这是一份人教版新课标A必修53.1 不等关系与不等式评课ppt课件
3．1 等比数列一、等比数列的概念1．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于①________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的②________，公比通常用字母q表示(q≠0)．友情提示：关于等比数列概念的理解应注意以下几点事项：(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项③________，因此q也不能是0；(2)“从第2项起”是因为首项没有④________；(3)⑤________均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒；(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列⑥________，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列；(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列⑦________；(6)常数列都是等差数列，但却不一定是⑧________.若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，是等比数列；(7)证明一个数列为等比数列，其依据是⑨________，利用这种形式来判定，就便于操作了．(8)在现实生活及国民经济建设中，常出现增长率(降低率)、复利率等问题，多与等比数列有联系，应用广泛．2．与等差中项的概念类似，如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，我们称G为a，b的⑩________且G＝± (ab>0)，即⑪________.在等比数列中，首末两项除外，每一项都是它的前一项与后一项的等比中项．友情提示：关于等比数列中项的理解应注意体会以下几点：(1)在a、b同号时，a、b的等比中项有两个；⑫________时，没有等比中项；(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的⑬________；(3)“a、G、b成等比数列”等价于⑭________，可以用它来判断或证明三数成等比数列．同时还要注意到“a、G、b成等比数列”与“G＝ ”是不等价的．二、等比数列的通项公式1．通项公式：首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是⑮________.2．通项公式及其变式的应用(1)由通项公式an＝a1qn－1可知，已知⑯________就可求出等比数列中的任意一项；(2)等比数列通项公式an＝a1qn－1中有a1，n，q，an共四个元素，知三可求一；(3)若an，am是等比数列{an}的任意两项，则an＝⑰________.等比数列的单调性如下表：三、等比数列的简单性质设{an}是公比为q的等比数列，那么(1)an＝am·qn－m；(2)如果m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(反之不一定成立，例如常数列)．特别地，当m＋n＝2p时，有am·an＝________；在有穷等比数列中，与首末两项等距离的二项的积等于首末两项的积；(3)等比数列中每隔一定项取出一项按原来顺序排列构成的数列仍为等比数列．例如am，a2m，a3m也成等比数列；1.对等比数列概念与通项公式分别应如何理解？(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．我们要强调一点：“公比q≠0”．等比数列的首项不为0，等比数列的每一项都不为0，即an≠0；另外，我们还强调“从第2项起”，这是为了保证每一项的前一项存在．公比，它的基本特征是“同一常数”，如果漏掉了“同一”两字，就会破坏等比数列中各项的共同性质．(2)对于通项公式应从以下几个方面入手：①在公式an＝a1qn－1(n∈N＋)中有四个基本量an、a1、q、n，若知道其中任意的三个量，就可以求出另一个量．②此公式成立的条件是，n∈N＋，q≠0，且对n取1,2,3，…的一切正整数都成立．③由于an＝a1qn－1＝ ·qn，当q>0且q≠1时，qn对应于指数函数qx，所以有时可以把等比数列的通项公式看作是函数y＝kqx(x∈N＋)(或自然数从1起始的某个子集)这样的一个函数．④在等比数列{an}中的任意两项可以互相表示为an＝amqn－m.这也是通项公式的另一种形式．证明：∵an＝a1qn－1，amqn－m＝a1qm－1qn－m＝a1qn－1，∴an＝amqn－m.2．等比数列的判定方法有哪些？应如何区分等比数列的单调性？(1)等比数列的判定方法有：①an＝an－1q(n≥2，n∈N*，q为不等于零的常数)⇔{an}是公比为q的等比数列．② ＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*，an、an－1、an＋1均不为0)⇔{an}是等比数列．③an＝cqn(c、q均为不等于0的常数)⇔{an}是等比数列．由上可知判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法、中项法、通项公式法．(2)等比数列的单调性在等比数列{an}中，若设首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义，有①若a1>0，q>1或a1<0,0
0,01，则数列递减；③若q＝1，则数列为常数列；④若q<0，则数列为摆动数列．(3)对于形如an＋1＝an＋f(n)型或形如an＋1＝f(n)an型的数列，其中f(n)又是等差数列或等比数列，可以根据递推公式，写出n从1到n－1时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式．等比数列的通项公式涉及首项a1，末项an，公比q以及项数n共四个量，已知其中三个量就可求出其他一个量．[例1] 在等比数列中：(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；(2)若a2＝18，a4＝8，求a1与q；(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.[变式训练1] 在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求a10；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.分析：由题目可获取以下主要信息：已知等比数列中的某些量之间的关系，求其他的量．解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．[例2] 数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证数列{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．分析：证明一个数列是等比数列通常使用定义．[变式训练2] 已知数列{an}的前n项和Sn＝3an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．