《直接证明与间接证明》文字素材3（新人教A版选修1-2）

例说综合法与分析法所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法。综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知→可知→可知→…结论”。所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法。分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论→需知→需知→…已知”。  例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：＋＞    证明一：(分析法)    要证+＞成立，    只需证(a+b)( -ab+)＞ab(a+b)成立，    即需证-ab+＞ab成立。(∵a+b＞0)    只需证-2ab+＞0成立，    即需证＞0成立。    而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以＞0显然成立，由此命题得证。       证明二：(综合法)∵a≠b，∴a-b≠0，∴＞0，即-2ab+＞0    亦即-ab+＞ab    由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)( -ab+)＞(a+b)ab    即+＞，由此命题得证。 在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的。没有分析就没有综合；没有综合也没有分析。问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚刚相反，是综合法导主导地位，而分析法伴随着它。特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难。为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采用同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标。从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径。上面所言的思维模式可概括为如下图所示：　综合法与分析法都是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用。把分析法与综合法两者并列起来进行思维，寻求问题的解答途径方式，就是人们通常所说的分析、综合法。下面举一具体例子来加以说明。例2、若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg+ lg+ lg＞lga+lgb+lgc。证明：要证lg+ lg+ lg＞lga+lgb+lgc，只需证lg··>lg（a·b·c），只需证··＞abc。但是，，，。且上述三式中的等号不全成立，所以，··＞abc。因此lg+ lg+ lg＞lga+lgb+lgc。注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法。