高中数学人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和同步达标检测题

这是一份高中数学人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和同步达标检测题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．在等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则数列{an}的前4项和为( )
A．81 B．120
C．168 D．192
解析：公比q3＝eq \f(a5,a2)＝eq \f(243,9)＝27，即q＝3，a1＝eq \f(a2,q)＝3，S4＝eq \f(31－34,1－3)＝120.
答案：B
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝( )
A．7 B．8
C．15 D．16
解析：∵4a1,2a2，a3成等差数列，∴4a1＋a3＝4a2，即4a1＋a1q2＝4a1q，
∴q2－4q＋4＝0，∴q＝2，S4＝15.
答案：C
3．数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋a(a为常数)，则数列{an}( )
A．是等比数列
B．仅当a＝－1时是等比数列
C．不是等比数列
D．仅当a＝0时是等比数列
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋a；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋a)－(3n－1＋a)＝3n－3n－1＝2·3n－1.
当n＝1时，上式中2·3n－1＝2·31－1＝2，则a1＝3＋a＝2，则a＝－1，∴a＝－1时，an＝2·3n－1(n∈N*)是等比数列．
答案：B
4．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝( )
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n＋1 D．4n－1
解析：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝eq \f(1·1－2n,1－2)＝2n－1.
答案：A
5．等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n)＝( )
A．(2n－1)2 B.eq \f(1,3)(2n－1)
C．4n－1 D.eq \f(1,3)(4n－1)
解析：当n＝1时，a1＝21－1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－1＋1＝2n－1.∴an＝2n－1(n∈N*)，∴数列{an}为等比数列，∴数列{aeq \\al(2,n)}是首项为1，公比为4的等比数列，∴aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n)＝eq \f(1－4n,1－4)＝eq \f(1,3)(4n－1)．
答案：D
6．等比数列{an}中，公比q≠1，它的前n项和为M，数列{eq \f(2,an)}的前n项和为N，则eq \f(M,N)的值为( )
A．2aeq \\al(2,1)qn B.eq \f(1,2)a1qn－1
C.eq \f(1,2)aeq \\al(2,1)qn－1 D．2aeq \\al(2,1)qn－1
解析：{an}是公比为q的等比数列，则{eq \f(2,an)}是首项为eq \f(2,a1)，公比为eq \f(1,q)的等比数列，由题意得
M＝eq \f(a11－qn,1－q)，N＝eq \f(\f(2,a1)[1－\f(1,q)n],1－\f(1,q))，
解得eq \f(M,N)＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,1)qn－1.
答案：C
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．若等比数列{an}的首项为1，公比为q，则它的前n项和Sn可以用n，q表示成：Sn＝________.
解析：当q＝1时，Sn＝na1＝n，
当q≠1时，Sn＝eq \f(1·1－qn,1－q)，
∴Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n，q＝1，,\f(1－qn,1－q)，q≠1.))
答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n，q＝1,\f(1－qn,1－q)，q≠1))
8．等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.
解析：由an＋2＋an＋1＝6an，得qn＋1＋qn＝6qn－1，即q2＋q－6＝0，q>0，解得q＝2，又a2＝1，所以a1＝eq \f(1,2)，S4＝eq \f(\f(1,2)1－24,1－2)＝eq \f(15,2).
答案：eq \f(15,2)
9．1eq \f(1,2)＋3eq \f(1,4)＋5eq \f(1,8)＋…＋15eq \f(1,256)＝________.
解析：S＝1eq \f(1,2)＋3eq \f(1,4)＋5eq \f(1,8)＋…＋15eq \f(1,256)＝(1＋3＋5＋…＋15)＋(eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＋…＋eq \f(1,256))
＝eq \f(81＋15,2)＋eq \f(\f(1,2)1－\f(1,28),1－\f(1,2))＝64＋(1－eq \f(1,28))＝64eq \f(255,256).
答案：64eq \f(255,256)
三、解答题(共计40分)
10．(10分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝－6，a6＝0.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝－6，,a1＋5d＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－10，,d＝2.))
∴an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
∵b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
∴－8q＝－24，∴q＝3.
∴{bn}的前n项和为
Sn＝eq \f(b11－qn,1－q)＝eq \f(－81－3n,1－3)＝4(1－3n)．
11．(15分)已知等比数列{an}的各项都是正数，且a2＝6，a3＋a4＝72.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＋2·Sn