[变式训练3] 已知数列{an}为等比数列，且a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.解析：解法1：由已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8[例4] 三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．分析：三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中一个数为等比中项，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解好问题的关键．解析：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2.这三个数可表示为2－d,2,2＋d，①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6若d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，∴d＝0(舍去)．综上，可求得此三数为－4,2,8.[变式训练4] 已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．分析：利用已知条件，列出关于首项a1和公比q的方程组，求出a1和q后，问题便得以解决．解析：设该等比数列的首项为a1，公比为q，由已知得常用的等比数列的性质有以下几种：设{an}是公比为q的等比数列，那么(1)an＝am·qn－m；(2)如果m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(反之不一定成立，例如常数列)．特别地，当m＋n＝2p时，有am·an＝a.在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积等于首末两项的积；(3)等比数列中每隔一定项取出一项按原来顺序排列构成的数列仍为等比数列．例如am，a2m，a3m也成等比数列；[例5] (1)已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________．(2)等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________．(3)在等比数列中，若a1＝1，a5＝10，则a9＝________.(4)在等比数列{an}中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值是________．答案：(1)5 (2)－217 (3)100 (4)192[变式训练5] 在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝________.分析：利用等比数列的性质，若m＋n＝k＋l，则aman＝akal来解决．答案：512评析：本题若把条件表示为a1、q的形式亦可解决，但运算步骤较麻烦，因此解题时要合理选择方法．有些数列问题并非标准形式的等差、等比数列问题．但可以通过合理巧妙地变形构造成一个等差或等比的新数列，由此原问题便可以通过所学等差或等比数列的知识得到解决，这种解决问题的方法还是数学中转化与化归思想的具体体现，望同学们慢慢体会并合理的应用．依据等差、等比数列定义或者等差中项、等比中项公式，判定一个数列为等差或等比数列，这是数列基本问题之一，不仅考查等差数列、等比数列的概念，而且考查分析、推理论证的能力，是高考考查中的重点．[例7] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.[变式训练7] 设{an}是公差d≠0的等差数列，且ak1，ak2，…，akn…恰好构成等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求kn.∴在等差数列中，akn＝a1＋(kn－1)d＝(kn＋1)d；在等比数列中，akn＝a1qn－1＝a1·3n－1＝2d·3n－1，∴(kn＋1)d＝2d·3n－1，∴kn＝2·3n－1－1.[例8] 数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1,2,3，…)，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．(1)求c的值；(2)求{an}的通项公式．解析：(1)a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，∵a1，a2，a3成等比数列，∴(2＋c)2＝2(2＋3c)，解得c＝0或c＝2.当c＝0时，a1＝a2＝a3，不符合题意，舍去，故c＝2.[变式训练8] 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ ·Sn(n＝1,2,3，…)．证明：(1)数列 是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系．建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后再应用数列的通项公式和求和公式求解；(2)通过归纳得到结论，在用数列知识求解．建立数学模型时，应明确是等差数列还是等比数列，是求an，n还是求Sn.[例9] 从盛满a L(a>1)纯酒精的容器里倒出1 L，然后灌满水，再倒出1 L混合液后又用水灌满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的质量分数是多少？若a＝2时至少应倒几次后才能使酒精的质量分数低于10%?[变式训练9] 如图是一个计算装置示意图，J1、J2是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由J1，J2分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数K由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：①若J1，J2分别输入1，则输出结果为1；②若J1输入任何固定自然数不变，J2输入自然数增大1，则输出的结果比原来增大2；③若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍．试问：(1)若J1输入1，J2输入自然数n，输出结果为多少？(2)若J2输入1，J1输入自然数m，输出结果为多少？(3)若J1输入自然数m，J2输入自然数n，输出结果为多少？解析：(1)由条件①有f(1,1)＝1，由条件②知f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，即当m固定时，f(m，n)成等差数列．∴f(m，n)＝f(m,1)＋(n－1)·2，故f(1，n)＝f(1,1)＋2n－2＝2n－1.(2)由条件③知f(m＋1,1)＝2f(m,1)，即f(m,1)是一等比数列．∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1.(3)综合(1)、(2)知f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)＝2m－1＋2n－2.评析：本题信息量大，粗看不知如何入手，但若把条件写成二元函数式，并把它看做某一变量的函数，抽象出等差或等比数列模型，问题便迎刃而解.
