    )

A.1,-1 B.2,-2

C.1,-2 D.2,-1

【答案】 B

【解析】 由线性约束条件 画出可行域如图中阴影部分所示.

设z=x+2y,则

作出直线:平移可知过A点时z取最大值0+

过B点时z取最小值.

4.设z=x+y,其中x,y满足 若z的最大值为6,则z的最小值为(    )

A.-2 B.-3

C.-4 D.-5

【答案】 B

【解析】 由线性约束条件 画出可行域如图,

由题意知当y=-x+z过点A(k,k)时k=3,z=x+y在点B处取得最小值,B点在直线

x+2y=0上,则 B(-6,3),∴.

5.若不等式组 所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是(    )

A. B.

C. D.

【答案】 A

【解析】 由题意做出线性约束条件的可行域如下图,

由图可知可行域为△ABC的边界及内部,y=kx+恰过点将区域平均分成

面积相等的两部分,故过BC的中点即.

6.满足条件 的可行域中共有整点的个数为 (    )

A.3 

B.4

C.5 

D.6

【答案】 B

【解析】 画出可行域,由可行域知有4个整点,分别是(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2).

7.如果点P在平面区域 上,点Q在曲线上,那么|PQ|的最小值为(    )

A.

B.

C.

D.

【答案】 A

【解析】 由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P到点Q的距离的最小值为点

(-1,0)到点(0,-2)的距离减去圆的半径1,

由图可知|PQ|.

8.不等式(x-2y+1)在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是(    )

【答案】 C

【解析】 (x-2y+1)

或

结合图形可知选C.

9.设D是由 所确定的平面区域,记D被夹在直线x=-1和间的部分的面积为S,则函数S=f(t)的大致图象为(    )

【答案】 B

【解析】 如图,

由不等式组画出平面区域,根据题意,由函数S=f(t)的单调递增情况易选出答案B.

10.若A为不等式组 表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为       .

【答案】

【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,

直线x+y=a扫过的区域为四边形AOBC.

∵

.

11.已知实数x,y满足 则的最小值为        .

【答案】

【解析】 实数x,y满足的可行域如图中阴影部分所示,

则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方,故.

12.由约束条件 所确定的平面区域的面积S=f(t),试求f(t)的表达式.

【解】 由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP,如图中阴影部分所示,其面积

而.

所以.

13.已知x,y满足条件 求:

(1)4x-3y的最大值和最小值;

的最大值和最小值;

的最大值和最小值.

【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示,其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2).

（1）设z=4x-3y,则就是斜率为的直线在y轴上截距的-3倍,

作一组斜率为的平行线,当它扫过可行域时,

由图可知,当它经过C点时z值最小,当它经过B点时z值最大.

.

(2)设则u就是点(x,y)与原点距离的平方,

由图可知,B点到原点的距离最大.

而当(x,y)在原点时,距离为0,

所以.

（3）设则k就是点(x,y)与P(5,-8)连线的斜率,

由图可知,AP连线斜率最小,BP连线斜率最大.

所以.

拓展延伸

14.若x,y满足约束条件

(1)求目标函数的最值;

(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.

【解】 (1)可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).

平移初始直线过点A(3,4)时,z取最小值-2,过点C(1,0)时,z取最大值1.

∴z的最大值为1,最小值为-2.

（2）直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,

由图象可知即-4<a<2.