人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示学案

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【学习目标】要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个或一个向量分解为两个向量．

【学习重点】 .平面向量的基本定理及其应用．

【学习难点】平面向量的基本定理．

一、课前回顾

        1.向量共线定理：

2．向量的加法运算（平行四边形法则）；

3给定平面内的任意俩个向量，，作出向量3+2，—2.

二、新课讲授

1平面向量基本定理

思考1;一个平面内的俩个不共线的向量，平面内与任意一个向量的关系

，是不共线向量，是平面内任一向量，

= ，=λ1，==+=λ1+λ2，

= ，=λ2．

得平面向量基本定理：

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1 ，λ2使＝λ1+λ2．

我们把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底                    合作探究

（1）假如,共线，那么对于这一平面内的任一向量，是否也有且只有一对实数λ1 ，λ2使＝λ1+λ2．

（2）λ1，λ2是被，，唯一确定的数量吗？

（3）平面内的任一向量都可以由平面内的俩个不共线的向量，表示出来吗

2.向量的夹角:

显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量，作，则        叫做向量与的夹角。

如果则的取值范围是               。

当             时，表示与同向；

当            时，表示与反向。

3.垂直向量

如果                            ，就称与垂直，记作                                                   

【典例剖析】

例1    已知向量,，求作向量2.5+3．

作法：（1）取点O，作=2.5，=3，

（2）作平行四边形OACB，即为所求．

思考：此题还有其他的做法吗？

三．知识梳理：

１．平面向量的基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的。

２．平面向量的基本定理中“同一平面内两个不共线的向量、”叫做基底，基底的条件是在同一平面内不共线，即同一平面内的两个向量、只要不共线即可作为基底，换句话说，平面内向量的基底不唯一，那么同一平面内任何一组不共线的向量都可作为表示这一平面内的所有向量的基底。

３．由于零向量可看成与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底。

【总结反思】

【巩固拓展训练】

1．若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设，，则向量等于（       ）

    A．              B．      

C．             D．

2．已知向量和不共线，实数满足，则

的值等于（       ） 

A．－1                B．1       

C．0                  D．3 

3．若 5+ 3=，且 || = ||，则四边形ABCD 是           （     ）

A．平行四边形       B．菱形   

C．等腰梯形         D．非等腰梯形

4．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若＝，＝，则＝（　　）

Ａ．（ － ）　　　Ｂ．　－（ － ）

Ｃ．－（ ＋）　　　Ｄ．（ ＋）

5．若和不共线，且，，，则向量

可用向量，表示为=            

6．当ｋ为何值时，向量＝４+２，＝ｋ＋共线，其中、是同一平面内两个不共线的向量。

7．已知：、是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量＝ｋ+与＝＋ｋ共线？